探索高中數學教學中對稱性問題的教學手段

黃明書

摘 要：在高中數學教學中要重點教學數學中的雙基知識，在完整的教學活動中要向學生傳遞更多滲透數學學習思想，基于數學思想對各類問題進行解答。對稱性廣泛存在于數學之中，它體現了數學之美。對稱思想是重要的數學解題策略之一，筆者闡述和分析對稱思想在高中數學解題中的應用。

關鍵詞：高中數學;對稱性;教學手段

在現階段高中數學教學過程中存在較多基礎教學知識，要求學生能掌握對應的教學層次，應用不同的數學思想對各類問題進行解答。借助不同解答方式能判定問題產生源頭，設定問題解決對策，實現教學目標。高中數學解析幾何中涉及到的對稱問題是重要問題，要合理選取不同思想解答問題。

一、對稱思想

對稱是普遍的自然現象.對稱表現了簡單、勻稱、和諧，帶給人美的享受。而對稱在數學中普遍存在，如數學式的對稱結構、圖形的對稱性、思考問題的對稱策略、數學的對稱美等。20世紀德國著名數學家赫爾曼·外爾說：“對稱是一種思想，通過它，我們畢生追求，并創造次序、美麗和完善....在數學學習中，掌握并巧妙地運用對稱思想，是學生數學學習所追求的目標。在近幾年的高考數學試題中，對于對稱知識的考查屢見不鮮。

對稱是解決問題的重要策略之一，如配對策略、類比、特殊與一般、正難則反、數學轉化、主變量與參變量換位等都是常見的解決數學問題的對稱策略。這不僅對學生的基礎知識要求高，還要求學生有靈活的思維能力。

對稱是一種優美的數學結構，它包含了許多符合人類認知規律的特征.筆者將不對稱的結構轉化為對稱結構，能夠指引學生尋找更簡單、巧妙、實用、直接的解題策略。

二、高中數學中解析幾何的對稱內容

1、解析幾何中點對稱定義

在解析幾何中，比如立體幾何，在學習過程中要建立對應的空間直角坐標系。在坐標系中，如果將P （a， b）視為X軸線上的一點，關于Y軸的對稱坐標就是P （-a， b），關于x軸線的對稱坐標就是（-a， -b ）。在不考慮Z軸的平面直角坐標系中，正常情況下第一象限與第二象限對稱點坐標就是（+，+）、（-，+），第三象限與第四象限對稱點坐標是（-，-）、（+，-）。

2、點對稱與直線的解析

在正常情況下，可以選用相應的解析式來表示對應的直線Y，實際表現為Ax+By+C=0。在解析集合中，需要選取直線Y和原點相關的對稱點。結合慣性思維，要首先確定某個點的精確坐標，將其設為點P （ x，y）。此點如果是在第一象限，則關于原點的對稱點要在第三象限，能將Q設定為（x，y）。加上Q在直線Y上，因此此點與直線相關的對稱方程就是A （-x） +B （ -y） +C=0，將此方程式進行簡化能得出Ax+By-C=O，在現階段高中數學解析幾何教學過程中點關于直線的對稱應用較多。

3、點和曲線的對稱關系

在高中階段解析幾何中曲線對稱應用不多，大多都是在微積分對稱點以及二次函數學習中應用較多。在問題解答中將曲線L1： f （ x， y）視為是一條曲線，那么能將P視為曲線上任意一點。依照對稱相關原理能得出，在曲線f（x，y）=0中，P關于M （x0， y0）相應的對稱點是（2x0- x， 2y0- y），基于此能得出對應方程組。

