數學解題規范化的途徑

【摘 要】本文闡明解決數學解題不規范行為的辦法，培養學生解題的規范性習慣，審題時，梳理好題目包含的條件關系;解題時，把握好過程的邏輯關系，清晰解題思路;最后得到答案時，需要檢驗其正確性，完成好整個解題過程。

【關鍵詞】高中數學 解題規范 對癥下藥 梳理條件 探究意識

【中圖分類號】G ?【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）08B-0143-02

在高中數學的教學中解答數學題必不可少，學生不僅要得到最終的正確答案，而且要進行更為重要。嚴格的計算步驟，規范的解題能體現出學生對知識掌握的情況。這個解題過程體現了學生們的解題思路和對數學知識的應用，答案可以猜，但過程是完全憑借學生能力的。然而，在實際的解題時，我們發現很多同學的答題步驟都是不規范的，其中的原因包括題目剖析不清晰、解題思路混淆以及計算失誤并無檢驗，等等。因此，教師需要對癥下藥，從審題、解題、檢驗三個角度出發，將數學解題規范化。本文將對這些措施進行簡要論述。

一、審題，梳理條件關系

（一）聯想，集中知識方法。解決問題的第一步就是正確地審題，審題需要獲得什么信息呢？首先學生需要根據題目給出的條件、知識背景思考，知道這個題目應該用哪些我們學到的知識加以解決。接著選擇合適的解題方法，一般數學題都可以用多種方法解決，我們要找到最簡便的一種。

例如，在講授高中數學必修一“函數與方程”這一章節中的函數零點的判斷部分時，要解答出函數 f（x）=x2-2x-3 有沒有零點？有幾個零點？首先，我們知道其中聯系到的知識有：解一元二次方程、函數圖象等。如果按照一元二次方程求零點，則題目可以理解為 x2-2x-3=0 是否有解？有幾個解？聯系之前學過的知識，我們可以求出 △，當 △>0 時方程有兩個實數根，原方程有兩個零點;當 △=0 時方程有一個實數根，原方程有一個零點;當 △<0 時方程沒有實數根，即原函數沒有零點。其次，我們可以分析函數圖象，原函數的零點即為函數圖象與 x 軸的交點，有幾個交點就有幾個零點。學生按照這兩種方法很快可以得出函數 ?f（x）=x2-2x-3 有兩個零點，并且鞏固了解一元二次方程以及函數圖象的知識，學會了求零點的方法。

學生將題目所給條件之間的關系剖析清楚，知道題目該運用什么知識、采取怎樣的方式加以解決，這就是成功解題的良好開端。從中分析出題目的本質，這個題目想要考查我們什么知識？出題者想讓我們用怎樣的方法解題？這樣就能找到題目的突破口，便于下一步解題。

（二）轉化，加強數形互譯。學生在審題時需要將文字性描述轉化成為數學語言，才能便于接下來解題。一般來說數學題目都比較繁雜，學生需要從中提取出數學符號語言、文字語言以及圖形語言，教師在教學過程中詳細講述這些數學符號的意義，提高學生對這些對應知識點的理解程度。

例如，在教授高中數學必修三“古典概型”這一章節時，有一個四位數的密碼鎖，小明只記得密碼是 2，4，6，8 四個數字的組合，不小心忘記了順序，請問隨機輸入一組數字，不能打開鎖的概率是多少？同學們首先對題目進行分析，密碼只有一個，畫出樹狀圖可知 2，4，6，8 四個數字可以組成的不同組合一共有 24 個，滿足試驗中出現的情況是有限個這一條件;而每個數字出現的可能性都是一樣大的，都為 ，滿足等可能性，因此可以斷定本題是一道古典概型題目。小明輸入正確密碼的可能性為 ，不能打開鎖就是密碼不正確，與正確密碼是一組對立事件，因此其概率為 。學生從題目中分析出有限情況和等可能性這兩個條件，可以非常簡便地利用古典概型的結論解題。

