如何讓其他學(xué)生學(xué)習(xí)優(yōu)秀生的數(shù)學(xué)思維方法

黃河清

[摘? ?要]優(yōu)秀生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有許多有別于他人的思維方式和學(xué)習(xí)習(xí)慣，這讓他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中總能領(lǐng)先一步.認(rèn)真研究?jī)?yōu)秀生數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn)，指導(dǎo)更多學(xué)生學(xué)習(xí)、借鑒，這對(duì)大面積提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效益有很好的促進(jìn)作用.

[關(guān)鍵詞]優(yōu)秀生;數(shù)學(xué)思維;問(wèn)題導(dǎo)學(xué);學(xué)習(xí)策略

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）02-0001-03

我們常常驚嘆一些學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)楹稳绱藘?yōu)異，羨慕他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的悟性，甚至認(rèn)為這都是遺傳或天賦所然.事實(shí)并非如此，很多理論與實(shí)踐研究表明，優(yōu)秀生能力超人主要靠后天積累.其中，思維方法精良、思維積極性超群是最重要的因素.怎樣深入了解優(yōu)秀生的思維方法，促進(jìn)其他學(xué)生改變?cè)袑W(xué)習(xí)方式，提高其他學(xué)生的思維能力？?jī)?yōu)秀生的數(shù)學(xué)思維有哪些基本特征呢？筆者認(rèn)為主要表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面.

一、注重“拓展”，想得更“遠(yuǎn)”

借用《桃花源記》中的情景：走進(jìn)桃花林，有些人只會(huì)欣賞桃花，眼睛只停留在“桃花”上;有些人不僅會(huì)欣賞桃花，還會(huì)尋到桃林盡處、溪流源頭方罷;而真正的探尋者哪怕到“山窮水盡”時(shí)，仍去努力發(fā)現(xiàn)山洞，憑借 “仿佛若有光 ”的聯(lián)想，猜想山洞那頭必有另一番天地并努力前往，最終發(fā)現(xiàn)新景象.

這和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的道理是一樣的.不少學(xué)生想象太“窄”，學(xué)習(xí)只考慮眼前事，很少主動(dòng)往“遠(yuǎn)”處想，限制了思維的展開.像對(duì)公式的學(xué)習(xí)，大多數(shù)學(xué)生只局限于套用公式，思維停留在 “認(rèn)知”階段;中等學(xué)生雖然解決了認(rèn)知問(wèn)題，但很少思考公式變形、怎樣轉(zhuǎn)化等.優(yōu)秀生就不一樣，他們不滿足于一般的認(rèn)知，不滿足于“已理解”，喜歡刨根問(wèn)底，總是努力尋找疑點(diǎn)，去猜想公式是否有多種形式，是否存在反例.遇到問(wèn)題，他們喜歡“正反”看、“左右”看、“前后”看、 “上下”看，既能整體思考又能局部分析，使得他們的思維空間更大.例如，對(duì)一個(gè)變“元”，一般學(xué)生常常習(xí)慣把它用一個(gè)x表示，但優(yōu)秀生就敢于把代數(shù)式中多次出現(xiàn)的同一結(jié)構(gòu)成分看作新“元”x，從而把復(fù)雜的代數(shù)式看成關(guān)于新“元”的簡(jiǎn)單式子，使思維得以順利進(jìn)行.主動(dòng)拓展，是優(yōu)秀生反應(yīng)快的原因之一.

二、注重“積累”，記得更“牢”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是建“空中樓閣”，它是建立在一定知識(shí)、技能基礎(chǔ)上的.你要聯(lián)想，你就要有東西可“想”，這些“東西”就是你所學(xué)過(guò)的知識(shí)、方法，沒(méi)有強(qiáng)大的知識(shí)儲(chǔ)備，記得不“熟”、不“牢”，你的“聯(lián)想”就無(wú)法展開.

優(yōu)秀生之所以能對(duì)所學(xué)內(nèi)容總做到熟練于心，其奧秘在于他們會(huì)“讀”書，能主動(dòng)構(gòu)建自身的知識(shí)框架.這體現(xiàn)在幾個(gè)方面.

一是讀課本，過(guò)好教材關(guān).課本是知識(shí)的呈現(xiàn)和概括，要讀懂、讀透.讀課本可從三方面去抓好：讀目錄、列知識(shí)清單、找核心內(nèi)容.