三、生活中的對稱性

以布依族為例，在布依族的服飾之中，有很多好看的刺繡圖案。如荷花，象征清白和愛情。荷的精神不僅是布依族精神而且是中華民族精神的有機組成部分。梅花：布依族人民熱愛的花種，表示布依族人民戰天斗地、傲雪綻放、不畏嚴寒、永不退縮的品格。“萬花敢向雪中出，一樹獨先天下春。”“凌寒獨自開”的不畏嚴寒、堅強不屈的品格和獨步早春的精神，正是布依族勤勞勇敢、堅強剛毅之偉大精神的象征。這些圖案，都在進行加工中，形成了對稱性的圖形。如女性腰間束的繡花腰帶的手工繡花圖案，就是由多個軸對稱的花朵組合而成的。而布依族服飾中的格子頭帕，作為布依族服飾的典型代表，在布依族的佩戴后，就會體現出一種數學的軸對稱美，也體現了布依族人的智慧與心靈手巧。21世紀以前，在多數布依族族群中，無論節日還是在日常生活中，男女老少都會佩戴格子頭帕。如今，在貴州黔西南冊亨縣的布依族，除了節日和特殊場合，只有部分中年和老年女性仍然把格子頭帕作為日常穿戴的一部分，而年輕人們早已“改頭換面”，以現代“工業化”服飾裝扮自我。

四、對稱性在數學教學中的應用

在高中數學教學中分類討論思想是重要思想方法，目前在諸多高中問題解答過程中比如導數題、分段函數、數列絕對性、排列組合方式等，在近年來高考數學題中諸多題型要通過分類討論方式進行解答，是對學生學習靈活性、發散性、完整性進行綜合考查的重要思想，要求教師在教學過程中深入探究與實踐。比如在平面直角坐標系中，矩形ABCD中，AB與BC的數值為2和1。其中AB與AD在x軸以及y軸的正半軸中，A與坐標原點有效重合。之后將矩形進行重疊，將A點坐落在線段DC中。其中折痕所在直線基本斜率是k，寫出折痕所在位置的直線方程。從己知條件中能得出斜率是k，所以斜率存在。從題意中能得出，斜率k能為0，也能不為0，要對其進行分類討論。當斜率k等于0，此階段A和D能有效重合，此階段折痕直線方程是y=1/2。當k≠0，矩形經過折疊之后的A點能落在CD上的點是G （a， 1），所以A和G相關的折痕所在直線能有效對應，能得出G點坐標值為（-k， 1）。從折痕所在直線以及AG交點坐標是M（-k/2， 1/2），折痕所在直線方程為y-1/2=k（x+k/2），得出k=0， y=1/2。

所以在直線方程求解過程中，要對斜率進行分析，判定斜率是否存在，截距相等或是為零的情況，分析相應的位置關系，進行討論探究。

對稱變換涉及到函數相關學習，在函數學習中，函數奇偶性是對稱變化中最常見的形態。根據教學知識點不斷深入教學，在高中數學教學中對稱變化思想也要滲透到教學學習中，例如在抽象函數對稱變換中，將排列組合基本位置進行變換，平均分組，對各類常見問題進行解答。比如直線順著直線L1：x -2y +5=0位置穿入，碰觸到直線L2：3x-2y+7=0后進行反射，求出反射光線所在位置直線方程。針對此類問題解答，要結合題意整合各個己知條件。

在解答各類與幾何相關的問題時，要分析幾何基本性質，這樣能有效簡化解題思路，促使運算過程更為簡便。通過建立相應解題方程，找尋問題解答重要突破口。在高中數學教學初始階段，教師要注重對不同學習思想進行全面滲透，引導學生通過問題本質解答問題，靈活應用高中數學解析幾何中對稱變換思想、分類討論思想等，串聯不同知識點，將各類知識點全面結合，促使數學學習素養與學習能力全面提升。

五、結語

綜合上述，在高中數學教學中涉及的對稱問題是目前高中數學教學中的重要內容，目前學生在學習過程中，要從對稱定義出發，掌握更多對稱相關知識。在學習活動中注重總結與反思，應用對稱知識對問題進行解答時，要嘗試選取不同方法對同一個問題進行解答，從而提升自身思維能力，強化綜合學習技能。在學習中要整合學生學習需求，對學生學習現狀進行分析，開展針對性教學探究活動。

參考文獻：

[1]蔡思成.關于高中數學解題思路的探索[J].求知導刊，2015，0（21）.