思維導圖在初中數學新授課的應用探究

陳廣洪

【摘要】 在初中數學新授課教學中引入思維導圖，解決課堂中存在的問題，提升教師的教學效益和學生的學習效率。運用思維導圖串聯新授課的基礎知識點，進行相關知識體系的平面化建構；引導學生運用思維導圖對新授課內容中的核心條件進行更深度的挖掘和分析，盤活知識結構中的關鍵因素；引導學生在思維導圖中通過建構數學模型的方式對知識、方法進行歸納；引導學生利用思維導圖進行錯題記錄，提高錯題收集的效率和實用性。

【關鍵詞】 思維導圖 初中數學 新授課 建構

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）05-025-03

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初中數學教學的主要課型有新授課、習題課、復習課和講評課，其中新授課所占的比重最大，這就需要教師培養學生對數學新授課形成良好的學習習慣和更具系統化的學習方法。新課改要求：初中數學教學課堂要變為提升學生能力的平臺，不僅要培養學生掌握基礎知識，還要培養學生分析問題和解決問題的能力，能夠將數學知識轉變為數學技能。我在此指引下積極開展教學改革，嘗試引入思維導圖解決新授課教學中存在的一系列問題。

思維導圖（Mind Mapping）也被稱為“心智圖”，它是 19 世紀 70 年代由英國學者托尼·巴贊在研究了大量的人類學習本質的過程后提出的一種新的思維方法，繼而把這一方法運用到一些學習障礙者的身上并且進行了總結整理，形成了思維導圖的概念和理論。基于此理論下的數學學科思維導圖可以把相關的數學學科知識有序地組織在一個網絡圖中，將數學學科龐雜而零散的知識點貫穿一體，建立起具備學習者自身思維特點的知識樹，使各個相關知識點之間的聯系一目了然，利于學習者快速地掌握所學內容，同時也充分體現了數學學科所具備的科學思維和邏輯思維特點。可以看出，思維導圖是一種高效的學習工具，因此我嘗試將其引入至所占分量極重的新授課教學中。

在教學實踐中，我發現學生在新授課學習上存在以下幾方面問題。首先，學生缺乏一種系統化的學習方法對新授課上的課堂小結進行收集整理，因此各節課的小結多呈現為獨立狀態，不利于學生在下階段新授課上感悟知識的延伸和知識點之間的關聯，造成知識視野和知識運用的局限性。此外，學生在新授課堂上更注重于新課知識點的即時運用，缺乏對新授課內容中關鍵因素的深度挖掘和分析意識，造成解題思維上缺乏方向性。同時，學生對具有代表性的數學模型和自身錯題的歸納收集意識和能力不足，缺乏一種清晰簡明的處理方法，課堂筆記和錯題本的使用效率有待提高。針對以上問題，我展開了初中數學新授課中思維導圖在以下四個方面的應用探究：知識體系的平面化建構；盤活知識結構中的關鍵因素；通過建構數學模型的方式，提高學生歸納知識的技能；提高錯題收集的效率和實用性。

一、運用思維導圖串聯新授課的基礎知識點，進行相關知識體系的平面化建構

首先讓學生將每節新授課上小結的基礎知識點用思維導圖的方式呈現出來，作為章節知識體系的一個個分支，這樣可以為下階段的新授課中學生新做的知識分支與原有分支對接提供條件，分支之間的對接即能體現出知識點之間的串聯。根據建構主義學習理論，學生對知識點之間關聯的建構是在個體與環境相互作用下得到生長和發展的，而思維導圖是一種可優化學生知識建構環境的學習工具。例如在二次函數的學習中，可使用以下兩節新授課的小結分支進行相關知識體系的平面化建構：

