初中數學最值問題初步探討

摘?要：最值問題貫穿于整個初中數學的學習過程，在中考試卷中占據著較重的分數。最值問題的形式多種多樣，其解法也靈活多變，如果再加上生活背景，這就使得學生在遇到此類問題時覺得難度較大，不容易搞懂。在初中數學最值問題中，“花費最少”“時間最短”等最值問題都與日常生活有著緊密聯系，這就使得課堂教學難度加大，本文對此進行初步探討。

關鍵詞：初中數學;最值問題;初步探討

在初中數學教學過程中，最值的求解是一類綜合性較強的問題，在中考中常以壓軸題形式出現，這就增加了解題難度，使得學生在考場上丟失大量分數。初中數學最值問題最主要是考查學生在學習中對基礎知識的綜合運用，不管是代數形式還是幾何問題都存在有待解決的最值問題。下面，筆者從以下幾個方面對最值問題展開論述，希望對大家有所幫助。

一、 運用配方法求最值

在講解最值問題時，配方法是一種重要的基本解題方法。當遇到二次多項式、一元二次方程時，學生要從配方的角度展開思考，運用配方法來進行解答，從而快速解出問題的答案。配方法的主要思路是將式子配成若干個完全平方式，通常以求取問題最小值為主，主要考查學生的觀察和計算能力。筆者認為，配方法是解答最值問題的主要方式之一，學生應當熟練掌握并能夠快速應用。

如，當x為實數時，方程y=3x2+12x+6的最小值為????。

y=3x2+12x+6=3（x2+4x+2+2-2）=3（x2+4x+4）-6=3（x+2）2-6。很顯然，當x=-2時，y的最小值為-6。

如，當x，y是實數，則x2+4y2-4xy+2015的最小值為????。

原式=x2+4y2-4xy+2015=（x2+4y2-4xy）+2015=（x-2y）2+2015。顯然有（x-2y）2≥0，所以當x-2y=0時，所得到的代數值最小，最小值為2015。

二、 基本不等式求最值

在初中數學教學中，教師會在講授最值問題的同時引導學生掌握基本不等式。這類問題有個共性，當遇到兩個數的積為定值，求兩數平方和最小值時，教師不妨帶領學生在解題時考慮不等式“a2+b2≥2ab”，當且僅當“a=b”時取等號。但是，在問題求解過程中，學生一定要注意式子的每一項均為正數，在此基礎上進行靈活運用。

如，若xy=5，那么代數式1x4+14y4的最小值是??。

解，分1x4+14y4=1x22+12y22≥21x212y2=1（xy）2=25。所以：1x4+14y4的最小值是25。

三、

運用判別法求最值

在遇到最值問題時，有時候看起來沒有任何思路，如果應用配方法或不等式法來求解較為困難，教師可以引導學生根據題意來構造關于未知數x的一元二次方程，再利用x為實數，通過方程判別式來求出y的取值范圍，最終得到最值。這種求解問題的方法稱為判別式法，主要應用的范圍為分式型二次函數。

如，求x2-x+1x2+x+1的最大值與最小值分別為多少。

設x2-x+1x2+x+1=y，通過分式整理得：x2-x+1=yx2+yx+y。

即（1-y）x2-（1+y）x+1-y=0。因為x為實數，所以Δ≥0，即（1+y）2-4（1-y）2≥0，從而解得13≤y≤3。因此，x2-x+1x2+x+1的最大值為3，最小值為13。

如，求函數y=3x2+6x+512x2+x+1的最小值。

原式可以化為：y12x2+x+1=3x2+6x+5，整理公式得（6-y）x2+（12-2y）x+（10-2y）=0，因為x的取值范圍為全體實數，因此關于x的二次方程均有實數根?！唳?（12-2y）2-4×（6-y）（10-2y）=-4y2+40y-96≥0，即，y2-10y+24≤0，得4≤y≤6。因此，函數y=3x2+6x+512x2+x+1的最小值為6。

四、 數形結合求最值

在做題時，當遇到一些代數條件中的問題有幾何意義時，或通過分析發現問題與幾何有所關聯時，教師不妨采取數形結合的教學方法，引導學生根據數形結合思想來求解問題最值。

如，求x2+4+（8-x）2+16取最小值時實數x的值。

x2+4+（8-x）2+16=（x-0）2+（0-2）2+（x-8）2+（0-4）2。此時，學生可以構造圖形，作A（0，2）關于x軸的對稱點A′（0，-2），設直線A′B的解析式為y=kx+b，從而得：

0k+b=-2

8k+b=-4解得k=34

b=-2，得到y=34x-2，使y=0，則x=83。所以，當x=83時，x2+4+（8-x）2+16存在最小值。

雖然最值問題的解題思路和方法多種多樣，但是，“萬變不離其宗”，學生只要從配方法、基本不等式、判別法及數形結合等多種角度深入分析，就能迅速解答問題，從而在考場上取得理想的數學分數。

參考文獻：

[1]王盛裕.例談數學競賽中的最值問題[J].中學數學雜志，2002（2）.

[2]吳崇慶.初中數學求值問題的兩種方法——兼談數學思想與方法的滲入[J].中學數學教學，1997（12）.

作者簡介：

張火木，福建省晉江市，福建省晉江市磁灶中學。