高中數(shù)學(xué)開放性題型的解題思路管窺

劉建富

【摘 要】本文闡述開放性題型的種類，并對其解法進(jìn)行探討，以有效培養(yǎng)學(xué)生的解題思維能力，促進(jìn)學(xué)生提高解題能力，更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，學(xué)以致用。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 開放性題目 解題思路

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）02B-0162-02

數(shù)學(xué)作為高中階段學(xué)生的基礎(chǔ)學(xué)科，對其他學(xué)科的知識內(nèi)容具有重要的基礎(chǔ)性作用。隨著新課標(biāo)改革和素質(zhì)教育的不斷深入，高考也在不斷地革新，考試的題型也逐漸向開放題類型轉(zhuǎn)變。因此，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)對學(xué)生的開放題型解題思路的培養(yǎng)，促使學(xué)生創(chuàng)新思維、獨立思考能力的提高。數(shù)學(xué)開放性題型主要是指解答方式多樣，并且條件不完全、結(jié)論不固定的數(shù)學(xué)題目類型。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，對開放性題型進(jìn)行融入，能夠鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促使學(xué)生靈活地進(jìn)行問題的思考，培養(yǎng)學(xué)生面對不同的問題采取針對性的解題方式，促使高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)更加有效，促使學(xué)生創(chuàng)新思維的激發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

一、高中數(shù)學(xué)開放性題型的分類

（一）條件開放性題目

此種類型的題目是給出相應(yīng)的結(jié)論，根據(jù)結(jié)論尋找相應(yīng)的條件的題目。通過此種類型題的解答能夠?qū)W(xué)生數(shù)學(xué)定義以及基礎(chǔ)知識內(nèi)容進(jìn)行考查，同時對其綜合應(yīng)用能力進(jìn)行檢測，促使學(xué)生數(shù)學(xué)知識遷移能力得到鍛煉。

（二）策略開放性題目

此種類型的題目是在已知條件和結(jié)論的情況下，對兩者成立的途徑進(jìn)行探究。通過此種類型題目的解答能夠促使學(xué)生鍛煉發(fā)散思維和創(chuàng)新思維，促使學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。

（三）結(jié)論開放性題目

此種類型的題目顧名思義就是其結(jié)論具有多樣性，對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)，同時促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力和水平的提高。

二、高中數(shù)學(xué)開放性題型的有效解題思路

（一）引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，促進(jìn)開放性題型的解答

在高中數(shù)學(xué)開放性題型解答的過程中，學(xué)生需要對題型進(jìn)行了解，比如，針對條件開放性的題型，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行問題的提出和解答，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題進(jìn)行思考，指導(dǎo)學(xué)生采取多樣化的解題方式。針對條件開放性的題型，學(xué)生需要從不同的思路，采取不同的方式進(jìn)行，從而把握題目的規(guī)律性，提高解題能力。

〖例 1〗設(shè)等比數(shù)列{ an}的公比是 q ，其前 n 項和為 Sn，是否存在常數(shù) c ，使得數(shù)列{Sn+c}是等比數(shù)列？如果存在，求解常數(shù) c ；如果不存在，請說明理由。

〖提示〗在對這樣的條件開放性題型進(jìn)行解答時，需要進(jìn)行相應(yīng)的假設(shè)，然后逐步深入，進(jìn)行解答。

〖解析〗設(shè)常數(shù) c 存在，使得數(shù)列{Sn+c}成等比數(shù)列。因為（Sn+c）（Sn+2+c）=（Sn+1+c）2，所以能夠得出 Sn·Sn+2-Sn+12=c（2Sn+1-Sn-Sn+2）。

（1）當(dāng) q=1 時，Sn=na1，帶入上式求解得出 a12=0（a1≠0），所以不存在常數(shù) c ，使得{Sn+c}成等比數(shù)列。

（2）當(dāng) q≠1時，，帶入上式進(jìn)行求解得出 。綜上所述得出結(jié)論，存在常數(shù) ，使得{Sn+c}成等比數(shù)列。

在解答這個題目的過程中，需要注意等比數(shù)列的 n 項和求和公式中公比的分類。通常情況下，很容易忘記公比 q=1，造成解題出現(xiàn)不全面的情況，造成分?jǐn)?shù)的丟失。因此，針對此種類型題目進(jìn)行解答時，要考慮全面。這種題目能夠促使學(xué)生的思維得到鍛煉，使學(xué)生的解題能力得到提高。

（二）注重學(xué)生求異思維的培養(yǎng)，促使學(xué)生解答開放性題型

在高中數(shù)學(xué)開放性題型解答的過程中，教師可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的求異思維，促使學(xué)生掌握解題思路，促使問題結(jié)論的轉(zhuǎn)變。一般來說，通過改變題目的表達(dá)方式，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的方向進(jìn)行問題的解答，促使學(xué)生思維方式的轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)學(xué)生的問題解答能力，避免學(xué)生定式思維的形成。

〖例 2〗已知函數(shù) f（x）是定義在 R 上不恒為零的函數(shù)，并且對任意的 a，b∈R，能夠滿足關(guān)系式 f（a·b）=af（b）+bf（a）。

（1）求解 f（0），f（1）的值。

（2）判斷函數(shù) f（x）的奇偶性，并且證明你的結(jié)論。

（3）如果 f（2）=2，，并且 n∈N，求解數(shù)列 {un} 的前 n 項和 Sn。

〖提示〗此題主要是對函數(shù)和數(shù)列的基礎(chǔ)知識進(jìn)行考查，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用從一般到特殊的推理方式進(jìn)行解答，促使學(xué)生形成好的解題思路，掌握解題技巧，提高學(xué)生的解題能力。

