讓數概念教學推動三個表征過程

姚蘭

[摘 要]在小學數學中，數概念是一個非常重要且非常復雜的概念，也是學生學習的基礎。在教學實踐中，教師應帶領學生推動三個表征過程，從具象向抽象逐漸演化，通過對數的表征轉化，幫助學生建構數概念。

[關鍵詞]數概念;數學思維;表征;內外表征轉換

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0048-02

在小學階段，數概念是一個非常重要且非常復雜的概念，它不僅是學生認識世界的基本元素，也是認識和理解數學的開端。學生對數概念的學習將會貫穿數學學習的整個過程，具有十分重要的奠基作用。對數概念教學來說，要讓學生理解數概念，需經歷對數概念的表征過程，其中包括概念的外在表征、內在表征以及內外表征的轉換。所謂表征，就是用某種形式將事物或某種想法表現出來，以實現交流的目的。當學生掌握表征的意義之后，就能夠進一步提升思維，建構數概念。對數的表征是學生向更高一級數學能力發展的基礎，也是學生理解數概念的根本所在。因此，在教學中，教師要引導學生經歷數的表征過程，實現從直觀到抽象的突破，有效建構數概念。現筆者根據自己的教學實踐，從以下三個方面談談體會。

一、以模型對應推動表征過程，感悟數的意義

對于小學生來說，概念形成的核心是理解，而理解就是對概念基于某種內在表征進行有效的交流。因此，在小學階段的數概念教學中，教師可以借助學生的已有經驗，以模型取代實物，并保留原物的操作性，使抽象的數和模型一一對應，建立數量聯系，再借用計算器、數軸、方格圖等形式化表征，讓學生通過觀察操作，經歷直觀可視的外在表征過程，掌握抽象的數概念內容，理解和感悟數的意義。

比如，在教學“11～20的數的認識”這一內容時，筆者設計了以模型為表征形式的教學過程，為學生建立計數單位為十的數概念提供直觀支持。筆者先讓學生想一想，怎么做能夠讓人一眼就能看出有幾個草莓（如圖1所示）。學生提出可以將每五個圈一圈，也可以每十個圈一圈。具體怎么操作呢？筆者給學生準備了一些小棒，還有兩個盒子，并讓學生做好記錄。學生將十根小棒捆成一捆，放在左邊的盒子里，然后畫1顆珠子代表1捆（即10根小棒）;剩下三根小棒放在右邊的盒子里，然后畫3顆珠子（代表3根小棒）。通過操作活動，學生在頭腦中形成直觀印象，將放一捆小棒的盒子當作十位盒子，放一捆就可以記作1，代表10;將放單根小棒的盒子當作個位盒子，放1根就記作1，放5根就記作5，為接下來建構數概念奠定了基礎。

顯然，要讓學生認識11～20各數，首要的任務就是讓學生理解計數單位十和數位概念，這既是難點，又是要點所在。筆者通過引導，先讓學生建立10個一堆、10個一捆的概念，然后再通過畫珠子的方式將圖和數結合起來，讓學生通過直觀的表征過程，以可視的方式，將一捆小棒過渡到計數器上的十位上的一顆珠子，讓學生從單個的一個個數擴展到以十為單位的一群群數，體會到一個算珠在不同位置上的不同意義，完成了從“以一當一”到“以一當十”的抽象過渡。

以上環節，教師為了讓學生領悟數的意義，以模型對應推動進程，帶領學生經歷數的表征過程，先從圈十個草莓表征數10開始，再將一捆小棒作為表征的材料，讓學生將其抽象為十位數上的一顆珠子，最后有了十位和個位的數位建構，將放一捆小棒的盒子定位為十位，放單根小棒的盒子定位為個位，有了這兩個“盒子”的直觀表征，學生直觀地認識到可以將1當作1，也可以將1當作10，有效實現了對數的抽象意義的領悟。

二、以形式轉譯推動表征過程，理解數的本質

在小學數概念教學中，面對同一個數概念，往往可以采用不同的表征形式轉譯，進行補充和完善，從而豐富數概念的內涵和外延。因此，教師要引導學生經歷多種表征形式的轉譯過程，在各種表征形式之間轉譯越順暢，學生就越能夠獲得豐富多元的概念理解，從而有效感悟數概念的本質。

比如，在教學“1000以內數的組成”這一內容時，筆者給學生提供了一袋小方塊，讓學生數一數，并用自己的方式記錄，看看怎么才能讓人一目了然。學生先用數數的方式，發現一個一個表征太煩瑣了，然后又用圈100的方式進行表征，接下來筆者引導學生嘗試用小棒來進行表征。用小棒表征能夠直觀呈現出數的完整結構。如235，學生先擺出一百根小棒為一捆的大捆，共有2捆;十根小棒為一捆的小捆，共有3捆;還剩下5根小棒。最后筆者引導學生借助計數器進行數的表征，這種表征的轉譯，讓學生對數概念有了本質的把握和理解。

在以上環節中，教師引導學生通過實踐，經歷多種表征形式的轉譯過程，讓學生完整建構多種表征形式的一一對應，理順數之間的關系，直觀地認識數的內部結構。借助不同形式的數的表征過程，學生逐漸從直觀過渡到抽象，經過推理就能很快認識到200可以用計數器百位上的兩顆珠子來代替。這說明學生已經有效地理解了數概念的本質。

三、以有序循環推動表征過程，內化數的運用

在小學階段的數概念教學中，學生對數的認知具有有序循環性，大多數都是先從直觀入手，借助形象來感受，然后再進行抽象，但是經過抽象之后，又需要通過直觀的表征來進行解釋和理解。因此在教學時，教師要根據需要適時調整，結合學生的已有經驗，引導學生經歷表征的有序循環，帶領學生從感性到抽象，再從抽象到感性，逐步深入，步步進階，使數概念得到內化并走向運用。

比如，在教學“除數是一位數除法的口算和筆算”這一內容時，對于練習題“三個班的手工課一共用去120張彩色手工紙，平均每班用了多少張？”，為了讓學生理解其中的算理，筆者設計了實物、圖形表征和模型表征的方式，引導學生進行操作，經歷表征方式的有序循環過程：大家可以分一分小棒，或者用畫圖的方式，看看怎么分、怎么畫才能讓12÷3一目了然。學生借助操作和畫出的圖像，理解了12個一平均分成3份，每份就是4個一，緊接著筆者再讓學生去理解120÷3，學生認識到可以將120看作是12個十，平均分成三份，每份就是4個十（如圖2所示）。

以上環節，教師根據學生的已有經驗進行引導，層層遞進，帶領學生經歷從直觀到抽象，再從抽象到直觀的表征過程，循環往復，有序轉換，使學生將數概念內化于心，順利完成了從直觀感受到抽象推理的跨越，從而積累了對數概念的應用經驗。

總之，在小學數概念教學中，教師的教學應建立在學生的認識水平和已有經驗之上，通過引領學生推動數的三個表征過程，幫助學生對外部信息進行選擇加工，從而領悟數的意義，建構數概念的本質，內化數的應用。

（責編 羅 艷）