運(yùn)用模型思想，有效建構(gòu)初中數(shù)學(xué)模型

王月梅

[摘 要] 數(shù)學(xué)模型是表征一類事物的特征和數(shù)量關(guān)系的一種模型，具有抽象性、概括性等特點(diǎn). 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生從生活、經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐出發(fā)，積極主動(dòng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，在模型建構(gòu)的過程中，感悟數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的思想與方法.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)模型；模型思想；有效建構(gòu)

模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中新增加的一個(gè)核心概念，有專家將其稱之為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一. 東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想. 廣義地說，一切的數(shù)學(xué)概念、定理、公理等都是數(shù)學(xué)模型. 狹義地講，所謂“數(shù)學(xué)模型”，是指“用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)模型體現(xiàn)為運(yùn)用數(shù)字、符號(hào)等建立起來的關(guān)系式、代數(shù)式、方程式、不等式、函數(shù)式以及各種圖表、圖形等. 運(yùn)用模型思想，可以有效地建構(gòu)初中數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深刻和智慧.

從生活出發(fā)，找尋模型建構(gòu)原型

應(yīng)當(dāng)說，初等數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)材料都來源于生活，都能在生活中找到原型. 從某種意義上來說，數(shù)學(xué)模型是對(duì)一類生活對(duì)象特征的數(shù)學(xué)反映，因此，教學(xué)中教師要從生活出發(fā)，找尋模型建構(gòu)原型；通過引入生活原型，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解；鏈接生活原型，關(guān)照學(xué)生的興趣、愛好，激發(fā)學(xué)生建構(gòu)模型的積極性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性；要讓學(xué)生從多維度、多側(cè)面、多視角、多方位感知生活原型的特征，為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

例如“二次函數(shù)”在整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)體系中占有十分重要的地位，具有高度的抽象性、變式性和應(yīng)用性. 傳統(tǒng)的“二次函數(shù)”教學(xué)，教師往往不重視對(duì)生活原型的發(fā)掘，而是通過對(duì)不同類型抽象的二次函數(shù)進(jìn)行重復(fù)講解、多次練習(xí)讓學(xué)生進(jìn)行記憶，如“頂點(diǎn)式”“一般式”“坐標(biāo)式”等. 盡管學(xué)生也能準(zhǔn)確甚至熟練解題，但著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升和發(fā)展，這種教學(xué)是沒有生命力的. 教學(xué)中，教師要有意識(shí)地將“二次函數(shù)”知識(shí)與學(xué)生的生活原型結(jié)合起來，如與生活中最常見的例子——生活中的物體運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來：王大爺用12 m長的繩子圍成一個(gè)長方形，怎樣圍面積最大？如果一邊靠墻，要求長方形的面積是18 m2，長和寬應(yīng)各是多少？如果面積是16 m2，長和寬又分別是多少？如果面積是10 m2，長和寬又分別是多少？來自生活的具體事例，能讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)其實(shí)并不枯燥，而是充滿了探究味道.

再如教學(xué)“二次函數(shù)”圖像時(shí)，教師可以聯(lián)系學(xué)生喜歡的投籃運(yùn)動(dòng)來教學(xué)“拋物線”. 教學(xué)中，教師可以向?qū)W生提供籃球運(yùn)動(dòng)員投籃過程中三點(diǎn)的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生求拋物線方程. 由于這樣的教學(xué)契合學(xué)生的興趣、愛好，所以學(xué)生很樂意探究. 有的學(xué)生還會(huì)主動(dòng)思考投籃過程中球的走向，此時(shí)教師可以給學(xué)生提供一些現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)，如籃筐的高度、學(xué)生與籃筐的距離等，讓學(xué)生建構(gòu)投籃的拋物線方程. 在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)積極探究用手投球的高度. 由于這樣的問題契合學(xué)生的生活實(shí)際，因而能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考、探究. 在這個(gè)過程中，不僅能深化學(xué)生對(duì)二次函數(shù)及其圖像的理解，而且能讓學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力得到培養(yǎng)和提升.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）明確指出，要“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓他們親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程”. 一般地，數(shù)學(xué)模型源于生活原型，同時(shí)生活原型有助于理解數(shù)學(xué)模型. 學(xué)生只有在生活原型與數(shù)學(xué)模型之間來回穿行，才能真正理解、感悟、運(yùn)用數(shù)學(xué)模型.