學生自己探究數形互譯的規律，不斷進行練習提高熟練度，這樣可以檢測到自己在題目理解和數學概念、公式、符號的掌握上存在哪些問題，進而加強針對性學習。將題目簡化成數學符號以后，可以更準確地把握住題目考查的本質問題，真正做到對癥下藥分析問題。

二、解題，講究前后邏輯

（一）計劃性，嘗試制定調整。在教學中我發現學生解題步驟雜亂無章，學生往往是看到一個條件能套用某個公式就直接帶入，并不清楚這樣的計算過程是為了達到什么目的，對于最后的結論有什么幫助。因此，我們在教學中要讓學生有計劃性地解題，有整體清晰的思路，解題時若遇到瓶頸能夠進行適當調整。

例如，高中數學必修五“二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題”這一章節知識經常用來解答實際最優解問題。某廠生產 A、B 兩種產品，已經知道生產的條件限制和產值情況以后，要想解答出怎樣在有限的條件下實現產值最大化呢？只有知道條件區域，才能在這個范圍里找到最優。因此，學生解題第一步應該先分析題目條件，根據條件列出不等式，通過畫圖找到范圍，即可行域;之后列出產值公式，在圖中劃出一條直線，這個直線可以在可行域中平移;最后找到距離原點最遠的點，其坐標即為產值最大化時 A、B 產品的數量。按照這樣的邏輯順序，學生逐步解題。在實際實施過程中，如果有偏差那么適當調整即可，這樣就不會出現無從下手的情況。

學生要認真剖析整個數學題目，在腦海里有一定的思路和完整的解題計劃，而不是想到哪里解到哪里。再結合審題時分析出來的題目條件加以運用，得到最后答案。同時也要注意開始時的思路并不是一定正確的，要根據實際情況進行調整，這樣才能提高解題的正確率。

（二）銜接性，細化過程語言。分析數學題目時要特別注意銜接性詞語，這些詞語表現著題目的邏輯順序，但在實際解題過程中有很多老師學生對此并不十分重視，這會造成題目理解錯誤或者解題思緒混亂。只有將這些詞語轉化為數學語言，才能做到按部就班順序解題，不會遺漏任何關鍵性的細節。

例如，在教授高中數學必修二“直線的交點坐標與距離公式”這一章節時，分析一道例題：已知直線 l 過直線 y=-x+1 和 y=2x+4 的交點，并且與直線 x-3y+2=0 垂直，求直線 l 的方程。可以看到題目中“并且”兩個字表明直線 l 必須要滿足過交點和垂直這兩個條件，缺一不可。因此學生在解題時首先需要求出交點坐標，將直線 y=-x+1 和 y=2x+4 聯立起來解方程組可得直線的交點坐標為（-1，2）;下一步要計算直線 l 的斜率，x-3y+2=0，即 ，根據垂直條件可知這條直線的斜率是直線 l 的斜率的負倒數，則 k=-3。當兩個條件都滿足可以得到直線 l 的方程為 3x+y+1=0。我們分析題目知道了直線的必備條件，缺一不可，如果題目中是“或者”這樣的詞匯，則滿足一個即可，得到的最后結果也會大為不同，因此學生需要培養對過程語言的敏銳度。

注意銜接性詞語，將其轉化為數學符號，能在一定程度上避免解題時出現“牛頭不對馬嘴”的情況。教師在加強訓練的過程中要注意引導學生自主完成銜接詞匯的尋找和理解，提高他們自主解題能力，使之以后遇到其他問題時也能多加思考。

三、檢驗，深化探究意識

（一）作出假設，推理其是否存在。在進行探索性問題的求解時，往往先假設某種情況是存在的，然后繼續求解，得出最后的結果。但是這時需要注意我們假設的條件的每一步都是可逆的，以保證最后的答案可以反推回去。假設的條件也有一定的技巧，要達到最簡便的目的，需要對這種方法加以訓練。

