九年級數學復習課教學容易忽視的一個問題

摘要：一元二次方程的根與系數關系這一個知識點，是新人教版現行教材九年上冊，比舊教材增加的部分知識內容，但在習題配置上是比較簡單。因此，這就容易讓九年級數學復習課教學在這一部分知識點中，造成忽視！那么如何加強對這方面知識的復習教學呢？筆者認為主要應該從以下幾個方面入手：第一，重視一元二次方程的根與系數關系的基礎知識的復習；第二，重視一元二次方程根與系數關系與平幾某知識綜合的復習；第三，重視一元二次方程根與系數關系與拋物線綜合的復習。

關鍵詞：根與系數關系；知識綜合；數學思維

多年以來，筆者在初中數學課堂教學一線工作。發現：一元二次方程的根與系數關系這一個知識點，在人教版教材中的地位是從重點到一般，從一般到沒有；然后再從沒有到一般，從一般又回到重點。現行新人教版教材在九年上冊中，是增加了這一部分知識，但在習題配置上也是輕描淡寫。在二次函數這一章節中似乎也忽略了對這一部分知識的加強。因此，這就容易讓九年級數學復習課教學在這一部分知識點造成忽視。那么如何加強對這方面知識的復習教學呢？筆者認為主要應該從以下幾個方面入手：

一、 重視一元二次方程的根與系數關系的基礎知識的復習

一元二次方程的根與系數關系這一個重要知識點的掌握，首先是要從它的基礎知識復習開始，然后才有可能進行適當的綜合應用。

例1有兩個一元二次方程M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a×c≠0，a≠c；以下列四個結論中錯誤的是（）

A. 如果方程M有兩個不相等的實數根，那么方程N也有兩個不相等的實數根

B. 如果方程M有兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同

C. 如果5是方程M的一個根，那么15是方程N的一個根

D. 如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必是x=1

分析：本題的各選擇支所涉及的基礎知識主要有：一元二次方程的解的定義；根的判別式；根與系數的關系。由此可見，一元二次方程的根與系數關系這一個知識點不可忽視。事實上對于選擇支B，我們可以這樣作出剖析：如果方程M的兩根符號相同，那么方程N的兩根符號也相同，那么Δ=b2-4ac≥0，ca>0，所以a與c符號相同，ac>0，所以方程N的兩根符號也相同，結論正確，不符合題意。其余選擇支在這里不作詳細剖析。

二、 重視一元二次方程根與系數關系與平幾某知識綜合的復習

重視一元二次方程根與系數關系與平幾某知識模塊的綜合，人們首先是考慮一元二次方程的根與系數關系與平幾有關知識綜合，然后根據題目已知條件，在這兩個知識點尋找有機結合點。

例2等腰三角形邊長分別為a，b，2，且a，b是關于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的兩根，則n的值為（）

A. 9

B. 10

C. 9或10

D. 8或10

分析：由三角形是等腰三角形，得到①a=2，或b=2，②a=b

①當a=2，或b=2時，不妨設a=2；由一元二次方程的根與系數關系

得到2+b=6，2+b=n-1，即可得到結果。

②當a=b時，方程x2-6x+n-1=0有兩個相等的實數根，由Δ=（-6）2-4（n-1）=0可得結果。

這里需要特別指出的是，如果說所求得的n值不能使三角形邊長分別為a，b，2組成三角形，那么這樣的n值是不合題意的，要舍去。

三、 重視一元二次方程根與系數關系與拋物線綜合的復習

當拋物線綜合應用問題中，涉及拋物線與x軸有兩點時，人們往往把問題轉化為一元二次方程的根與系數關系，使用已知條件，把復雜問題轉化成幾個簡單的問題，從而達到綜合解決問題的目的。

例3已知拋物線y=-x2+2（m+1）x+m+3與x軸相交于兩點A、B（點A在x軸的正半軸上，點B在x軸的負半軸上），與y軸交于點C。

（1）求m的取值范圍；

（2）若|OA|∶|OB|=3∶1，在該拋物線對稱軸右邊圖像上求一點P的坐標，使得∠PCO=∠BCO。（2016年全國初中數學聯賽初賽試卷第12題）

分析：（1）僅僅知道，關于x的方程-x2+2（m+1）x+m+3=0有兩個不相同的實數解，是不夠的.

因為點A在x軸的負半軸上，點B在x軸的正半軸上.

所以我們還要考慮方程，-x2+2（m+1）x+m+3=0的兩根一正一負，

也就是這個方程的兩根積是負數，才能求m的取值范圍是m>-3.

（2）先求函數解析式。由|OA|∶|OB|=3∶1，可設點A（-3n，0），B（n，0），則可根據一元二次方程-x2+2（m+1）x+m+3=0的根與系數關系得-3n+n=2（m+1），-3n·n=-（m+3），

解得m=0。

從而函數解析式為y=-x2+2x+3.

由此可知A（3，0），B（-1，0），C（0，3）。

再由∠PCO=∠BCO，求點P的坐標。

可知BC與PC關于直線OC對稱。

作B關于OC的對稱點B′，則B′（1，0），

可設直線PC是一次函數y=kx+b的圖象，則

3=k·0+b，0=k·1+b，解得k=-3，

b=3

所以PC是一次函數y=-3x+3的圖象。

從而不難求得拋物線對稱軸右邊圖象上有一點P（5，-12），

使得∠PCO=∠BCO。

總之，一元二次方程的根與系數關系這一個重要知識點，在九年級復習課教學中，不容忽視。教學中可通過重視一元二次方程的根與系數關系的基礎知識的復習；重視一元二次方程根與系數關系與平幾某知識綜合的復習；重視一元二次方程根與系數關系與函數圖象知識綜合的復習；重視一元二次方程根與系數關系與拋物線知識綜合的復習。做到了以上四點，就完全可以達到復習的效果，從而較好地提高學生綜合應用二次函數知識解決問題的能力，發展學生的數學思維能力。

作者簡介：林國耀，福建省莆田市，福建省莆田華僑中學。