■ 從經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，豐富模型建構(gòu)表象

學(xué)生數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)需要豐富的表象支撐. 從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，可以豐富數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的表象. 在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生借助經(jīng)驗(yàn)，充分地活動(dòng)，充分地經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程，只有這樣，數(shù)學(xué)模型才能獲得經(jīng)驗(yàn)的支撐. 可以這樣說，表象越豐富，學(xué)生的數(shù)學(xué)辨析力、判別力就會(huì)越強(qiáng)，學(xué)生就能主動(dòng)舍棄事物的非本質(zhì)屬性、特征，而提取事物的本質(zhì)屬性和特征，進(jìn)而用抽象化、符號(hào)化、形式化的符號(hào)表征，建構(gòu)數(shù)學(xué)意義上的模型.

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)需要學(xué)生經(jīng)歷模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建構(gòu)、模型運(yùn)用與檢驗(yàn)的全過程. 其中，模型假設(shè)是建構(gòu)模型的關(guān)鍵. 而模型假設(shè)依靠什么呢？依靠學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、探究經(jīng)驗(yàn)等. 例如一次函數(shù)是學(xué)生整個(gè)初中函數(shù)教學(xué)的起點(diǎn)，深刻理解和把握這部分內(nèi)容，對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)與研究反比例函數(shù)、二次函數(shù)及其他相關(guān)知識(shí)等很有幫助. 學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)（含知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、探究經(jīng)驗(yàn)、生活經(jīng)驗(yàn)等）非常豐富，其中行程問題、分段計(jì)費(fèi)問題、方案優(yōu)化問題、利潤最大化問題等都涉及一次函數(shù)，都是建構(gòu)一次函數(shù)模型良好的經(jīng)驗(yàn)性素材. 如登山大本營所在地的氣溫為5 ℃，而山體海拔每升高1 km，氣溫就下降6 ℃，登山隊(duì)員由大本營向上登高x km時(shí)，他們所在位置的氣溫是y ℃，那么怎樣表示y與x的關(guān)系？又如某市市內(nèi)電話的月收費(fèi)額y（單位：元）包括月租費(fèi)12元和撥打電話x分鐘的計(jì)時(shí)費(fèi)（按0.1元/分收取），怎樣表示y和x的關(guān)系？數(shù)學(xué)模型具有“類”的特征，將眾多學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)材料、數(shù)量關(guān)系等進(jìn)行數(shù)學(xué)化抽象、概括，形成具有本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)模型，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般方式. 由此可見，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，借助學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蜇S富學(xué)生的表象，能夠?yàn)榕嘤龑W(xué)生的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)能力奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

只有聯(lián)系學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，才能讓學(xué)生理性認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型的意義、作用，如上述一次函數(shù)模型“y=kx+b”，只有在學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)中，學(xué)生才能深刻地理解一次函數(shù)的符號(hào)表達(dá)式，才會(huì)對(duì)下述問題有深刻的洞察：一次函數(shù)模型有什么作用？在“一次函數(shù)符號(hào)表達(dá)式”中，k，b的作用是什么？誰決定函數(shù)圖像直線的傾斜方向？誰決定函數(shù)的增減性？誰決定直線與y軸的交點(diǎn)位置？誰決定直線經(jīng)過的象限？通過對(duì)模型的理性認(rèn)知，學(xué)生才能真正有效地參與到數(shù)學(xué)模型建構(gòu)、數(shù)學(xué)模型運(yùn)用的過程中，進(jìn)而深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)理解.