在新授課上，我們學習二次函數的一般形式下求頂點坐標有兩種方法，原課的設計也是引導學生在已有的二次函數頂點式相關知識上學習配方法，將二次函數的一般式轉化為已學習的頂點式解決問題。然而我們發現，部分學生學習這兩節課后，相關知識點依然呈現獨立化，頂點式和一般式的轉化運用的意識和能力并沒有得到明顯提高。我們在后續求二次函數解析式的新授課上遇到如下一類問題：二次函數y=ax2+bx的圖象過點（3，1），且對稱軸為直線x=-2，求二次函數解析式。這類題目的條件既不直接滿足一般式求解，也不直接滿足頂點式求解，而是需要學生對二次函數兩種形式的相關知識綜合運用解題，我們發現部分對相關知識點停留在獨立化層面的學生解題就會感覺到困難。當我們嘗試引入了思維導圖進行相關知識點的平面化建構，把頂點式的相關知識點作為“溫故”環節呈現，引導學生將新課中的環節及時與之進行觀察對接和歸納總結，就能使學生更直觀掌握知識點平面化的建構方法。例如我們學習了用配方法轉化為頂點式求頂點坐標后，立即進行課堂小結，用箭頭方向呈現我們解決問題的思考方向；再引導學生嘗試類比地去探索二次函數兩種形式在頂點和對稱軸方程部分的知識對接，讓學生歸納總結出一般式求頂點坐標的另一方法：公式法。完成對接后，兩種形式下的頂點（-■，■）與（h，k），對稱軸方程：直線x=- 與直線x=h之間的關系一目了然。學習該課后，學生對一般式相關知識點的掌握則不再呈孤立狀，而是與頂點式相關知識形成平面化效果，學生對上述求解析式的解題中能站到知識平面的層次上去思考問題，解題效果明顯提高。如果學生能做到不僅重視兩種解題方法的運用，而且立足于更寬闊的視野去思考方法的來源，能把知識點整合成平面化甚至立體化結構，對學生進一步培養建立綜合性思維是有很大幫助的。又例如運用思維導圖對《圓》和《垂直于弦的直徑》這兩課時的內容進行相關知識點的平面化建構，我們首先對原課程教學方式進行導圖化的展示：

通過導圖化展示，教師可以更清晰引導學生理解第一課時中，圓的半徑作為關鍵因素而產生了等腰三角形，既而結合等腰三角形和圓的軸對稱性質推導出垂徑定理，再結合垂徑定理的相關內容總結出直角三角形的轉化以及勾股定理的運用的過程，兩節課的知識能有效銜接并呈線性推進。同時，該知識點的導圖化展示為進一步拓寬學生視野和思維提供了契機。在課堂實踐中，部分學生根據以往的學習經驗提出他們從等腰三角形已經能聯想到向直角三角形的轉化，因此在導圖中加上了一個從等腰三角形直接指向直角三角形方向的箭頭：

這時，知識點的導圖已由原來的線性化轉為了平面化，指向直角三角形的箭頭有兩個，卻有著完全不同的理解方向。垂徑定理引導下的直角三角形轉化偏向于學生形象思維下的思維定向思考，而從等腰三角形聯想到直角三角形的轉化更依賴于學生的抽象思維，是高中數學學習的思維要求。初中數學學習正是學生從運用形象思維思考逐步轉向運用抽象思維思考的這一過程，這種思維碰撞能有效促進學生思考習慣和思考方向的轉變。隨著每節新授課上導圖小分支的增加，這一類的思維碰撞會大量出現，教師將該類思維碰撞貫穿于新授課教學中，也能將整節課的思維深度提高，對知識點的教學整體把握更到位。學生把分支進行歸納、分類后，匯總成總結性的思維導圖，圖中思維碰撞后產生的每一條思維線，都代表著學生思考知識點關聯的落腳點，更利于學生將數學知識轉變為數學技能。

二、引導學生運用思維導圖對新授課內容中的核心條件進行更深度的挖掘和分析，盤活知識結構中的關鍵因素

在認知心理學說中，“盤活認知結構”是“問題解決”的一種有效策略和方法，使學生能善于將新的學習內容與原有認知結構相互作用，適時地、必要地進行同化或順應，從而掌握新知識，建構出新的認知結構。關鍵因素是實現目標所需的關鍵信息的集合，識別知識點的關鍵因素，有利于學生建構解題思考方向的優先次序，提高解題效率。因此，知識點中的關鍵因素是需要學生重點盤活的對象，也是學生新認知結構建構中的核心點。我們在教學實踐中發現，即使新授課上學生能即時運用新的知識點解題，也依然會出現解題思考中缺乏方向性的問題。例如在《圖形的旋轉》一課中，學生遇到了以下一題：

如圖，ΔCOD是ΔAOB繞點O旋轉后所得的圖形，點C恰好在線段AB上，∠AOD=90°，求∠B的度數。

本題的問題是求角度，部分學生根據題目的角度條件，結合課堂上所學旋轉角的概念，能對圖中相關角的角度展開充分思考，卻依然無法順利解決問題。主要原因是他們把解題的注意力集中在了角度條件，卻忽略了AO=CO這組對應邊相等的條件，從而無法轉化出等腰三角形解決問題。因此我們利用該課課堂小結的思維導圖對旋轉角進行更深度的剖析，深究形成旋轉角的兩條邊的來源以及相關應用，與“全等圖形的對應邊相等”以及相關考點的歸納建立知識點關聯，引導學生發掘出知識體系中的關鍵因素和條件解決相關問題：