讀目錄，每本書、每章書、每節(jié)書到底講什么內(nèi)容，目錄是最畫龍點(diǎn)睛的，要讀好、記牢目錄，這樣知識(shí)要點(diǎn)、脈絡(luò)就清楚了;列知識(shí)清單，要根據(jù)課本內(nèi)容把相關(guān)知識(shí)做個(gè)梳理，進(jìn)行排序或列框架圖，使眾多的知識(shí)一目了然，幫助記憶;找核心內(nèi)容，要將這個(gè)單元的重要概念、重要方法、重要數(shù)學(xué)思想進(jìn)行提煉，使重點(diǎn)知識(shí)更突出.知識(shí)能否記“熟”、記“牢”，完全取決于你是否這樣認(rèn)真去讀課本，是否這樣認(rèn)真去訓(xùn)練，是否這樣認(rèn)真去堅(jiān)持.

二是讀題，過(guò)好習(xí)題關(guān).習(xí)題是檢驗(yàn)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力的基本考量.認(rèn)真讀題，就是要學(xué)會(huì)了解題目設(shè)置的目的所在，題目考查了哪些知識(shí)、方法，它與所學(xué)知識(shí)有什么內(nèi)在聯(lián)系，等等，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)的深入理解.

讀題首先要一題一題讀.課本每道題都有其鮮明的用意，考查什么、怎樣考查，要求各有不同，要讀懂其含義，明白為什么出了第一題還要出第二題;其次要一套一套讀.套題從某個(gè)層面講，就是一章（節(jié)）知識(shí)的概括，反映了一章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和方法，把套題讀懂讀熟，既得到了訓(xùn)練，也把本章知識(shí)做了很好的復(fù)習(xí)，一舉兩得;三是讀題要一遍一遍讀.一遍讀不懂再來(lái)一遍，你對(duì)知識(shí)的認(rèn)知就強(qiáng)化了一遍，再分析哪些題是真“懂”真“會(huì)”的，哪些題是“懂”而“不會(huì)”的（課堂上聽得懂遇到問(wèn)題不會(huì)做），哪些題是不“懂”又“不會(huì)”的，從而明確自己努力的方向.

多“讀”，對(duì)知識(shí)和解題方法的理解就會(huì)不斷深入，就能做到熟能生巧，能力的提升就會(huì)“螺旋式上升、 波浪式前進(jìn)”.這是優(yōu)秀生反應(yīng)快的原因之二 .

三、注重“聯(lián)系”，轉(zhuǎn)化更“快”

很多學(xué)生遇到新問(wèn)題時(shí)，常常找不到思路，不知如何入手.因?yàn)椋麄內(nèi)鄙購(gòu)V泛的“聯(lián)系”意識(shí)，不會(huì)主動(dòng)將新問(wèn)題與舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，造成思維受阻.

優(yōu)秀生的一個(gè)重要特質(zhì)，就是他們喜歡聯(lián)系猜想.一見新問(wèn)題，就會(huì)立即回憶以前解過(guò)的老問(wèn)題，努力從中得到啟發(fā).而能否找到合適的老問(wèn)題，常常取決于怎樣在新問(wèn)題中尋找熟悉的成分，一旦發(fā)現(xiàn)，就立即回想有關(guān)的老問(wèn)題，回憶其解法，利用它擬出全局或局部解題方案，哪怕僅僅引出關(guān)于解題方向的預(yù)感、猜測(cè)也好.換言之，優(yōu)秀生總是試圖把學(xué)過(guò)或解過(guò)的問(wèn)題，都變成解難題的跳板，在知識(shí)與難題之間架設(shè)一座橋梁.

優(yōu)秀生非常善于轉(zhuǎn)化.當(dāng)他們一時(shí)想不到合適的定理，沒(méi)辦法把難題分解時(shí)，就會(huì)迅速轉(zhuǎn)換路徑，覓取其他解題信息，引出新的猜想，從而找到下一步思維的方向，使問(wèn)題由陌生轉(zhuǎn)化為熟悉.

轉(zhuǎn)化有多種形式，有加減法的轉(zhuǎn)化、乘除法的轉(zhuǎn)化、乘方與開方的轉(zhuǎn)化、對(duì)數(shù)與指數(shù)的轉(zhuǎn)化、數(shù)形轉(zhuǎn)化等.而添置輔助線、設(shè)輔助元、構(gòu)造方程、構(gòu)造不等式、構(gòu)造模型等，也是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體手段.轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與不等價(jià)轉(zhuǎn)化兩種.等價(jià)轉(zhuǎn)化后的新對(duì)象與原對(duì)象的形式不同，但實(shí)質(zhì)一樣.不等價(jià)轉(zhuǎn)化則部分地改變了原對(duì)象的實(shí)質(zhì).例如，解簡(jiǎn)單的無(wú)理方程時(shí)，通過(guò)在方程兩端乘方將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，新方程與原方程未必同解，這個(gè)轉(zhuǎn)化就是不等價(jià)轉(zhuǎn)化.這時(shí)，就要對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行必要的修正（如驗(yàn)根）.轉(zhuǎn)化的意識(shí)不僅來(lái)源于做習(xí)題，更來(lái)源于對(duì)習(xí)題典型解法的總結(jié)、回味與“提煉”，堅(jiān)持訓(xùn)練，思維才能更規(guī)范、更科學(xué).能注重聯(lián)系，迅速轉(zhuǎn)化，是優(yōu)秀生反應(yīng)快的原因之三.

