由一道教材習題引起的對周期函數(shù)的幾點質(zhì)疑

摘 要：它不是一道三角函數(shù)題，由此引發(fā)思考：非三角函數(shù)的周期函數(shù)存在嗎？周期函數(shù)一定有最小正周期嗎？……在三角函數(shù)的周期性教學(xué)時，有不少同學(xué)提出諸如此類問題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);三角函數(shù);周期函數(shù)

高中數(shù)學(xué)（人教A版·普通高中課程標準實驗教科書）必修4第47頁習題1.4B組第三題：

已知函數(shù)y=f（x）的圖像如圖所示，試回答下列問題：

（1）求函數(shù)y=f（x）的周期;

（2）畫出函數(shù)y=f（x+1）的圖像;

（3）你能寫出y=f（x）的解析式嗎？

高中數(shù)學(xué)（人教A版·普通高中課程標準實驗教科書）必修4第34頁關(guān)于周期函數(shù)的定義如下：

對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有：f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T就叫做這個函數(shù)的周期。

這就是說，當函數(shù)對于自變量的一切值每增加或減少一個不等于零的定值時，如果函數(shù)值都重復(fù)出現(xiàn)，那么這個函數(shù)就叫做周期函數(shù)。由此可見，周期函數(shù)并非局限于三角函數(shù)，它的存在是十分廣泛。例如，常數(shù)函數(shù)f（x）=C（C為常數(shù)），x∈R，對于函數(shù)定義域中的每一個x值都有f（x+T）=C，因此，f（x）是周期函數(shù)，每一個非零實數(shù)T都是它的周期。再看函數(shù)g（x）=x-[x]，x∈R（[x]表示不超過x的最大整數(shù)），是以1為周期的周期函數(shù)，其圖象如圖1所示：

在周期函數(shù)定義中，“每一個值”的條件能減弱嗎？絕對不能。如果我們得知函數(shù)f（x）不是當x取定義域內(nèi)的“每一個值”時，都有f（x+T）=f（x），就可以斷言T不是函數(shù)y=f（x）的周期，或者說y=f（x）不是周期函數(shù)。例如，sinπ4+π2=sinπ4，但是sinπ6+π2≠sinπ6，即π2不是對于定義域中的“每一個x值”都有sinx+π2=sinx，因此，π2不是y=sinx的周期。又如函數(shù)：

φ（x）=1，當x≠0時，0，當x=0時，

對任意確定的常數(shù)T≠0，盡管φ（x+T）=φ（x）對定義域R中幾乎每一個x都成立，但僅僅由于當x=0，x=-T時，等式不成立，從而函數(shù)y=φ（x）不是周期函數(shù)。

根據(jù)周期函數(shù)的概念，不難證明：一個周期函數(shù)的所有周期構(gòu)成一個無窮集合。在這無數(shù)多個周期中是否存在一個最小正周期？對此我們有著濃厚的興趣。這是因為：如果發(fā)現(xiàn)一個函數(shù)存在最小正周期，就可以確定它的所有周期。在研究函數(shù)性質(zhì)時，就可以先在其定義域的一個長度為最小正周期的區(qū)間內(nèi)進行討論，進而推出函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)。特別地，為周期函數(shù)的作圖帶來了極大的方便。因此，教材中規(guī)定：如果在周期函數(shù)所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，這個最小的正數(shù)叫做周期函數(shù)的最小正周期。

顯而易見，周期函數(shù)的最小正周期一定是該函數(shù)的周期，反之不然。最小正周期如果存在必定唯一。但并不是任何周期函數(shù)都有最小正周期。前面提到的常數(shù)函數(shù)就沒有最小正周期。著名的狄利赫萊函數(shù)：

D（x）=1，當x是有理數(shù)時，0，當x是無理數(shù)時，

以任非零有理數(shù)為周期，但由于正有理數(shù)集合中沒有最小的，所以沒有最小正周期。

有趣的是，某些定義在有限區(qū)間上的函數(shù)，可以經(jīng)過延拓成為周期函數(shù)。例如，定義在[-π，π）上的函數(shù)f1（x）=|x|，可以延拓到整個實數(shù)集上成為以2π為最小正周期的函數(shù)f（x）=|x-2kπ|，（2k-1）π≤x<（2k+1）π，k∈Z。其圖象如圖2所示：

再如，定義在（0，2]上的函數(shù)y1=x2，可以延拓到正實數(shù)集上成為以2為最小正周期的函數(shù)有y=（x-2k）2，2k

一般地說，我們課本上學(xué)過的非周期函數(shù)f（x）經(jīng)過延拓以后都可變?yōu)橹芷诤瘮?shù)，延拓的方法是：先將函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)限制在一個半開半閉區(qū)間[a，a+b）或（a，a+b]上（b>0）（如上面圖3就是將y=x2限制在（0，2]上），然后作新函數(shù)F（x）=f（x-kb），a+kb

如果要作F（x）的圖象，只要將f（x）被“截斷”后的圖象“一段一段”地左右平移，而每一段的長度（指橫坐標的最大間隔）都是b。可以證明：F（x）將是定義在R上的周期函數(shù)，其最小正周期T=b。這是因為：若設(shè)x0為R+上的任意一點，且有a+k0b

按新函數(shù)F（x）的定義應(yīng)有：F（x0）=f（x0-k0b），而F（x0+b）=f[（x0+b）-（k0+1）b]=f（x0-k0b），故F（x0+b）=F（x0）。

作者簡介：

鄧娟，四川省南充市，四川省營山中學(xué)校。