高中數學解題中導數的易錯點初探

張紀魁

【摘要】數學作為一門邏輯性較強且比較抽象的工具學科，是高中階段學習活動的重點內容。但在學習導數相關知識點過程中很多同學容易出錯。本文將從導數基本概念出發，分析求極值、幾何計算、定義域等易錯點，有針對性的討論出現問題的根本原因，從而正確規避，為提高數學學習效率提供理論幫助。

【關鍵詞】高中數學;導數;易錯點

引言

從廣泛意義上來看，導數是微積分的重要組成部分，掌握好導數相關知識對解答函數問題起到重要幫助。高中整體數學內容涵蓋了：導數、函數、幾何、概率等多個知識體系，并且在歷年高考中都占有一定比例。導數與函數都好學數學的基礎工具，但導數相對難度較大，所以本文討論內容有一定意義。

一、高中數學導數概述

從導數學習情況來分析，其邏輯性較強且抽象的概念是導致學習效果不佳的根本原因，很多同學在沒有深入了解定義的情況下就開始習題，往往造成結果失誤。另外導數綜合性也比較強，其中涵蓋了函數參數、幾何定義等知識，所以需要在學習相關內容之前有一定的知識儲備能力。宏觀意義上來說，導數是近代數學里程碑式的研究，其讓變量與函數之間產生了新的聯系，導數中涵蓋了很多知識體系，所以其也可以同樣應用到這些習題的計算過程當中，并起到很高的功能價值，最開始學習相關內容，導數之間每個知識點都會表現出一種“分渭交式”狀態，所以高中課程將數列、極限、函數極值放在最開始學習。從簡入難，最終完成導數幾何、導數求單調性、導數求極值等內容的學習。

二、導數極值易錯點

利用導數求函數極值也是高中階段的常見題型，很多同學都誤以為如果函數最終求導結果為0，那么這就是函數的極值點。這種錯誤解題觀點的出現是由于相關知識點掌握不全面，僅靠字面意思理解而沒有深化學習深刻定義。如果認為導數為0時，函數極值可求，那么最終結果會出現很大偏差。例如f（x）=x³-6x²+cx，且在x=b的時候存在最小值為g（b），則g（b）的定義域、值域分別是什么。如果用上文中錯誤的導數解題理念，就會導致其首先求導f（x）=x⁴-2x²+ax，然后得到f（x）=x²-6x+cx，然后得到（x-1）²+c-6，讓f（b）=0，得到c=-b²+6b。可知f（x）可以在符合題目要求的條件下得到最小值，最終可知f（x）=0，所以得到c<6，c=-t²+6t²<12得到t≠2，到此可知道g（t）=f（t）=-t²+3t²（t≠2）的值域。出現這種問題的根本原因就是很多同學都沒有理解f'（x）=0是求最小值所需的必要條件。正確的解題答案應該是在f（x）=x³-6x²+cx的時候存在最小值，然后當t>1的時候，函數g（t）在定義域（+∞，2）里為減函數，函數值域為（-∞，8）。

三、導數幾何計算易錯點

在學習導數知識過程中可以明顯發現，函數、導數之間存在的幾何意義可以看出函數運動時曲線某范圍內的斜切率，如果能充分理解相關內容定義，在處理幾何計算問題時的效率就會明顯提升。例如：在計算曲線切線方程y=-2x²+x時，該方程式經過點（1，1），求出該曲線的切線方程。很多同學在計算該題時出現錯誤都是因為先對y=-x²+x進行直接求導，然后把（2，1）直接帶入到其中，得到最終切線斜率k=-2，然后帶入得解y=-2x+1。在這種錯誤解題思維中，首先解題人沒有判斷（2，1）是否存在于曲線，，所以不能將其直接導入到切線方程中。因此正確完整的解題過程應該是先設定一個切點Q（x_a，y_a），然后把（2，1）帶入，得到ya=-x_a²+x_a，然后求得斜率為k=f‘=-2x_a+1，根據斜線定義求知k=y_a-1/x_a-1，最終得到x_a=0或者x_a=2。切線方程為y=x以及y=-7x+8。

四、導數定義域易錯點

很多同學在學習完導數知識以后，利用其對極值求解的時候忽視了函數變量自身定義域在其中起到的作用，定義域代表了函數發生變化的有效區間，同時也是一個函數意義構成的重要組成部分，如果在解題時未能重視這一方面內容就會導致解題過程出現概念性的失誤，例如：在求函數f（x）=In（1+x）=x函數單調性的時候，如果忽視定義域就會導致很多同學會第一時間對f（x）=In（2+x）=x進行求導處理，然后得到f'（x）=1/x+2-1，則f'（x）=0，最終得到x=0，利用得出的x=0可知，如果f（x）>0的時候則x>0，反之f（x）<0，x<0。然后判斷題目中f（x）=In（2+x）=x的極值為x=0，且f（x）=In（2+x）=x在（-∞，0）范圍內為單調遞增，而在（+∞，0）范圍內做單調遞減。從上述錯誤解題思維中可以發現，在忽視定義域后對f（x）=In（2+x）=x進行求解，就很容易忽視題目中（-2，+∞）定義域，所以在解題過程中也沒有強調原函數變量的重要性，定義域的變化沒被計算在其中，因此就導致整體解題思路以及最終得出結果發生錯誤，而正確的結果則是f（x）=In（2+x）=x在（-1，+∞）范圍內做單調遞減。在實際運算過程中很多同學第一時間看到這種類型題都會覺得很簡單，所以會疏忽定義域的理解，最終造成結果錯誤。

結論

綜上所述，想要提高自身數學學習能力，就需要從熟記定義與概念開始，牢記知識點并通過練習累積實際應用經驗。導數應用范圍十分廣泛，對于瞬時變化率、斜率、函數單調性等問題的解決均都起著重要作用，可以說其應用貫穿了整個高中數學學習階段，對于提高成績，調動思維能力均有積極意義。

【參考文獻】

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