基于發生教學法的導數概念教學設計

呂亞男 呂端良

摘要：本文基于發生教學法，遵循導數概念的創造和應用的最自然的方式，從概念的導入、概念的剖析、概念的應用三個維度進行導數概念的教學設計。

關鍵詞：發生教學法;導數;教學設計

概念是構筑學科理論體系的基礎。不同的學科，對概念有不同的定義表述，但其共性是對事物本質屬性的概括。對于數學概念而言，則是事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性，是人們通過實踐，從研究對象的許多屬性中，抽象出其本質屬性概括而成的[1]。

高等數學作為一門古老而經典的數學學科，其大多數概念既具有高度的抽象性和概括性，也蘊含著豐富的歷史文化和哲學思想。毋庸置疑，教好高等數學要從重視概念教學開始。只有概念的根基扎實，才有可能建造數學學科的萬丈高樓。

本文以導數概念為例，研究發生教學法在導數概念教學中的運用，給出基于發生教學法的導數概念教學設計。

一、發生教學法概述

1.發生教學法的基本原理

發生教學法的原理是學科教學的方法應當盡可能地基于以科學知識內在的自然的方式和方法。也就是教學必須跟隨知識發展的順序[1]。對于高等數學的概念教學而言，就是要遵從數學概念創造和應用的最自然的方式。通俗來說，就是講解概念時要讓學生見證概念的起源。但是也要注意，見證起源不是簡單的照搬歷史，而是教師在研究數學史、通曉學科發展歷程的基礎上，進行數學概念再創造的過程。

2.基于發生教學法的教學框架構建

基于發生教學法的基本原理，在進行概念教學框架構建時，首先對所講授的概念進行數學史分析、數學邏輯分析、學生的心理認知分析以及概念的應用領域分析;然后依據概念教學的必要性、直觀性、關聯性、應用性原則，從概念的起源、幾何特征、新舊知識的關聯以及應用等方面，考慮如何激發學生的學習興趣，增進學生對概念的理解;最后按照Why-What-How（簡稱WWH）三個步驟進行具體的教學設計。

二、導數概念的教學設計

（一）導數概念的導入，注重講清“為什么”（Why）

在國內大部分高等數學的教材中，關于導數概念的引入，一般采用通過兩個不同領域的引例抽象出導數的定義的模式。比如，在同濟版的高數教材[2]中，借助物理學引例“變速直線運動的瞬時速度”和幾何學引例“曲線的切線”;在某些經濟數學的教材[3]中，再結合經濟學引例“產品總成本的變化率”等。雖然教材中的引例是從歷史或者應用的角度提煉而來的，但是仍然缺乏對導數概念的起源的介紹。所以，要讓學生徹底明白為什么要研究導數，需要教師在教學設計時，進行導數的數學史分析，從歷史發展的角度，帶領學生見證導數的起源。

在介紹導數的起源時，可以從講清楚引例從何而來入手。比如，為什么要研究“曲線的切線”？這是由于17世紀30年代，光學透鏡的設計以及炮彈彈道軌跡的計算，促使數學家們對曲線的切線進行研究[4]。而物理學引例“變速直線運動的瞬時速度”則是源于機器大工業以及力學的發展。借助多媒體課件，向學生展示17世紀工業技術發展的圖片、科學進步的文獻資料等，會進一步激發學生對導數概念學習的興趣。

（二）導數概念的剖析，注重多維度分析“是什么”（What）

在經過為什么研究導數的激發后，引導學生積極探索，讓學生明白導數的概念是如何建立起來的。

1.從宏觀上介紹導數的發展歷程。

導數的發展歷程其實就是微積分的發展史。從費馬使用的無窮小量，到牛頓的流術數以及萊布尼茨引入增量 ，再到由“無窮小”引發的第二次數學危機，最后到19世紀嚴格的極限理論（以柯西為代表）和嚴格的實數理論（以威爾斯特拉斯為代表）的創立，使得微積分的基礎得以穩固，第二次數學危機得以化解。從宏觀上讓學生了解導數在微分學中的地位，并且從中可以得到重要的啟示：微積分的邏輯順序是“實數理論→極限理論→微積分”，但是其歷史發展順序卻恰恰相反[5]。

2.從微觀角度剖析導數的概念。

從教材中的引例入手，引導學生探索引例的分析方法，尋找不同問題的共性，然后抽象概括得到導數的定義——函數值增量與自變量增量的比值，當自變量增量趨于零時的極限。而導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近，即一個變量隨某個變量變化時的變化率[4]。

3.從直觀上進一步闡述導數的概念。

從形式化角度給出導數的概念之后，學生可能仍未深刻理解導數的概念。因此，再從導數的幾何意義入手，從直觀上進一步闡述導數是什么。從直觀上來講，函數在一點處的導數就是函數曲線在該店出的切線斜率;函數在一點處可導就是函數曲線在該點有切線;而函數在區間上可導，就是函數曲線在該區間上的每一點都有切線。進一步，有了切線斜率和切點，就可以利用點斜式方程寫出曲線的切線方程，進而得到法線方程。

4.從關聯性角度剖析導數的概念。

導數作為通過極限定義的一個新的概念，引導學生思考：導數與極限、連續等概念之間的關系。導數涉及到增量比值的極限，連續也涉及到增量的極限，那導數與連續之間是什么關系呢？一方面從定義角度推導可導必連續，再舉反例說明連續未必可導。另一方面從幾何圖像上來展示連續和可導的關系。

分析了可導與連續的關系之后，結合之前已經建立的連續與極限的關系，自然可以得到“可導連續極限存在”，但是反之均不成立。通過類比歸納，可以進一步加深學生對導數概念的理解。

（三）導數概念的應用，注重講清如何用（How）

多維度的剖析了導數的概念之后，還應引導學生探討導數的應用。第一，可以從定義入手得到計算導數的第一種方法——定義法，并且可以借助左右導數與導數的關系判定分段函數分界點的可導性。第二，可以將導數的應用與學生的專業知識相結合。比如，對于經管類學生，可以將導數對應到邊際分析、彈性分析中。第三，可將導數與生活實際相結合。比如，高速公路測速器實際上檢測的就是瞬時速度，復興號動車組的最高時速也是指瞬時速度。通過導數的應用，進一步加深學生對導數概念的理解，最終內化為自身對概念的圖式。

三、結束語

教學實踐證明，發生教學法在導數概念教學過程中收到良好效果。由此以點帶面，可以將發生教學法運用到高等數學課程的其它核心概念，以及線性代數和概率論與數理統計等課程的概念教學中。

參考文獻：

[1]朱琳.基于發生教學法的線性空間概念的教學研究[D].上海：華東師范大學理工學院數學系，2017：11-12.

[2]同濟大學數學系編.高等數學（第六版）上冊[M].北京：高等教育出版社，2007：77-79.

[3]顧靜相.經濟數學基礎[M].北京：高等教育出版社，2014：56-58.

[4]杜瑞芝.數學史辭典新編[M].濟南：山東教育出版社，2017：591.

[5]顧沛.數學文化[M].北京：高等教育出版社，2008：122- 128.

作者簡介：

呂亞男，1982年1月，女，漢族，山東淄博人，碩士，講師，研究方向：高等數學教學研究。

呂端良，山東科技大學基礎課部。

基金項目：本文系山東科技大學優秀教學團隊支持計劃（編號：JXTD20180509）;2018群星計劃教育教學改革項目（編號：QX2018M91）。