立足概念教學 培養核心素養

朱慶斌

[摘? ?要]高中數學核心素養涉及數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象與數據分析六個維度內容.為將其滲透于高中數學概念教學之中，需要教師做好教學研究，找到各維度內容與數學概念教學的契合點，尋找有效的教學方法與手段.

[關鍵詞]核心素養;概念教學;高中數學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）23-0027-02

眾所周知，高中數學涉及很多概念，如集合、映射、函數、向量等，是學生學習的基礎.在高中數學概念教學中，注重數學核心素養的培養，是新課改的重要方向，也是一線教師熱議的話題.教師需要加強核心素養理論的學習，將概念教學與核心素養培養有機融合，使學生在牢固記憶、深入理解數學概念的同時，有效提升核心素養.

一、數學抽象能力的培養

數學抽象是獲取、研究、應用數學知識最為基礎的一環.在高中數學概念教學中，教師應注重傳授有關數學抽象的內容，使學生認識到數學抽象的重要性，了解數學概念的獲得過程，為以后數學知識的學習及應用奠定基礎.

例如，集合是高中數學最為基本的概念，教材中給出的定義為：一般地，指定的某些對象的全體稱為集合，而集合中的每個對象叫作集合的元素.集合概念較為簡單，其描述體現了數學抽象思想.另外，集合還具備確定性、互異性、無序性等特征，這是正確應用集合概念的前提.為加深學生對集合概念的理解，培養學生的數學抽象能力，教師可立足集合概念，創設相關的問題情境，引導學生進行問題解答.

[例1]已知集合[M=（x，y）x2+y2≤1]，若存在實數[λ]、[μ]滿足：對任意的（x，y）∈M，都有（[λ]x，[μ]y）∈ M，則稱（[λ]，[μ]）為集合M的“和諧實數對”，則下列集合中，存在“和諧實數對”的是（? ? ? ）.

A. [（λ，μ）λ+μ=4]? ? ? ? ? ?B. [（λ，μ）λ2+μ2=4]

C. [（λ，μ）λ2-4μ=4]? ? ? ? D. [（λ，μ）λ2-μ2=4]

分析：該題以集合為背景命題，題目情境較為新穎，有助于學生抽象能力的提升.依據題干條件可知，滿足題干的所有有序實數對（[λ]，[μ]）所構成的集合為[（λ，μ）-1≤λ≤1，-1≤μ≤1].將其看作點的集合，其為中心在原點，以（-1，1）、（-1，-1）、（1，-1）、（1，1）為頂點的正方形以及內部.認真觀察各選項，可知A、B、D分別表示直線、圓、雙曲線，和該正方形的內部沒有公共點，而C為拋物線，存在公共點（0，-1），因此，正確答案為C.

二、邏輯推理能力的培養

邏輯推理是學習數學的基本能力，是從一些事實與命題出發，依據邏輯規則推出另一個命題的思維過程.在解答高中數學試題的過程中，包含著復雜的推理過程，而這些推理的基礎，正是基于對高中數學概念的準確理解.因此，為培養學生的邏輯推理能力，需重視高中數學概念的講解.學生只有吃透概念，才能保證推理的合理性和嚴謹性.

例如，導數是高中數學的重要概念，不僅在測試中經常考查，而且它也是聯系高等數學的紐帶，其重要性不言而喻.“導數”這一概念較為抽象，教學實踐中，教師不僅要讓學生牢固記憶相關函數的導數，更要做好“導數”這一概念的解釋，使學生搞清楚導數的含義，明白可導成立的條件，使其知其然更知其所以然，如此才能靈活應用，合理推理，解答相關問題.

[例2]設函數y = f （x）在區間（a，b）上的導函數為[f ′（x）] . [f ′]（x）在區間（a，b）上的導函數為[f ″]（x），若區間（a，b）上[f ″（x）>0]，則稱函數f （x）在區間（a，b）上為“凹函數”，已知f （x）= [120] x5-[112] mx4-2x2在（1，3）上為“凹函數”，則實數m的取值范圍是（? ? ? ）.

A. [-∞，319]B. [319，5]C.（-∞，-3） D.（-∞，5）

分析：該題是導數的延伸，研究的是導數的導數，因此，需要學生深入理解導數概念，準確理解題意，進行嚴謹推理，才能正確作答.由題干不難得出，[f ′]（x）=[14]x4-[13]mx3-4x，則[f ″]（x）=x3-mx2-4，要滿足f （x）在給定的區間為“凹函數”，只需[f ″]（x）=x3-mx2-4 ≥ 0在（1，3）上恒成立，進行變形得只需滿足m ≤ x-[4x2]，又因為在（1，3）上[x-4x2]單調遞增，[x-4x2>-3]，因此，m ≤-3，正確答案為C.

