優化高中數學概念教學策略

梁煜

【摘 要】本文闡明優化高中數學概念教學的一個原則，以及高中數學概念教學常見的二元模式，闡述優化高中數學概念教學的三種方法，通過情境創設教學方式簡化概念理解難度，引入數學文化教學方式幫助學生溯根求源，然后有針對性地指導概念學習以提高教學效率。

【關鍵詞】高中數學 概念教學 建構主義 教學模式

【中圖分類號】G ?【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）08B-0141-02

概念教學是保障學科系統化教學的前提，也是深入探討學科原理與應用的基石，尤其在數學領域表現得更加突出。本質上，數學作為一種從現實對象中抽象而成的空間形式、數量關系的反映形式，具有高度的概括性、精煉性和邏輯性。目前高中數學教學中存在一些誤區，如“重計算、輕概念”和“題海戰術”等，將數學概念視為一種僵化、機械的應用依據，學生遠沒有達到靈活運用概念的程度。基于此，本文通過分析高中數學概念教學的原則、模式，提出三種優化教學方法，以供廣大高中數學教師參考。

一、優化高中數學概念教學的一個原則

概念可以描述為“人類對客觀事物認識中的基本邏輯單元和形式”，以此類推，“數學概念”就代表了人們對數學知識的基本邏輯單元和思維形式。從數學史的角度出發，“邏輯”與“思維”經歷了漫長的演變和轉化過程，其作用主要是表達和解釋數學本質，凝煉為概念;有了數學概念之后，人們才能脫離現實束縛展開更深入的研究、應用，如新概念的推理、判斷、論證等，從而達到“高等數學”的層次。但溯根求源，真正的數學概念，原本并不抽象、乏味、枯燥，它原本都是自然社會和人類社會中存在的各種現象。由此，在高中數學概念的教學過程中，一個最主要的原則就是讓學生能夠系統地掌握“概念”的認知過程，實現從“抽象”到“具象”的回歸，本文將其歸納為“建構主義原則”。

建構主義理論創始人讓·皮亞杰（Jean Piaget）指出，學習者的知識結構是基于同化和順應的過程實現的，即學生自身必須具備一定的知識經驗，在外界因素的刺激下通過意義構建才能獲得知識。更加通俗地說，學習是一個“質變過程”，知識結構不可能通過單純的知識積累而建成。在該理論下審視高中數學概念教學，我們發現，直接以“定義”“描述”等簡單方法，則會破壞意義建構的可能性。不同的學生面對符號、字母、數字等元素構成的表達式時，知識經驗相對豐富的學生可以快速理解，數學天賦不足的學生則難以達到意義建構水平。只有堅持建構主義原則，建立具象實體與抽象概念之間的橋梁，從更低的層次上契合大部分學生的知識經驗，才能實現更大范圍內的意義建構。

二、高中數學概念教學常見的二元模式

結合本人多年來高中數學教學實踐，筆者認為概念教學方法取決于概念獲得方式，在這一問題得以明確之后，才能展開高中數學概念教學。由于概念獲得方式的差異，導致概念教學模式的差異。結合前人研究成果，本文將其歸納為“直觀形成獲得方式”下的教學模式和“概念同化獲得方式”下的教學模式兩類。

（一）高中數學概念“直觀形成獲得方式”下的教學模式

“直觀形成獲得方式”源于心理學范疇下的“概念形成”定義，相關的理論包括“共同因素說”（赫爾）、“共同中介說”（奧斯古德）、“假設考驗說”（布魯納）等，其核心內涵是指“概念”從現實對象或關系中直接抽象獲取，從實體存在轉化為符號表達。如下圖 1 所示，描述了一個“新概念”從無到有的演變過程。

此類概念貫穿于數學教學的各個階段，在教學過程中，較為典型的描述方式為，首先，以客觀存在的物體為基礎材料（如教具、實物、圖片等），讓學生根據既有的生活化經驗產生直觀感知。然后，再針對物體進行要素剝離，突出與數學概念密切相關的組成部分。最后，引導學生將自然語言轉化為數學語言，形成精煉、準確的概念描述形式。例如，在人教版高中數學（必修一）第一章《1.1 集合》的概念教學中，教師拿出籃球、足球、乒乓球、氣球四種實物，提出“體育器材集合”的要求，學生可以根據生活學習中的現有經驗快速地判斷出氣球和其他三種球類的差異，按此規律演化而成的概念都可以歸納為“直接形成”。值得一提的是，這種教學方式大多是從直觀角度出發，比較適應學生知識經驗基礎較好的情況，便于從不同對象中抽取出共同點。

（二）高中數學概念“概念同化獲得方式”下的教學模式

借鑒“概念同化”的心理學概念，“概念同化獲得方式”下的教學模式依賴于已經被廣泛接受、理解和認可的固有概念。在教學過程中，教師可以直接解釋概念的內涵，并借助已有的知識幫助學生理解，這一過程即為“同化”，而后形成新的數學概念。很顯然，概念同化是建立在數學邏輯之上的，需要一定的演繹過程來解釋舊概念到新概念的形成過程，在整體上，始終處于抽象層次，其演化過程如圖 2 所示。

該模式下教學流程可以實現舉一反三，極大地簡化教學過程、節約教學時間。例如，在人教版高中數學（必修一）第一章《1.3 函數的基本性質》中，當學生理解了偶函數的概念之后，就不難推理出奇函數的概念，在教學過程中可以引入實例。

