數值分析研究性教學的思考與舉措

阿米娜·沙比爾 麥麥提明·阿不都克里木

【摘要】本文立足于喀什大學的教學實踐，結合學校師范特色的定位和少數民族地區學生的特點，提出數值分析課程應該注重培養學生的數學素養，實施研究性教學。介紹了研究性教學的一些做法，對如何培養學生的數學素養進行了探討。

【關鍵詞】數值分析 師范 少數民族地區 數學素養 研究性教學

【中圖分類號】O241∶G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）37-0103-02

引言：數值分析屬于計算數學的研究范疇，研究用計算機解決數學問題的近似方法及其有關理論。數值分析涉及的計算方法廣泛地運用在物理、化學、力學、生物學、經濟學等領域，是科學與工程計算的重要數學工具。目前，數值分析已經成為各級、各類院校為理工科專業開設的一門專業必修課程。一般地說來，數值分析課程要求學生掌握數值分析的基本思想、方法和理論，具備一定的設計、分析和實現算法的科學計算能力。上述教學目標會依據專業、高校的定位、人才培養目標的不同而有所差異。比如，對于研究型大學數學專業的數值分析，既要強調掌握數值分析的思想、方法和理論，又要強調具備設計、分析和實現算法的科學計算能力；而對于工科專業、應用型本科院校的數值分析則更注重各種算法的實踐性與應用性，培養的是學生運用各種算法解決實際問題的科學計算能力。我國有一類高校，如喀什大學，其前身為師范院校，更名后成為以師范為特色的綜合性、應用型本科院校。那么，面對這類高校里數學專業學生的實際情況，數值分析課程的教學目標應該做何調整，應該培養學生具有什么樣的能力，如何組織實施教學達到設定的教學目標，都是值得探討的問題。

1.師范特色的數值分析應該注重培養學生的數學素養

近些年，隨著教育改革的不斷深入，一些師范院校根據社會對人才的需求和自身發展的需要，重新定位為以師范為特色的綜合性、應用型本科院校。喀什大學在這一新的定位下，還有一個鮮明的特點就是，這是一所位于我國南疆少數民族地區多民族的、唯一的一所綜合性大學。以信息與計算科學專業的學生為例，這里既包括漢族學生也包括維族學生，經過調查發現，維族學生與大部分漢族學生畢業后的去向是中小學，成為數學教師，只有一小部分漢族學生考取公務員或者從事其它職業。 數學教師肩負著傳播數學思想、知識的重任，只有數學教師本人深刻理解數學、具備好的數學素養，才能更好地傳播數學思想。因此，師范特色的數值分析課程除了要求學生掌握數值分析的基本思想、方法和理論，具備一定的設計、分析和實現算法的科學計算能力以外，應該注重培養學生的數學素養。

2.實施研究性教學，激發學生潛能

仍以喀什大學信息與計算科學專業的學生為例，這里學生的數學素養和數學基礎都不如研究型大學數學專業的學生；比較而言，維族學生的數學基礎又較漢族學生薄弱，并且兩者差距較大。面對教學對象的上述特點，我們主張實施研究性教學。研究性教學的核心理念就是：在教學中以學生為中心，以人為本，以調動學生自身的學習主動性、積極性為手段，以提高學生的學習興趣、學習能力、創新意識為宗旨，在激發學生潛能、啟迪學生思維的過程中傳授知識與技能，促進學生知識、能力、素質的綜合協調發展[1]。

大學設置的數學課程，每門課程都有自己的基本思想、方法和理論，匯總后形成基本的數學思想。袁亞湘院士指出：大學數學重在介紹思想[2]。應該認識到，課程是數學思想的載體，學習不同課程，最根本的是學習思想，利用課程傳播數學思想已經成為許多教師的共識[3，4]。在數值分析教學中，我們提倡快樂學習，提倡深刻理解思想和基本方法，而不需要死記硬背大批的公式、結論。比如，在講解三次樣條插值時，首先介紹三次樣條插值的一些實際應用背景，以提高學生的學習興趣。然后，重點講解三次樣條插值函數的構造設計思想、方法，以啟迪學生思維，提高學習能力。我們不要求學生記憶得到的復雜的公式，只是讓學生知道建立樣條插值函數歸結為求解三對角的線性代數方程組即可。最后，讓學生對比三次樣條插值與分段埃爾米特插值的區別，引導學生結合三次樣條插值函數的構造方法，領悟其中蘊含的邏輯與生活哲理，讓學生體會數學思想與現實生活之間的緊密聯系，感受數學學習的樂趣。