三、數學建模能力的培養

數學建模是對現實問題進行抽象，運用數學語言表達，借助數學知識求解現實問題的過程.高中數學有很多模型，如函數模型、數列模型、不等式模型等.數學建模對學生分析、抽象能力要求較高，因此，教學實踐中，教師應做好數學概念的講解，使學生夯實基礎知識，同時詳細講解數學建模的步驟以及注意事項，以保證建模的正確性.而在結果的取舍上，應符合現實情況.

例如，數列是高中數學的重要知識，它包括等差數列、等比數列，對應等差數列模型、等比數列模型.教學實踐中，教師應認真講解等差、等比數列概念，以及兩種數列的區別，明確等差、等比數列成立的限制條件，結合實際情況，構建對應的數列模型，更好地培養學生的數學建模能力.

[例3]某地投入資金支持生態環境建設，促進旅游業發展.本年度投入800萬元，以后每年的投入較上年少[15].本年度當地旅游業估計收入400萬元，由于增加投入，預計今后旅游業收入將比上年增加[14].設n年內（本年度為第一年）總投入為Sn萬元，旅游業總收入為Tn萬元.問：至少經過多少年旅游業的總收入才能超過總投入？

分析：根據題意，回顧所學的數列知識，可知需要構建等比數列模型.題目問的是“總投入”，因此，需要應用等比數列求和公式進行求和.

投入資金是以800為首項，公比為[1-15]的等比數列.則構建的等比數列模型為：[an=8001-15n-1].同理，旅游收入是以400為首項，以[1+14]為公比的等比數列，則構建的等比數列模型為：[bn=4001+14n-1]，

則投入的總資金Sn=800+[8001-15]+…+[8001-15n-1][=4000-400045n]，

則旅游總收入[Tn=400+4001+14+…+4001+14n-1][=160054n-1600]，要想滿足題意，則Tn-Sn [>] 0，即[160054n]-1600-[4000+400045n] [>] 0，化簡得：[254n]+[545n]-7 [>] 0，令[54n] = x，代入得5x2-7x+2 [>] 0，解得[x<25]或[x>1]（舍去），即[54n][<25]，則n ≥ 5.表明至少需經過五年，旅游總收入才能超過總投入.

四、直觀想象能力的培養

直觀想象指借助幾何直觀與空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解與解決數學問題的過程.從直觀想象的概念不難看出，其與圖形密切相關.當然圖形包括平面與立體兩個方面.學生對平面圖形較為熟悉，在初中就有所學習.而有關立體圖形，學生接觸較少.高中數學中，立體幾何是學習的重要內容.借助立體幾何，培養學生的直觀想象能力是有效的教學途徑.立體幾何中涉及很多概念，如棱柱、棱錐、球以及異面直線、二面角等，教師應做好這些基礎概念的講解，使學生在頭腦中想象出幾何體的形狀，并通過一些問題的解決，更好地培養直觀想象能力.

例如，在解答立體幾何相關問題時，時常會遇到不同幾何體相組合的題目，對學生的直觀想象能力要求較高，因此，教學實踐中，教師應注重相關例題的講解，使學生根據所學的幾何體概念，準確定位幾何體位置，尋找解題的突破口.

[例4]如圖1，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為[3]，以頂點A為球心，2為半徑作一個球，則圖中球面與正方體的表面相交得到的兩段弧長之和為（? ? ? ?）.

A. [56π] B. [23π]?C. [π] D. [76π]

分析：該題涉及正方體、球、弧等相關概念.這些概念不難理解，但是要想正確解答出該題目，對學生的想象能力提出了不小的挑戰.分析可知，球和正方體的兩個面均相交，可將得到的交線分為兩類.一類是頂點A所在的三個面上，即面AA1D1D、面ABCD、面AA1B1B.另一類是不過頂點A的三個面上，即面A1B1C1D1、面CC1D1D、面BB1C1C.在面AA1B1B上，交線為弧EF且過球心的A的大圓上，可知AE = 2，AA1=[3]，∠AA1E=[π6].同理，∠BAE = [π6]，即∠ EAF= [π6]，因此，弧EF的長為[2×π6=π3]，這樣的弧一共有三條.在面BB1C1C上，交線為弧FG且在距離球心為1的平面上與球面相交的圓上，此時的圓心為B，半徑為1，[∠FBG=π2]，因此，弧FG的長為[1×π2=π2]，因此所得曲線長為[π3+π2=56π]，正確答案為A.

高中數學概念較多，牢記、深刻理解概念，是學習的基礎，對學生各項能力的提升意義重大.教學實踐中，教師應引導學生回顧教材，牢固掌握各章節概念，找到概念間的內在聯系，構建完善的知識網絡.另外，做好高中數學核心素養的內容研究，深刻把握其內涵，在概念教學中注重核心素養內容的融入，尤其是依托相關例題的講解，加深學生對數學概念的理解與認識，促進學生數學核心素養的進一步提升.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

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（特約編輯 安? ?平）