新課標理念下的高中數學概念教學

王秀英

【摘 要】本文論述高中數學概念教學的策略，認為應講清概念產生的背景、概念的形成過程及其本質屬性，重視新舊概念的聯系與概念的應用，在應用中理解概念。

【關鍵詞】高中數學 概念教學 概念實質 形成過程 本質屬性

【中圖分類號】G? 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）01B-0040-03

數學概念教學是數學知識教學中的首要環節，是基礎知識和基本技能教學的核心，也是幫助學生構建數學知識結構，提高認知水平，培養思維能力等的重要基礎。高中數學概念是高中數學基礎知識的核心，是學生運用數學知識解決問題的重要理論依據。因此，講清概念，讓學生正確理解概念，應該成為高中數學教學的重要關注點和提高數學教學質量的重要依托。但在實際的教學中，由于受各種因素的影響，很多教師忽視概念教學而重視解題教學的現象普遍存在，造成了學生對概念理解不清，應用不靈活，嚴重影響了學生的解題質量和學習效果。

《普通高中數學課程標準（試驗）》（以下簡稱新課標）指出，數學教學的最終目的是培養學生的數學能力，數學教學應當使學生理性認識數學概念的本質。同時指出，數學教學中應加強對基本概念的理解和掌握，對一些核心概念要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解。因此，教師應該更新教學理念，重視數學概念的教學。那么，該如何有效地進行數學概念教學呢？

一、概念教學應重視講清概念產生的背景

新課標要求在數學教學中，注意引導學生初步了解數學科學與人類社會發展之間的相互作用，了解社會發展對數學發展的促進作用。要求使學生在獲得基本知識和基本能力的同時，也要了解概念、結論等產生的背景。許多數學概念都是在一些特定的歷史條件或社會背景下產生的，在教學中教師應注意以新概念的產生背景為基礎，重視新舊知識的自然銜接，在學生現有的認知水平與新概念之間創設一種合適的教學情境，水到渠成地引入新的概念。這樣不僅有利于學生對新概念的理解與掌握，而且也在無形中滲透了數學文化，使得數學課堂變得更有趣。

例如，在進行復數教學時，學生對復數這個概念的理解是較困難的。因此，教師在講授這個概念時，可以先拋出一個問題：“一元二次方程 x2+x+1=0 的解是什么？”學生會立刻回答：“該方程無解。”“錯！”老師立即糾正道。（學生肯定會很驚奇，眼睛充滿疑惑，盯著老師）這時老師接著說：“不能說它無解，只能說它在實數集內無解，因為它在復數集內是有解的。”此時學生一定很好奇，老師趁機從數的發展史講起。幾千年前，在生產和生活中，人們為了記數的需要而產生了自然數的概念;為了分配一個整體的量的需要，又引入了分數的概念;后來人們為了表示相反意義的量又引進了負數概念，從而將數集擴充到了有理數集;再后來人們為了表示諸如 2 的平方根的數，又引入了無理數的概念，從而將數的范圍擴充到了實數集……到了 16 世紀人們遇到了形如 x2+x+1=0 這樣的方程，由于它在實數集內是無解的，但人們又需要知道這樣的方程的解，于是便引入了單位復數 i，規定 i2=-1，這樣“-1”就可以開方了，它的平方根為 ±i，這樣，前面的方程也就迎刃而解了。如此，老師順理成章地引出了復數的概念。

在這個案例中，學生通過對復數產生背景的了解，不僅了解了數集的每一次擴充都解決了原有數集不能解決的一些問題，還明確了為什么要學習這個概念，同時對所學過的數集的包含關系也有了更清楚的認識。

再如，對“異面直線”概念的教學，可以先在長方體模型中，引導學生觀察，發現里面有既不相交又不平行的兩條直線。老師問：這樣的兩條直線既不平行又不相交，那它們是什么關系呢？由于不是以前學過的平行直線和相交直線了，當然就有必要對這樣的直線給以新的定義，這樣“異面直線”概念的產生就自然而然了。此時，老師趁機給出簡明、準確、嚴謹的定義。接著讓學生在各種模型中找出、找準所有的異面直線，以體驗概念的發生、發展過程。通過這樣的教學處理，學生不僅明白了為什么要學習這個概念，而且也理解了這個概念與平行直線和相交直線的區別，從而能很好地掌握這個概念。

