探究高中數(shù)學(xué)立體幾何問題解析方法

張伊丹

摘 要：立體幾何的學(xué)習(xí)對于高中生來說極其重要，它對高中生培養(yǎng)空間幾何感具有重要的作用，對思維空間的練習(xí)具有極強(qiáng)的可塑性。這種問題的解答不光需要我們高中生有較好的空間想象力還需要掌握一定的解題規(guī)律和技巧。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 立體幾何 解析

1 立體幾何概述

平面幾何是立體幾何的基礎(chǔ)，立體幾何是平面幾何課程的延伸。想要構(gòu)成一個(gè)立體幾何，主要看三個(gè)方面，一點(diǎn)、二直線、三平面，這三個(gè)方面相互依存，缺一不可。并且?guī)缀蔚慕夥ㄒ捕喾N多樣，從不同的角度看待問題，可以得出不同的解法，一題多解，而這也正是數(shù)學(xué)科目解題的關(guān)鍵特征。幾何問題是數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域中的重點(diǎn)問題，立體幾何問題的學(xué)習(xí)，是認(rèn)知三維空間圖形，培養(yǎng)空間思維創(chuàng)造能力、事物推理能力的重要手段與途徑。所以，能夠掌握立體幾何的解題精髓對高中生來說，無論是學(xué)習(xí)上，還是對待事情的處理方面，都會產(chǎn)生一定的影響。

2 高中數(shù)學(xué)立體幾何問題解析方法

2.1 關(guān)于幾何中翻折問題的解法

“翻折”是解析立體幾何問題中經(jīng)常用到的一種方法。它是通過以圖形在平面中的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系等來研究該幾何體在空間中各個(gè)元素的數(shù)量和位置關(guān)系。此類問題往往隨著翻折的變化而產(chǎn)生解決問題角度的變化，切入角度多樣，方法各異。

例1：如圖 1，在菱形ABCD中，∠BAD=π/3，線段AD，BD的中點(diǎn)分別為E、F。通過對角線BD，翻折△ABD至圖2位置，求BE與CF成角取值范圍是多少。

分析：本題涉及立體幾何問題的翻折，在翻折過程中，求解相應(yīng)變量的取值范圍問題。在翻折過程中，并不是所有的條件都在改變，看清變量與定量是幾何問題求解中的重難點(diǎn)。所以，若要快速的找到解決問題的方法，就要分清定量與不定量分別是哪些。在解這題題目的時(shí)候，可以運(yùn)用多角度思維的方式來處理，如定義法、定義域向量結(jié)合法、特殊模型法等。

解法1：如圖3，過點(diǎn)F作FE//EB交AD于點(diǎn)H，連接HC。

設(shè)菱形ABCD的邊長為1，

可得，

當(dāng)AD與CD重合時(shí)，此時(shí)HC=；當(dāng)還沒有翻折時(shí)，即此時(shí)還是菱形時(shí)，由余弦定理得。

由此可得∠HFC就是異面直線BE與CF所成的角，

根據(jù)余弦定理有

而，那么，則，則。

∵異面直線所成角的取值范圍為，

∴異面直線M 與CF所成角在范圍里，

而當(dāng)取值為時(shí)，不符合題意，故舍去。所以答案為。

分析：根據(jù)向量之間夾角，以及異面直線定義，因此可用向量的解法來對問題進(jìn)行求解。

解法2：設(shè)菱形ABCD的邊長為1，

可得BD=1，BE=FC=，由于

則

結(jié)合圖形可知在翻轉(zhuǎn)過程中有，則有，

那么則有，

通過分析異面直線成角的取值范圍，可以得出異面直線之間成角的范圍，即BE、CF所成角為。

分析：通過建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出二面角A-BD-C的平面角的大小為θ，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積來處理與求解，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求解向量的夾角問題。

解法3：設(shè)二面角A-BD-C的平面角的大小為異面直線BE與CF所成角為。

取極端思維：翻折前，幾乎沒動，此時(shí)，結(jié)合平面幾何的性質(zhì)可得此時(shí)，可得。

翻折后，當(dāng)，此時(shí)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得；

繼續(xù)翻折，幾乎AD與DC重合，此時(shí)，結(jié)合平面幾何的性質(zhì)可得此時(shí)，可得。

綜合可得，故答案為。

分析：幾何問題中最重要的是先畫出輔助線，確定HF與CF所成的夾角就是異面直線BE與CF所成的角，根據(jù)翻折時(shí)HF所對應(yīng)的立體幾何模型的特征，結(jié)合圓錐的性質(zhì)來確定兩直線的夾角問題，從而求解異面直線所成的角。

2.2 關(guān)于幾何中線面關(guān)系的判定

例2：如圖4，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn)，求證：A1C//平面BDE。

證明：連接AC交BD于O，連接EO，

∵E為AA1的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)

∴EO為三角形AA1C的中位線 ∴EO//A1C

又EO在平面BDE內(nèi)，AC在平面BDE外，A1C在平面BED外

∴A1C//AC平面BDE。

2.3 關(guān)于點(diǎn)線面距離關(guān)系的計(jì)算

例3：如圖5，在棱長為a的正方體中，求異面直線BD和B1C之間的距離.

（直接法）如圖6：

取BC的中點(diǎn)P，連結(jié)PD、PB1分別交AC、BC1于M、N兩點(diǎn)， 易證：DB1//MN，DB1⊥AC，DB1⊥BC1。

∴易證：MN=DB1=。

（轉(zhuǎn)化法）如圖7：

∵平面ACD1//平面A1C1B，

∴AC與BC1的距離等于平面ACD1與平面A1C1B的距離。

因?yàn)镈B1⊥平面ACD1，且被平面ACD1和平面A1C1B三等分。

∴所求距離為。

3 結(jié)語

對于高中數(shù)學(xué)中復(fù)雜的幾何問題，最重要的是要培養(yǎng)空間想象能力和熟悉各大題型的解題方法。這不僅對于立體幾何的解答有很大幫助，同時(shí)也會對我們培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維敏感有很大幫助。

參考文獻(xiàn)

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