〖解析〗（1）在 f（a·b）=af（b）+bf（a）中，令 a=b=0 ，可得出 f（0）=0。

在 f（a·b）=af（b）+bf（a）中，令 a=b=1，求得 f（1）=0。

（2）f（x）是奇函數(shù)，因為 f（1）=f[（-1）2]=-f（1）-f（-1）=0，所以 f（-1）=0，所以 f（-x）=f（-1·x）=-f（x）。故函數(shù) f（x）是奇函數(shù)。

（3）在這個問題解答的過程中，需要對其規(guī)律進(jìn)行探究。

由 f（a2）=af（a）+af（a）=2af（a）

f（a3）=a2f（a）+af（a2）=3a2f（a）

……

可以進(jìn)行相應(yīng)的猜測： f（an）=nan-1f（a）。

之后引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：

當(dāng) n=1 時，f（a1）=1·a0·f（a），公式成立；

當(dāng) n=k 時，f（ak）=kak-1f（a）成立；

當(dāng) n=k+1 時，公式依然能夠成立。

綜上所知，對任意數(shù) n∈N，f（an）=nan-1f（a）成立。對于 因為 ，計算得出 所以 （n∈N），最終能夠計算得出 （n∈N）。

（三）促使學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)，促使學(xué)生開放性題型解題思路的培養(yǎng)

在開放性題型解答的過程中，培養(yǎng)學(xué)生思維能力，培養(yǎng)學(xué)生解題思路，提高學(xué)生創(chuàng)造性思維和解題能力。

〖例〗某機(jī)床廠今年采購一臺數(shù)控機(jī)床花費了 98 萬元，并且立即投入到生產(chǎn)中，計劃第一年的維修和保養(yǎng)費用是 12 萬元。從第二年開始，每年所花的保養(yǎng)和維修費用比上年增加 4 萬元。在機(jī)床使用之后，每年的總收入為 50 萬元，假設(shè) x 年之后數(shù)控機(jī)床的盈利額是 y 萬元。

（1）寫出 y 和 x 之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2）從第幾年開始，該機(jī)床開始正式盈利。（盈利額是正值）

（3）在使用若干年之后，對機(jī)床的處理有兩種方式。第一，當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大時，以 30 萬元的價格進(jìn)行處理。第二，當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時，以 12 萬元的價格對機(jī)床進(jìn)行處理，請問這兩種方式中哪種更為合理？說明理由。

〖解析〗（1）y=50x--98=-2x2+40x-98。

（2）對不等式 -2x2+40x-98>0 進(jìn)行求解，得出3≤x≤17，所以從第三年開始機(jī)床開始盈利。

（3）針對第一種處理方式，因為 =-2x+40-=40-（2x+）≤12，當(dāng)且僅當(dāng) 2x= 時，即 x=7 時，等號成立。所以在使用的第 7 年年平均盈利額最大，工廠獲取的利潤是 114 萬元。

針對第二種方式。因為 y=2x2+40x-98=-2（x-10）2+102，所以當(dāng) x=10 時，ymax=102，所以在第 10 年盈利額達(dá)到最大值，工廠獲得的利潤是 102+12=114 萬元。

（四）利用數(shù)學(xué)圖形進(jìn)行問題的解答，培養(yǎng)學(xué)生解題思路

在高中數(shù)學(xué)開放性題型解答的過程中，一些題需要對數(shù)學(xué)圖形進(jìn)行有效利用，促使數(shù)學(xué)關(guān)系以及數(shù)據(jù)更加直觀地顯示，使題意更加明顯，更加準(zhǔn)確地進(jìn)行解答。

〖例〗甲、乙兩人做社會調(diào)查，對養(yǎng)雞場進(jìn)行六年的調(diào)查研究，如下圖所示。

（A） （B）

在 A 圖中，從第一年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn) 1 萬只雞開始，逐年上升，到第六年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn) 2 萬只雞。在圖 B 中，第一年的養(yǎng)雞場個數(shù)從 30 個減少到第六年的 10 個?；卮鹣铝袉栴}：

（1）第二年養(yǎng)雞場的個數(shù)以及出產(chǎn)雞的總數(shù)各是多少？

（2）哪一年的規(guī)模最大？為什么？

〖提示〗在解答的過程中，需要對圖形進(jìn)行分析，并從圖中獲取相關(guān)信息，培養(yǎng)學(xué)生讀圖和識圖能力。此題比較簡單，在此不作詳細(xì)解答。

隨著新課標(biāo)改革的深入，在考試的過程中，開放性的題型占據(jù)的比例越來越大，開放性題型也成為高中階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要部分。學(xué)生想要對開放性題型進(jìn)行有效解答，需要掌握好解題思路。因此，在教學(xué)的過程中，教師應(yīng)當(dāng)采取有效的措施促使學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提高，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題思路，從而提高學(xué)生解決問題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]卜旭貞.高中數(shù)學(xué)開放性題型的解題思路研究[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2016（2）

[2]夏海峰，周蘭萍.高中數(shù)學(xué)開放性題型的解題思路分析[J].數(shù)理化解題研究（高中版），2014（2）

[3]王 瀅.高中數(shù)學(xué)開放性習(xí)題研究[J].南北橋，2015（5）

（責(zé)編 盧建龍）