基于研究性教學的理念，解決數值分析課程內容多、課時少之間的矛盾，我們采取精講、略講與自修相結合的方式安排教學內容。選擇能體現課程基本思想、方法的內容精講，重要的理論精講、多練，復雜的公式、理論推導等略講或者不講，有些內容安排學生自修。這樣不僅節省了課時，而且調動了學生的積極性，讓學生體會了成就感，鍛煉了分析問題、解決問題的能力。比如，精講拉格朗日插值多項式基函數的構造思想，讓學生體會基函數的數學美感——簡潔、對稱；精講牛頓插值多項式的逐步生成方法，并讓學生仔細體會與拉格朗日插值多項式的區別。事實上，逐步修正（生成）方法是數值分析的基本技術方法，花時間精講是值得的。接下來，基于等距節點的差分形式的牛頓插值公式可以不講，在介紹了差分的概念之后，讓學生自行推導出來。

3.如何培養學生的數學素養

什么是數學素養？數學名師顧沛先生說，在學校學的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，一兩年很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，深深銘刻在頭腦中的數學的思想精神、數學的思維方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，數學素養使人們終身受益[5]。我們體會數學素養就是把所學的數學知識都排出或忘掉后剩下的東西，是多年的數學學習后留下的終身烙印，主要的指向是能力，應該包括發現問題、分析問題、解決問題的能力和研究、創新能力。那么如何培養學生的數學素養呢？

既然數學素養是多年的數學學習后獲得的，而課程學習是最基本和直接的數學學習，所以培養學生的數學素養主要在課程教學中進行。在課程教學中，應該注重培養能力，抓住一切機會，引導學生學會發現問題、分析問題、解決問題，激發研究、創新能力。例如，教科書[6]在介紹了牛頓法求解非線性方程后，提出簡化牛頓法以解決牛頓法的一些問題。我們可以在介紹弦截法以后，分析弦截法的問題，引導學生按照簡化牛頓法的思路提出如下所謂的簡化弦截法。

xk+1=xk-■（xk-x0），k=1，2，…

其中x0，x1為初值。圍繞這一方法開展收斂性、計算等問題的討論，并且要求學生以論文的形式提交討論結果。實踐表明，這一過程激發了學生的創新意識和研究熱情，提升了學生分析問題、解決問題的能力。

內容結束，綜上，培養學生的數學素養除了課堂教學以外，可以用學術講座的形式進行補充。學術講座的內容應該選擇與課程學習有聯系的內容，由淺入深，盡量讓學生聽得懂，又能激發進一步研究的欲望。比如，在學習了線性代數方程組的直接法和迭代法以后，我們精心組織了三次有關并行數值方法的學術講座。第一講介紹并行數值方法的有關概念、分析線性代數方程組的一些古典解法的并行性。第二講介紹線性代數方程組的并行直接方法。第三講介紹線性代數方程組的并行迭代方法. 這三次講座內容都是緊密圍繞課程內容進一步展開的、學 （下轉第107頁）

（上接第103頁）

術界的熱點研究問題。學生剛剛學習了高斯消去法、雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法，感覺非常親切，能聽得懂，接受得快，普遍反映加深了對課程內容的理解，而且在獲得新知識的基礎上，能進一步對比、分析出各個方法的優缺點。實踐表明，這些講座開闊了學生視野，使學生學習了學科前沿的新知識，打開了進一步探究的空間。

參考文獻：

[1]顧沛. 把握研究性教學推進課堂教學方法改革[J].中國高等教育，2009，（7）：31-38

[2]袁亞湘.大學數學重在介紹思想[J].高等數學研究，2002，（3）：4-5

[3]張謀，魏曙光，易正俊. 高等數學教學中數學思想的滲透[J]. 高等理科教育，2015，（3）：90-94

[4]吳慧，孫丹娜，劉倩. 高等數學課程的教學改革與模式探索[J]. 高師理科學刊，2016（4）：46-49

[5]顧沛.以科學素質教育系列課程為大學生文化素質教育助力[J].高教發展與評估， 2009（2）：104-110

[6]李慶揚，王能超，易大義.數值分析（第五版）[M].北京： 清華大學出版社，2008

作者簡介：

阿米娜·沙比爾（1973-） 女，喀什市人，南開大學在讀博士生，喀什大學副教授，主要從事計算數學理論研究。