例如，在講授高中數學必修四“函數 y=A sin（ωx+ψ）”這一章節時，要將函數 y=sin x 的圖象變換為函數 y=sin（2x+π/3） 的圖象可以怎樣做呢？根據已經學過的知識，首先需要將 x 變成 2x，即圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的 1/2;接著根據 2x+π/3=2（x+1/6π）可得：向左平移 1/6π 個單位即可得到最后的圖象。在檢驗時我們假設剛才得到的最終圖象是正確的，那么按照原來的過程反推。現將最終圖象先向右平移 1/6π 個單位，再將橫坐標擴大為原來的 2 倍，縱坐標不變，看圖象是否與原來的圖象重合，如果重合，則說明我們得到的答案是正確的，反之錯誤。可以發現除此之外還有另一種先平移再縮小的方式，請同學們按照剛才的檢驗過程自己將這個方式實踐，更加深刻體會檢驗的內涵。

通過不斷的練習學生能把握住一定的假設技巧，在今后這種類型的題目解答時能夠更加得心應手。這是一個順向思維的過程，一步一步推理驗證最后的結果是否存在，也是給我們計算的結果加了一層防護罩，提高解題的正確率，培養學生檢驗的習慣，便于今后長期發展。

（二）提供反例，制造正反矛盾。在得到最終結論以后需要驗證結果的準確性，可以利用反向驗證法，即提供一個與原題目相反的實例，在反例中進行推理可以得到另一個結論，這個結論如果與我們之前得到的結論相悖，則原題目解答正確，反之則需要重新核查原解題過程哪一步出了偏差，進行糾正。

例如，在教授高中數學選修 2-3“獨立性檢驗的基本思想及其初步應用”這一章節時，我們看到一個選擇題：數列 2，5，11，20，x，47，…中的 x 等于？很快有人得出結論：由 5-2=3，11-5=6，20-11=9，則 x-20=12，因此 x=32。但是依然有一部分同學剛開始看這道題時并不知道其中的規律，難以下手，考慮到這是一個選擇題，答案無非是 A、B、C、D 其中的一個，我們可以假設答案不是 32，而是選項 A，即 28，將它代入原來的數列中去，并沒有發現什么規律。接著將其他選項帶入，只有 x=32 時可以看到一定的規律符合，因此原來的結論是正確的。這時有同學提出他帶入 33 也是這樣的規律，于是我們將他的思路寫在黑板上分析一下，為什么會出現這樣的情況？發現他因為粗心中間有一步計算失誤了。

在實際限時測驗的過程中留給學生檢驗的時間是很少的，因此學生設置反例時也要注意其特殊性，爭取做到最簡潔地得出驗證結果。驗證結果不需要從頭到尾計算完整，只要能夠證實我們的原答案是正確的即可，這在一定程度上也節省了解題時間。

總而言之，教師從審題、解題、檢驗三個方面入手，從學生出現的各種情況對癥下藥進行糾正，就能逐漸培養他們規范解題的能力。使學生的思路更加清晰、更加富有邏輯性，學會如何合理運用自己獲得的知識簡明扼要地作答，同時這種能力將伴隨學生今后長期的學習生活。

【參考文獻】

[1]陳彩堂，陳雪蛟.新課改下高中數學解答題解題規范問題與對策[J].河北理科教學研究，2009（5）

[2]郭從新.高中數學解題規范化的實際應用研究[J].讀寫算，2016（25）

[3]李慶兵，曾 錚，陳 萍.對高中數學答題規范性問題的思考[J].上海中學數學，2014（7）

[4]馮桂蘭.高中數學解題的規范化教學研究[J].內蒙古教育，2015（6）

【作者簡介】馬麗麗（1983— ），女，漢族，中學一級，現就職于南寧市橫縣第二高級中學，研究方向：高中數學教學。

（責編 盧建龍）