四、注重“發(fā)散”，探索更“深”

發(fā)散性思維是創(chuàng)造性思維的主導(dǎo)成分，對(duì)創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生和發(fā)展有著極大的作用.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要敢于發(fā)散思維和標(biāo)新立異，敢于另辟蹊徑，培養(yǎng)創(chuàng)新品質(zhì).

優(yōu)秀生從不就題論題，他們常常在解決問(wèn)題的過(guò)程中，努力感悟更多的數(shù)學(xué)思想方法.他們通過(guò)一題多解、一題多串、一空多填、一問(wèn)多答、一題多證等形式的訓(xùn)練，培養(yǎng)思維的發(fā)散性.他們十分注重挖掘解題過(guò)程中的“副產(chǎn)品”，常常會(huì)把習(xí)題升華為定理形式，訓(xùn)練自己由表及里、去粗取精、抽象概括和文字表達(dá)等能力.他們喜歡通過(guò)減弱條件、加強(qiáng)結(jié)論等方式，嘗試得到更“精”的命題，或者去探討逆命題的真假，等等.換言之，優(yōu)秀生解一道題往往可以引出幾道新題，并存入腦海，使知識(shí)體系和方法積累不斷膨脹，使思路向各方延伸，這讓他們?cè)诮鉀Q新問(wèn)題時(shí)，更容易識(shí)別那些改頭換面的題目.這是優(yōu)秀生有驚人的聯(lián)想力和記憶力的奧秘所在.

舉個(gè)例子，解方程[x2-4x+7+x2-4x+7=6].學(xué)生通常都是用常規(guī)的換元法或移項(xiàng)平方求解.但有的優(yōu)秀生卻發(fā)現(xiàn)到這樣的特點(diǎn)：[6=4+4]，于是推出[x2-4x+7=4]，解得[x1=1，x2=3]都是原方程的解.多有創(chuàng)見的解法！可以說(shuō)，注重發(fā)散、勇于探索是優(yōu)秀生反應(yīng)快的原因之四.

五、注重“猜想”，方法更“多”

數(shù)學(xué)中的猜想，是依據(jù)某些知識(shí)和已知事實(shí)，對(duì)未知量及其關(guān)系做出的似真推理，是科學(xué)假說(shuō)在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn).牛頓有一句名言：“沒(méi)有大膽的猜想，就沒(méi)有偉大的發(fā)現(xiàn).”猜想是點(diǎn)燃創(chuàng)造性思維的火花，數(shù)學(xué)創(chuàng)造往往開始于不嚴(yán)格的猜想，“觀察（實(shí)驗(yàn)、分析）—猜想—證明”是數(shù)學(xué)乃至科學(xué)發(fā)展的重要途徑.因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要注重依據(jù)經(jīng)驗(yàn)素材，利用實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、變換條件等手段，對(duì)所研究的問(wèn)題通過(guò)合情推理，形成數(shù)學(xué)猜想，并通過(guò)邏輯驗(yàn)證其結(jié)論，尋找解決問(wèn)題的辦法.

優(yōu)秀生經(jīng)常訓(xùn)練似真推理和反面思維，他們以特殊化、極限化、猜測(cè)、類比、歸納、模擬等似真推理為嘗試，去尋找可能的解題方向，這使他們不斷提高自主發(fā)現(xiàn)、舉一反三的能力.他們對(duì)似是而非的猜測(cè)總不滿足，一定要弄個(gè)水落石出;他們從不盲從于任何結(jié)論，總是想方設(shè)法構(gòu)造反例推翻它，實(shí)在找不出反例才想辦法去證明它.注重構(gòu)造反例，也是優(yōu)秀生的一種特質(zhì)，它是一個(gè)人理解力、創(chuàng)造力和論證力的集中反映，是思維能力強(qiáng)弱的重要表現(xiàn).優(yōu)秀生還常常運(yùn)用特殊化手法先檢驗(yàn)命題的可靠性，并順著這條思路尋找反例或解法.注重“猜想”，強(qiáng)化似真推理，是優(yōu)秀生反應(yīng)快的原因之五.

