高中數學恒成立問題解題策略

楊旅華

【摘 要】本文以例講解運用換元法、分類討論法、數形結合思想、化歸思想以及賦值法解答高中數學恒成立問題的策略，幫助學生深入探索，掌握正確的解題方法。

【關鍵詞】高中數學 恒成立問題 解題策略

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）05B-0147-02

高中數學教學的恒成立問題涉及的知識范圍比較廣泛，具有綜合性的特點，是學生學習過程中的難點。恒成立問題在解決的過程中，和不等式、數列以及函數等知識內容交叉，成為高考中的熱點內容。但是其解決方式比較靈活，沒有固定的方式，學生在解答的過程中，常常無從下手，難以找到問題解決的關鍵點。在對恒成立問題進行解答的過程中，能夠促進學生數學能力的提高。

一、借助換元法，有效解決不等式恒成立問題

在高中數學問題解答的過程中，需要借助辯證的方法，對問題進行相應的轉化和遷移，將未知內容進行轉化，以便有效解決數學問題。換元法是數學中常用的一種解題方法，它主要有兩種方式，引入另一個參數來代替未知數和使用常數或者表示常數的字母代替未知數。在含有兩個變量的不等式中，學生習慣性地把 x 作為主元，把另外一個變量 a 當作參數。當遇到一些比較繁瑣的解答過程時，如果把已知取值范圍的變量作為主元，把求解取值范圍的變量當作參數，那么就能夠有效簡化解題過程。例如：

二、合理利用分類討論，解決二次函數恒成立問題

二次函數是高中數學中的重要內容之一，二次函數又分成一元二次函數和二元二次函數兩種。二次函數有關恒成立的問題，主要和一元二次函數進行結合。一元二次方程、不等式以及二次函數之間又有密切的關系，在解題的過程中，需要對其進行利用，進行分類討論。在二次函數中，由于 x 值的范圍不同，其增減性不同。二次函數又會涉及頂點、最值等問題，因此，在對二次函數恒成立的問題進行解答時，需要考慮函數性質、圖象特點，并進行分類討論，才能準確地解決問題。例如：

在對二次函數恒成立問題進行解答時，有時需要根據題目進行相應變換，然后根據二次函數的性質、圖象等進行全面討論，才能得出完整的答案。

三、借助數形結合，促使問題得到直觀解答

在高中數學中，有關函數恒成立的問題較多，在高考中通常以選擇和填空類型的題目出現。函數又跟圖象緊密聯系，綜合性比較強，要想準確地理解函數常常需要進行數形結合。特別是綜合性比較強的題目，比如，二次函數和對數函數中的恒成立問題，很難單純地利用函數性質來進行直接解答，而且解答過程比較復雜，因此，需要利用數形結合的思想來解答。例如：

針對此種類型的恒成立問題，可以對其圖象進行繪制以促進問題的解答。特別是在選擇題和填空題解答的過程中，借助數形結合，能夠使得結果一目了然，提高解題的效率。

四、合理利用歸化思想，促進恒成立問題的解決

高中數學中的化歸思想不僅是重要的思想，而且也是數學解題中的重要方法，它能夠鍛煉學生的數學思維，因此它在數學問題解決中得到普遍應用。比如，高中數學中的不等式的恒成立問題，在解答中有時需要對不等式的參數、變量等進行分離，分別對其進行相應的求解。一般來說，利用分離方法將恒成立問題的解答轉化成最值問題的求解，也就是說，對解題思路和方式進行轉化，使復雜的問題簡單化。例如：

在進行解答的過程中，令 x=y，求出 ，得常數 。之后對不等式的前半部分進行證明，得出不等式成立。之后對不等式的后半部分進行證明得出不等式成立。通過這樣的方式得出相應的結論，存在實數 C 使得不等式恒成立。

對于高中數學中的恒成立問題來說，其內容覆蓋很多數學內容，并且具有綜合性的特點。因此，對此類問題，靠單一的解題思路和方式很難進行有效解答，需要學生掌握多種解題思路和方式。學生要掌握和熟練運用換元法、分類討論法、數形結合思想、化歸思想以及賦值法等，以便更加有效地解決問題。

【參考文獻】

[1]賴小恬.高中數學恒成立問題解題策略探究[J].成才之路，2016（35）

[2]朱永江.基于高中數學的恒成立問題分析[J].開封教育學院學報，2015（3）