引導學生運用思維導圖剖析知識點的關聯性，能使學生更深入了解知識結構以及掌握知識結構中的關鍵因素，從而盤活認知結構，抓住新知識運用中的重難點，提高學生分析問題和解決問題的能力。當學生學會抓住知識點的關鍵因素后，教師可通過題型的變式訓練引導學生進一步鍛煉自己對知識點的提煉歸納和應用能力，提升課堂的縱向思維深度。

三、引導學生在思維導圖中通過建構數學模型的方式對知識、方法進行歸納

數學模型是針對參照某種事物系統的特征或數量依存關系，采用數學語言，概括地或近似地表述出的一種數學結構，這種數學結構是借助于數學符號刻劃出來的某種系統的純關系結構。在思維導圖的繪圖中，數學模型是比文字更值得提倡的表達方式。積極使用數學模型能開發提升學生的右腦能力，因此與文字信息相比較，數學模型更利于學生記憶和應用。有針對性地在思維導圖的構圖中建構數學模型，利于學生迅速掌握新知識的運用方法，提高解題效率。例如在一元二次方程的應用部分，我們在新授課上引導學生對增長率問題、幾何問題和利潤問題建構數學模型。部分學生還主動嘗試對循環問題等其它應用類型建構數學模型并歸納進入思維導圖，甚至對知識點進行了延伸類比和區別分析：

根據課堂反饋，學生在以往較為薄弱的應用題型的答題效率明顯提高。實踐證明，思維導圖中所建構的數學模型，是能夠有效提高學生對各種題型的熟悉程度的。以上導圖仍然具備比較明顯的知識形象化，因此在二次函數應用部分的教學中，我們嘗試將應用問題的歸納進一步抽象化，高度歸納成與拋物線頂點相關和拋物線上與坐標軸的交點相關的兩類模型，也使學生對該章節應用題型的解題方向更加清晰，同時進一步鍛煉學生自身對知識點的歸納能力。

四、引導學生利用思維導圖進行錯題記錄，提高錯題收集的效率和實用性

學習是一個雙向建構的活動過程，現代建構主義理論認為，建構有兩方面含義：第一，對新信息的理解是借助已有的經驗，超越所提供的新信息而建構的；第二，從已有認知結構中提取的相關信息也要按具體情況進行建構，而不是單純的提取，當今建構主義者更強調了改造和重組已有知識經驗這一建構。錯題收集就是數學學習中一種借助已有經驗進一步進行知識建構的學習習慣，旨在于形成學生個體獨有的提高學習效率的學習資料，是很多數學教師培養學生數學學習習慣的環節。學生對錯題的收集習慣于習題課、復習課和講評課后，新授課上出現的錯題往往被忽略。以下是《一元二次方程根與系數》一課中學生學案第19頁的一道習題：

題2：關于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0有兩個實數根分別是x1，x2，且x12+x22=7，求m的值。

此題學生出現的主要錯誤在于雖然運用本課知識算出了兩個m值，但并未對m值進行根的判別式的檢驗。出現此類錯誤的學生對知識點之間的關聯意識和能力是有待提高的，而教師可以引導學生對這些錯誤進行分析，并且在思維導圖中以可視化的方式呈現：

實踐證明，相比較使用錯題本收集錯題的方式，引導學生利用思維導圖對新授課上的錯題進行收集，具有及時、簡便易操作、和相關知識點有效結合并能清晰呈現等優勢，有助于學生更早地積累和歸納錯題類型，尋找出錯根源，從而進一步理清解題思路。同時，所積累的出錯率較高的知識點部分得以在思維導圖中呈現，學生可以對其重點加以關注，教師也可以引導學生去發現不同錯誤中的共同致錯因素，從根本上糾正錯誤，從而大幅度提高錯題收集的實用性。

新課程改革下的數學教學，是師生之間、學生之間共同發展和互動的環節。初中教學實際上是一個探究性和創造性相結合的教學活動，要求教師具有實施新課程所需要的改革意識和創新技能，對學生的思考和學習能力進行更具科學性的分析。教師在教學中，不僅要鼓勵學生積極地思考問題和提出問題，還要及時地給予相應的學習方法指導。我們在新授課的教學中，可以指導學生使用思維導圖作為一種學習工具，體會用思維可視化的方式串聯起數學較為枯燥的知識點，提高學習數學的興趣，提升邏輯思維能力，逐步形成提高數學學習效率的一種有效學習方法。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]張治棟.新課改背景下如何培養初中學生的數學能力.西部素質教育，2016（1）.

[2]張紅囡.基于思維導圖的教學模式在初中數學教學中的應用研究.

[3]朱福勝.數學觀、認知心理與數學學習.

[4]鐘珍玖.基于建構主義理論的初中數學“過程化”教學研究.

[5]曾偉，黃泳. “思維導圖”助力初中數學難點學習.學周刊，2017（1）.