二、概念教學要講清概念的形成過程并揭示其本質屬性

新課標指出，學生的數學學習活動不應只限于對概念、結論的接受和記憶。高中數學課程應倡導自主探索、動手實踐等學習方式，要充分調動學生學習的主動性，讓學生在老師的引導下，經歷從具體實例中抽象出數學概念的過程。同時，還要求高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質。由于數學概念具有高度抽象的特點，因此概念教學要引導學生關注概念的形成過程—— 從具體實例到抽象出概念，讓學生明白基本概念的來龍去脈，努力揭示、理解概念的本質屬性。在概念教學時，教師要注意創設合適的教學情境，充分揭示數學概念的形成過程，讓學生置身其中，真正體悟概念的形成過程。同時，還要注意引導學生，努力揭示概念的本質屬性。

例如，在教授橢圓的概念時，很多老師通過多媒體，展示檸檬、橄欖球、油罐車的橫斷面的外輪廓圖片等，指出檸檬、橄欖球是橢圓體，油罐車的橫斷面的外輪廓是橢圓，這些實例能讓學生直觀地感受到橢圓的形狀。但從數學的角度看，到底什么樣的圖形是橢圓，通過這些實例是不能得出的。因為從這些圖片中我們無法得出橢圓的本質屬性（概念的本質屬性是指一個特定數學對象，在一定范圍內保持不變的性質）。因此，筆者從知識發生的過程及學生知識的最近發展區出發，做了如下的教學嘗試。

橢圓的教學是在學生學習了圓的基礎上進行的。在本課教學中，筆者首先讓學生回顧圓的定義，接下來將一根繩子的兩端合在一起，固定在黑板的一顆圖訂上，另一端套上粉筆并拉緊繩子，移動粉筆（整個過程始終保持繩子處于拉緊狀態），粉筆頭在黑板上運動的軌跡就是圓。接下來，將繩子兩端分開，并分別固定在事先準備好的兩顆圖釘上（兩圖釘間的距離小于繩子的長度），套上粉筆并拉緊，在移動粉筆前，先讓學生猜猜會得到什么圖形，還會是圓嗎？學生憑直覺，應該不會是圓，但對將會得到什么圖形充滿好奇和期待。接下來，筆者慢慢移動粉筆，同時要求學生仔細觀察圖形的形狀和圖形形成的過程。移動一圈后，學生很快發現得到的圖形不是圓，但和圓又有些相似。筆者告訴學生這樣的圖形就是橢圓。然后要求學生結合剛才的作圖過程，聯想在粉筆移動的過程中始終滿足了什么條件，歸納總結出橢圓的定義。

由于試驗過程實際上已經揭示了橢圓上的點的本質屬性—— 橢圓上的點（粉筆）到兩個定點（兩圖釘）的距離之和為定值（即繩長），所以學生很自然地就能從中概括出橢圓的概念。這樣的教授過程，不僅讓學生理解了橢圓的概念，而且還明確了橢圓上點的特征，揭示了橢圓概念的本質。同時，這樣一個動態的過程，也會給學生留下深刻記憶，為學生利用定義解題奠定了良好的基礎。

三、概念教學要重視新舊概念的聯系，注重對概念實質的辨析

數學中許多概念之間都有著密切的聯系，為使學生準確地掌握這些概念，教師在教學中必須引導學生弄清他們的聯系與區別，如映射與函數、函數與方程和不等式、平行線與平行向量、互斥事件與對立事件、等差數列與等比數列、橢圓與雙曲線等。在教學中，教師應善于通過比較、辨析，幫助學生理清其聯系與區別，掌握概念的本質。

例如，函數的概念，學生初中已學過，為什么高中還要再學呢？學生很迷惑。所以教學中教師就有必要剖析二者的聯系與區別。事實上，兩者的本質屬性是一樣的。初中的定義，強調的是在一個運動變化的過程中，兩個變量 x，y 之間的一種依賴關系;而高中的定義是從集合的觀點出發，只強調兩個集合之間的一種對應關系。對比兩個定義，我們可以理解為：將初中定義中變量 x，y 的所有取值分別放入 A 和 B 兩個集合中，這樣，集合 A 和 B 不就建立了這樣一種關系—— 集合 A 中的任何一個實數在集合 B 中都有唯一的一個實數與之對應嗎？這不就是高中的定義嗎？這樣看來，兩個定義的實質不就是一樣嗎？那為什么高中還要對函數重新定義呢？因為高中的定義更具有一般性，它抓住了函數的本質屬性。經過這樣辨析，學生不僅明確了高中為何還要學習函數概念，而且也不會將初高中的函數概念割裂開來，更有利于學生對函數概念的理解與掌握。