■ 從實(shí)踐出發(fā)，形成模型建構(gòu)方法

數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言、符號(hào)描述實(shí)際現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題. 數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)猜想、模型建構(gòu)、模型檢驗(yàn)等過程. 學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型不能只停留在數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)想象的層面，而必須在模型建構(gòu)的實(shí)踐過程中經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)化過程，這樣才能掌握模型建構(gòu)的思想、方法. 在教學(xué)中，教師要激發(fā)學(xué)生的模型建構(gòu)興趣，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地投入到數(shù)學(xué)模型建構(gòu)中. 只有學(xué)生真正參與到數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程中，才能真正理解數(shù)學(xué)模型所表征的具體的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)問題. 數(shù)學(xué)建模既要體現(xiàn)“來龍”，也要體現(xiàn)“去脈”，而不能“掐頭去尾燒中段”. 一般地，數(shù)學(xué)建模需要學(xué)生經(jīng)歷這樣的實(shí)踐過程：問題的呈現(xiàn)——問題的分析——模型的假設(shè)——模型的建構(gòu)——模型的驗(yàn)證——模型的運(yùn)用.

例如教學(xué)“有理數(shù)的加法”，在教學(xué)中，筆者出示了這樣一個(gè)基于學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的問題：一位學(xué)生在學(xué)校南北跑道上先走了30 m，又走了40 m，能否確定他現(xiàn)在位于原來位置的哪個(gè)方向？與原來位置相距多少米？教學(xué)中，學(xué)生根據(jù)題目中的“空白點(diǎn)”，即不知道向哪個(gè)方向走，提出需要分類討論. 有學(xué)生認(rèn)為可能先向北走了30 m，又向北走了40 m；有學(xué)生認(rèn)為可能先向北走了30 m，又向南走了40 m；有學(xué)生認(rèn)為可能先向南走了30 m，又向北走了40 m；有學(xué)生認(rèn)為可能先向南走了30 m，又向南走了40 m. 在此基礎(chǔ)上，學(xué)生認(rèn)為有必要規(guī)定正方向，于是規(guī)定向南為正，向北為負(fù). 由此，學(xué)生列出了四個(gè)算式，并根據(jù)行走方向、行走距離和行走前的位置建立了有理數(shù)加減法重要的幾何模型——數(shù)軸，并在交流和討論中創(chuàng)生了數(shù)軸的三要素——原點(diǎn)、正方向和單位長度. 由于“數(shù)軸”不是教師直接呈現(xiàn)出來的，不是學(xué)生被動(dòng)接受、機(jī)械識(shí)記的，而是學(xué)生在探究實(shí)際問題過程中創(chuàng)生出來的，因而學(xué)生對(duì)這樣的幾何模型倍感親切. 在數(shù)軸上，學(xué)生從原點(diǎn)出發(fā)，通過點(diǎn)的移動(dòng)，能直觀感知有理數(shù)加減的計(jì)算結(jié)果. 借助幾何模型數(shù)軸，能夠?yàn)閷W(xué)生自主探究、自主歸納有理數(shù)計(jì)算法則奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)建模無論對(duì)教師還是學(xué)生來說，都不是一蹴而就的，而是必須經(jīng)歷的一個(gè)逐步深化的過程，在模型建構(gòu)過程中，考慮到學(xué)生的年齡、經(jīng)驗(yàn)等多重因素，教師可以降低學(xué)習(xí)起點(diǎn)，以便讓更多的學(xué)生參與到模型建構(gòu)中. 同時(shí)，要注意將數(shù)學(xué)模型建構(gòu)與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、生活聯(lián)系起來，讓學(xué)生在自主建模實(shí)踐中增強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)猜想能力、數(shù)學(xué)分析能力、數(shù)學(xué)假設(shè)能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 在這個(gè)過程中，教師要積極“讓學(xué)”，讓學(xué)生學(xué)，千萬不能落入傳統(tǒng)教師講解、學(xué)生被動(dòng)聽和機(jī)械模擬練習(xí)的教學(xué)窠臼之中.

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，有助于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)理解，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，包括數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)驗(yàn)證等能力. 學(xué)生通過數(shù)學(xué)探究，不僅“知其然”，更“知其所以然”. 在這個(gè)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都將悄然創(chuàng)生.