六、注重“內(nèi)化”，掌握更“實(shí)”

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，知識(shí)并不是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的客觀反映和準(zhǔn)確表征，而是動(dòng)態(tài)生成的，應(yīng)該是學(xué)生在與自然的對(duì)話中主動(dòng)建構(gòu)的.其次，學(xué)習(xí)者是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)習(xí)過(guò)程是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)自己知識(shí)的過(guò)程.它還認(rèn)為，人的學(xué)習(xí)可以分為“初級(jí)學(xué)習(xí)”和“高級(jí)學(xué)習(xí)”兩種類型.在初級(jí)學(xué)習(xí)階段，學(xué)習(xí)過(guò)程主要是一種掌握結(jié)構(gòu)性知識(shí)的過(guò)程，學(xué)習(xí)者由此獲得的往往是普遍而抽象的事實(shí)、概念和原理.高級(jí)學(xué)習(xí)主要是獲得非結(jié)構(gòu)性的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，學(xué)習(xí)者由此獲得的是與具體情境相關(guān)聯(lián)的知識(shí)，這些知識(shí)是在解決問(wèn)題的過(guò)程中不斷建構(gòu)出來(lái)的.

優(yōu)秀生學(xué)習(xí)上特別體現(xiàn)出建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的影子，他們總是積極參與教學(xué)活動(dòng)的感知過(guò)程和理解過(guò)程;參與定義、結(jié)論的引入過(guò)程，主動(dòng)培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)觀察力和探究意識(shí);參與定義、結(jié)論的抽象過(guò)程，積極發(fā)展抽象思維能力和理解能力;參與例題的分析過(guò)程，培養(yǎng)想象力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的能力.一句話，他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中，十分注重知識(shí)的內(nèi)化，總是努力從自己的角度出發(fā)去思考問(wèn)題、理解問(wèn)題，而不盲目接受.他們很少去死記硬背自己不理解的東西，總是努力讓每一個(gè)知識(shí)在理解的基礎(chǔ)上去掌握.優(yōu)秀生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題面對(duì)疑難時(shí)，他們請(qǐng)教教師的方式也和一般學(xué)生不一樣，他們決不僅僅問(wèn)教師怎么做，或者被動(dòng)地接受教師的觀點(diǎn)，而是把自己解決問(wèn)題的思路全盤向教師端出，讓教師了解自己的困惑所在，促使教師沿著自己的思路去分析問(wèn)題，指導(dǎo)自己突破難點(diǎn).因此，每一次請(qǐng)教教師，他們都能真正解決自己的困惑，這比很多學(xué)生經(jīng)常簡(jiǎn)單地讓教師幫助解題受益大得多.假以時(shí)日，他們擁有的知識(shí)更“實(shí)”，這是優(yōu)秀生反應(yīng)快的原因之六.

七、注重“超前”，思考更“廣”

創(chuàng)造性思維的特點(diǎn)是創(chuàng)新，不是重復(fù)，它要求具有較強(qiáng)的思維獨(dú)立性.思維的獨(dú)立性就是善于獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.

優(yōu)秀生大多數(shù)都具有超前的意識(shí)和能力，無(wú)論在聽課還是在自學(xué)，都注重超前思考、超前學(xué)習(xí).課堂中只要留心觀察你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)教師還在幫助一般學(xué)生理解問(wèn)題、解釋命題時(shí)，在許多學(xué)生還在等待老師“下回分解”時(shí)，優(yōu)秀生早就自行“上路 ”了.也就是說(shuō)，教師才走第一步，他們就已經(jīng)走第二步、第三步，甚至已經(jīng)“跑”完了教師的所有思路，正在尋找別的解法.超前思考有很多益處，如能先于其他學(xué)生遇到問(wèn)題，在遇到困難時(shí)，他們能有目的地等候教師的講解，而當(dāng)教師點(diǎn)到，一般學(xué)生還未回過(guò)神來(lái)時(shí)，他們?cè)缫崖冻龀晒Φ南矏?優(yōu)秀生為什么能做到超前思維？究其原因，主要靠思維方法精良，也靠長(zhǎng)期積極思維的習(xí)慣和毅力.一般學(xué)生缺乏這樣的習(xí)慣和毅力，常常就會(huì)自學(xué)到“半桶水”時(shí)就沾沾自喜、滿足，不愿超前思考，最終就會(huì)與優(yōu)秀生拉開差距.這里要特別說(shuō)明的是，預(yù)習(xí)不是思維超前，預(yù)習(xí)只是認(rèn)知超前，與思維超前截然不同.

綜上可知，優(yōu)秀生臉上“天賦”的面紗其實(shí)是超常思維的綜合體，他們依靠的是思維方法精良、擁有積極思維的習(xí)慣與毅力等.其他學(xué)生要學(xué)會(huì)從他們的思維方式中吸取精華和選擇適合自己的方法，不斷地轉(zhuǎn)變思維方式，這樣才能讓思維更活，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更順暢，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力提升更快.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）