再比如，在教授集合的交集、并集和補集時，很多老師只是照著教材把這些概念解釋一遍，再舉一些例題訓練就完事了。這樣教學處理的結果就是，在學生心里，這是三個獨立的概念，他們之間沒有關系。事實上，集合的交集、并集和補集，是集合作為一個新的數學對象，和我們以前學過的數、代數式、方程、向量等一樣，需要建立他們各自的運算。而集合的交集、并集和補集就是幾種集合的運算，運算法則就是其各自的定義。通過這樣類比、辨析，學生就明白了，集合的交集、并集和補集并不是三個獨立的概念，而同屬于集合的運算。這樣一來，掌握這幾個概念也就顯得容易多了。因此，我們在教授一些新概念時，要適時地引導學生和已學過的知識進行類比、聯想，以幫助學生對新概念的理解與掌握。

四、概念教學應重視對概念的應用，強化在應用中理解概念

掌握數學的基礎知識首先需要正確理解數學概念。數學的學習常常需要運用數學概念解決相關數學問題，因此正確理解數學概念是準確運用概念解決數學問題的前提。運用概念解決數學問題的過程又能推進對概念本質的理解，這是一個應用與理解同步的過程。因此教師在教學中，應重視對概念的應用，在應用中幫助學生加深對概念的理解與掌握。

例如，在講授函數的奇偶性這一內容時，很多學生在初學時往往只記住了判斷函數的奇偶性時要判斷函數是否滿足 f（-x）=f（x）或 f（-x）=- f（x），卻往往忽視了定義域的對稱性以及對函數表達式的恒等變形處理。為糾正學生的這個認識誤區，在學生明確奇函數和偶函數的概念后，可以設計如下題目。

判斷下列函數的奇偶性：

設計①的目的是讓學生理解奇偶函數對定義域對稱的要求，而②③是讓學生明確對函數解析式恒等變形的必要性。學生在解答時，往往會得出①②都是偶函數，③是非奇非偶函數的錯誤結論。①錯誤的原因是忽略了定義域的對稱性。老師在分析錯誤原因時，要引導學生回憶定義，知道定義中強調對定義域中的每一個 x 都滿足 f（-x）=f（x）或 f（-x）=- f（x）。但本例中，對定義域中的 1，不滿足 f（-1）= f（1），也不滿足 f（-1）=- f（1）。因為定義域中沒有 -1，對該函數來說，f（-1）沒有意義，所以該函數是非奇非偶函數。而②滿足定義域關于原點對稱的特點，但在定義域的條件下，函數表達式可等價變形為 f（x）=0，所以該函數既是奇函數又是偶函數。③的錯誤則是沒注意到在定義域的條件下，函數表達式中絕對值符號可以去掉，函數表達式可等價變形為 ，從而可知該函數為奇函數。通過這樣的應用，學生對奇偶函數的定義就有了更深入的理解。它不僅要求表達式要滿足 f（-x）=f（x）或 f（-x）=- f（x），而且定義域也必須關于原點對稱。同時還掌握了在解題過程中，有時還需要對函數表達式進行恒等變形后再判斷。

總之，數學概念教學和數學解題教學一樣，都是培養學生數學能力的重要途徑，教師在思想和行動上必須重視概念教學。在日常的教學過程中，針對不同的概念，教師應該相應地采取合適的、適應學生心理水平和認知水平的教學方法，進而幫助學生在探索、辨析、感悟和應用中理解概念、掌握概念，以達到最終培養學生數學能力和提高學生數學素養的目的。

【參考文獻】

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[2]王 仙.對高中數學概念教學的一點想法[J].中學課程輔導·教學研究，2009（10）

[3]張艷紅.淺論高中數學教學中的概念教學[J].中學生數理化·學研版，2015（1）

（責編 盧建龍）