教師：結合偶函數的概念描述（f（-x）=f（x）），請問，函數 ?y=x2，x∈[-1，2]是偶函數嗎？

學生：不是。

教師：請給出理由。

學生：因為雖然 x2 永遠為正數，始終位于 y 軸上側，但在定義域內 f（2）=4 存在，f（-2）=4 不存在，所以不能稱之為偶函數。

教師：根據這一過程能夠推論出奇函數的概念嗎？

學生：滿足 f（-x）=-f（x）的條件就是奇函數。

基于“同化”原理，可以降低高中數學概念教學難度，但這種方式的應用存在很大的局限性，勢必要求舊概念和新概念之間有密切的關聯度。

三、優化高中數學概念教學的三種方法

（一）通過情境創設教學方式簡化概念理解難度

數學較之其他學科而言，更加注重邏輯能力、想象能力和抽象能力，加上數學概念的“符號化”特征，從而在教學方面形成了巨大的障礙。很多學生的第一感覺是“枯燥”“復雜”“繁瑣”，一個概念就如同一個冷冰冰、毫無生氣的“機器”，并且在數學解題過程中，這架機器還很容易“發生故障”，導致計算錯誤和思路偏差。那么，如何化解這一困難呢？許多著名的數學教育家都強調過“數學源于生活和生產”，以此為依據，通過情境創設的方式，讓學生完成從“具象”到“抽象”再“回歸具象”的思維過程，能夠極大地簡化概念理解難度。

將數學概念融入現實存在的事物當中，讓學生在“看得見、摸得著”的情況下抽象出數學概念，并根據這一過程推導出更多的新概念。比如，人教版高中數學（必修一）第一章《1.3 ?函數的基本性質》中，關于“奇偶性”的概念描述就顯得十分抽象，教材指出“一般地，如果對于函數 f（x）的定義域內任意一個 x，都有 f（-x）=f（x），那么函數 f（x）就是偶函數（even function）”，對應地，指出“f（-x）=-f（x）”的條件成立則為“奇函數（odd function）”。這種描述方式并不等同于嚴格意義上的“概念”，而是基于一種客觀規律的特性描述。如果按圖索驥地展開概念教學，那么學生很容易產生混淆和理解誤差，從這一描述上看，奇函數和偶函數之間的差異在直觀上僅僅存在于“-”符號。對此，通過情境創設，可以很容易地讓學生理解“奇偶性”的特征和差異。例如針對“偶函數”，可展示一些對稱性圖形，如泰姬陵、蝴蝶、太極圖等，讓學生了解其中包含的“中心對稱”和“軸對稱”關系，讓學生結合偶函數圖象的對稱性展開思考。同一道理，利用“螺旋槳”“沙漏”等實體模型，也可以讓學生從其中抽象出奇函數的圖形特征，進一步明確函數奇偶性的性質。

（二）引入數學文化教學方式幫助學生溯根求源

根據數學概念的起源，引入數學史、數學家等文化內容，讓學生從數學概念的“根源”出發，接觸到生活、生產層面的要素，從客觀體驗中懂得數學概念的演化過程。例如函數的概念，可以從數學史的角度出發，介紹其不同時期的發展過程，以及比如伽利略、牛頓、歐拉、柯西等數學家的研究過程，以此加深學生對“變量關系”的認知。通過這種教學方法，學生能夠理解數學概念不是憑空臆造出來的，而是為解決實際問題而提出的，并通過逐級演化變成了現在的狀態。弄清“前因后果”，對概念學習和理解大有裨益。

（三）有針對性地指導概念學習以提高教學效率

通過對高中數學概念教學的反思，發現不少教師對概念教學缺乏針對性，一般采取“概念解釋→舉例說明→開展新課”的流程。這個過程的“源頭”存在缺陷，當學生面對一個新概念時，并不清楚它在數學知識體系中所處的地位，及與其他概念之間的關系，以及概念的起源及演變過程。因此，針對性地指導概念學習應該作為高中數學概念教學的一個重點，具體的方法包括下面兩種。

第一，對比法。通過相似或相關聯概念的對比，可以清晰地發現舊概念和新概念之間的差異。例如，在人教版高中數學中存在的“子集與真子集”“對數與指數”“概率與頻率”等概念，都是極容易混淆的，通過對比之間的差異，有助于學生理解。例如，“概率”和“頻率”都包含了“率”，說明它們都是“比例值”，但它們之間有本質的區別，通過舉例對比，學生就能較好地理解和掌握它們之間的差異。

第二，精細化法。數學概念具有高度概括性，用詞非常精煉，有時候甚至不符合語法習慣，這就需要教師進一步地對概念進行“精細化”處理，提煉出其中的“關鍵詞”，讓學生明白細微的差別。例如，人教版高中數學中的“集合”，有這樣描述：集合 A 中的任意一個元素在集合 B 中都有唯一的確定元素相對應。在這描述中，“任意”和“唯一”應該作為關鍵詞加強理解。

高中數學概念教學應遵循“以人為本”的建構主義原則，理清概念形成與概念同化獲取方式，進而引導學生體會數學的人文特質，消除“抽象化”“符號化”帶來的學習壓力，從中體會到數學的魅力。

【參考文獻】

[1]劉 志.淺談高中數學概念教學課堂設計[J].課程教育研究，2018（49）

[2]葉昀喆.數學抽象視角下的高中概念課教學[J].中學數學教學參考，2018（33）

[3]巢中強.高中數學概念教學的策略研究[J].數學學習與研究，2018（21）

[4]董勝兵.如何在高中數學概念教學中培養學生的反思能力[J].中學數學，2018（19）

[5]牟惠蘭.高中數學概念教學模型建構的思考[J].數學教學研究，2018（05）

（責編 盧建龍）