略談數學教學中數形結合思想的運用

廖美英

摘 要：數形結合思想在數學學科中是一種非常重要的思想。“數”是數學的抽象化符號語言，“形”是數學的直觀化圖形語言。以形助數，以數輔形，數形結合能化抽象為具體、化難為易、化繁為簡、化隱為顯，幫助學生理解數的概念、理解運算的算理、理解各種公式、靈活解題、突破難點等，以提高學生的分析與解決問題能力。

關鍵詞：數學教學;數形結合;以形助數;以數輔形

我國著名數學家華羅庚說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”這句話深刻地揭示了數形結合的重要意義。數形結合是北師大版教材的重要特點之一，數形結合是貫穿小學數學教材始終的一條主線。在教學中，當面對抽象的“數”時，可以借助“形”的直觀，把復雜的問題變得簡單明了;當認識“形”時，也可利用“數”的精確性來準確歸納“形”的特性。

一、以形助數，把抽象的數學知識直觀化

（一）以形助數——幫助學生理解數的概念

數的概念的建立，處處蘊涵著數形結合的思想方法。如教學“數的認識”時，通過借助直觀的圖形幫助學生理解抽象的數的概念。例如，教學三年級下冊“認識分數”，讓學生通過畫一畫、涂一涂、折一折等活動認識分數，通過數和形的結合，更好地理解抽象的數的概念。

活動一：先讓學生動手折出長方形紙的，學生有三種不同的折法（如下圖），為什么都可以用表示呢？學生從圖中一眼就可以看出“2”表示平均分的份數，“1”表示取其中的一份，初步理解的含義。再涂一涂課本第67頁問題二，學生通過折紙和涂顏色，進一步建立的表象。

活動二：把長方形、正方形或圓形的紙片折一折，涂一涂，你能得到哪些分數？學生操作之后，跟同學交流自己的方法、展示自己找到的分數，并說一說是怎樣得到這個分數的。這樣通過動手操作和觀察，學生充分理解了分數是把一個物體（或圖形）平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數叫作分數。

（二）以形助數——幫助學生理解運算的算理

數形結合是幫助學生正確理解算理的一種很好的方式，而計算是數學教學的重頭戲，因此計算教學重在引導學生借助直觀圖形理解算理，在理解算理的基礎上掌握計算方法并提高計算能力。例如，教學三年級下冊“兩位數除以一位數”時，學生讀懂情境圖后列出算式48÷3，發現被除數首位不是除數的整數倍，學生根據已有的知識經驗無法解決，產生困惑。這時，適時地啟發學生借助小棒分一分，通過直觀操作幫助學生探索計算過程（即算理）。活動過程如下：1. 先分4捆（4個十），平均分給3人，每人分到1捆（1個十），共分走了3捆（3個十），還剩1捆（1個十）。2. 把1捆（1個十）拆成10根（10個一），和8根合在一起，再把18根平均分給3人，每人分到6根。這樣每人一共分到16根。通過分物活動抽象出口算過程，先把48分成30和18，30÷3=10，18÷3=6，10+6=16。學生結合分物及口算的過程弄懂了算理，再嘗試用除法豎式算一算，將實際操作與理解算理有機結合起來，使抽象、枯燥的數學計算具有靈動性，讓學生既理解了算理，又掌握了算法。

（三）以形助數——提高學生分析與解決問題能力

解決問題能力的培養是數學教學中的重要任務。在教學中要盡量地滲透畫圖的思想和方法，使學生養成解題時通過畫圖幫助理解題意的思維習慣，逐步形成用畫圖解決問題的意識，巧妙利用直觀的“形”，將抽象的數量關系具體化、圖形化，解題思路形象化，化難為易、化繁為簡、化隱為顯。例如，三年級下冊18頁的第5題，題中說到奇思在泳道內游了3個來回，共游了150米，求游泳池的泳道有多長？這道題看似簡單，但是很多學生只看表面信息，錯誤地列式為150÷3=50（米），這是因為學生沒有認真理解“3個來回”的深層含義。為此，筆者引導學生畫圖來直觀理解，發現“3個來回”實際上是6個泳道的長度，所以正確答案是150÷3÷2=25（米）或150÷（3×2）=25（米）。直觀圖形幫助學生養成善于發現隱藏的信息和養成仔細審題的好習慣。

（四）以形助數——幫助學生突破難點

小學生受年齡、知識、能力等多方面因素的影響，在學習過程中，有些知識點較難理解。這時如果教師能以形助教，就能收到事半功倍的效果。如在教學三年級上冊長方形周長時，學生根據周長的意義，經過測量和計算，很快就得到了長方形的周長。展示匯報了三種方法：1. 長+寬+長+寬，2. 長×2+寬×2，3.（長+寬）×2。對第三種方法，雖然有一些學生探索出來了，但還有很多學生沒有真正理解其中的道理。于是筆者設計了這樣的活動：讓學生用小棒擺一個長方形，然后把這個長方形的四條邊拆開，重新組合。把一條長和一條寬組成一組（長+寬），另一條長和另一條寬又組成一組（長+寬）。學生通過操作，發現一共有2組（長+寬），這樣就理解了長方形周長=（長+寬）×2這種方法。

二、以數輔形，使學生更準確地把握形

（一）以數輔形——幫助學生理解各種公式

幾何圖形的周長、面積、體積計算公式的推導，都是通過一系列的操作及數據的演算歸納得出的，是學生對形體直觀知覺的深化。如教學長方形面積時，讓學生擺一擺、量一量、算一算、填一填，再結合操作過程思考如下三個問題：（1）用1平方厘米小正方形擺一擺，你能發現長方形的面積是多少嗎？（2）仔細觀察一行擺多少個，能擺多少行？與長方形的長和寬有什么關系？（3）長方形的面積大小與它的長和寬有什么關系？

一系列的活動讓學生發現：長有幾厘米就能擺幾個小正方形，寬有幾厘米就能擺幾行，長方形面積正好是長與寬的乘積。由此明白了長方形面積的計算公式：長方形面積=長×寬。

（二）以數輔形——幫助學生靈活解題

我們在探討“形”的性質時，往往離不開“數”。有時通過具體計算就能一目了然。如這道題：用同樣長的兩根鐵絲分別圍成一個長方形和一個正方形，誰的面積大？僅憑圖形難以判斷，學生無從下手，教師可以引導學生通過計算來幫忙。假設這根鐵絲長16厘米，學生要先想到可以圍成怎樣的長方形？有多少種圍法？長和寬分別是多少？（長、寬取整厘米數）它們的面積又是多少呢？學生通過計算并填表格：（1）7×1=7（平方厘米），（2）6×2=12（平方厘米），（3）5×3=15（平方厘米），（4）4×4=16（平方厘米）。

這樣學生通過具體數據的計算和表格的統計明白了：周長相等的長方形，長與寬相差越大，面積越小;長與寬相差越小，面積越大，當長和寬相等也就是正方形時面積最大。學生通過解決問題體會到數形結合的無窮魅力。

數形結合是一種教學方法、教學策略，教師重在幫助學生樹立應用數形結合解決問題的意識，認識到數形結合是學習數學知識、解決數學問題的有效策略，同時教會學生運用數形結合解決問題的技巧，使學生受益終生。