從兩則案例談“基本活動經驗”教學

申一健

摘 要：《普通高中數學課程標準（2017年版）》已于2018年1月正式公布，其中提到在教學中，教師應根據相應教學內容落實“四基”，培養“四能”，促進學生核心素養的形成與發展，其中“四基”指“基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”。文章通過兩個案例談談如何落實“基本活動經驗”教學，促進學生相關核心素養的培養與發展。

關鍵詞：教學案例;基本活動經驗;數學教學

中圖分類號：G633.5 文獻標識碼：A 收稿日期：2019-05-19 文章編號：1674-120X（2019）30-0077-02

一、“四基”與課堂教學的理解與認識

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱新課標）提出“四個基本”“四種能力”“六個數學核心素養”“三個會用”的內容，這里簡稱“四基”“四能”“六核”“三會”（下同）。這四個內容是一個整體，需從系統的角度來理解與認識。它們的關系如圖1所示。

不難看出，“四基”與“四能”是“六核”的下級目標，是“六核”的細化與分解。“六核”的培養須通過“四基”與“四能”來體現。落實對“四基”與“四能”的培養與形成需借助課堂教學。

“四基”與“四能”的培養將成為數學課程課堂教學的教學目標?！八幕敝械幕局R與基本技能是大家熟知的教學目標，基本思想是老問題新內涵。新課標實驗版提到，基本思想與方法是新課標（實驗階段）的三維目標之一。新課標所提的基本思想的內涵較之前有傳承，更有升華。正如文中所說，上位“基本思想”指歸納與演繹，是希望學生領會以后能夠終身受益的那種思想方法，要與換元法、待定系數法、配方法等數學方法區別開來。基本活動經驗是全新的教學目標，是一線數學教師的一個陌生概念，也是新課標數學課程的重點之處。這“四種基本”的內在聯系如何？許多專家與一線老師已有闡述，筆者認為它們關系如圖2所示。

張奠宙教授對基本活動經驗定義為：在數學目標的指引下， 通過對具體事物進行實際操作、考察和思考， 從感性向理性飛躍時所形成的認識。數學活動經驗的積累過程是學生主動探索的過程。定義中的“具體事物”筆者認為就是數學問題，即帶有問題情境、含有探索過程的學習問題;而“進行實際操作、考察和思考”筆者認為就是分析、討論、求解;“在數學目標的指引下”中的數學目標筆者認為是“六個核心素養”?；净顒咏涷灴梢岳斫鉃?，課堂教學中，構建實驗問題，通過對問題的分析、討論、求解的學習，獲得從感性向理性飛躍時所形成的認識和對“六核”的培養。毋庸諱言，基本活動經驗必須通過課堂教學的活動來完成與形成。課堂中怎樣的教學活動才是基本活動經驗所具備的活動？

二、由案例說“基本活動經驗”教學

（一）案例一：“截面”的教學

（1）上面為兩個幾何體平面展開圖

①畫出這兩個幾何體并計算它們的體積。

②說說它們與棱長為2的正方體的關系？如有截面并說出截面。

（2）一種元器件為直四棱柱ABCD-A'B'C'D'（ 側棱垂直底面），AB=AD=A A'=2BC=4，AD∥BC。P為矩形D D'C'C內一點，現在過P與棱B B'的截面上植入電子芯片。

①畫出過P與棱B B'的截面并說明作圖的理由。

②試討論芯片的尺寸大小。 （結論不唯一，合理即可）

本案例兩個問題都是以“截面”為中心構建的立體幾何問題，它們在題設與設問上采用更富有探索性的實驗過程設計。張奠宙教授就數學活動經驗的特征指出：“數學活動經驗， 是具有數學目標的主動學習的結果。數學經驗來源于日常生活經驗， 卻高于日常經驗。”這說明落實“基本活動經驗”課堂教學過程具有數學性。這種數學性特征之一為：課堂教學的教學活動具有探討、分析、求解等環節，把知識傳授與獲取數學學習經驗充分結合。不難看出，本案例的問題（1）通過以二個幾何體平面展開圖為載體，分析、討論幾何體的切割與組合，在實驗過程中探索幾何體中截面的形成，獲得認識截面的經驗。這一教學過程需要直觀想象、運用邏輯思維及幾何計算。這種數學性另一特征體現在教學內容要有數學性。一般情況下，課堂教學內容依據的是教材的內容，而教材內容是課堂教學的藍本。有經驗的一線教師根據所教學生的實際情況往往會對內容進行二次加工。在這一過程中不能忽略內容的數學性。此外，在“基本活動經驗”課堂教學中引進與改編一些教學材料時要注重數學性。本案例問題（2）是根據高中數學必修2（人教版）P59例3改編過來的，較原題在設問上更具開放性，較問題1在對“截面”認識上更上一層樓。問題（2）的第②問要討論芯片的尺寸必須計算截面的尺寸，包括長、寬與周長、面積。所以芯片的尺寸在截面范圍內都可以，而形狀不限。該問題本質是強化對“截面”的認識。

（二）案例二：“對稱”教學

地圖上有城市A，B，它們在河h的同一側但不在河沿上（河h可視為直線）?，F某規劃設計人員只有一把尺子，計劃在河沿上找一處建立貨物中轉站P，使城市A、B與P的距離和最短。

（1）若以河h為x軸，如何在直角坐標系中將上述問題表述出來？

（2）寫出該規劃人員的操作與計算過程。（該人員在地圖上測出長度可設為a、b、c等小寫字母。地圖長度單位為cm，實際距離單位為km）

（3）說說：P是以A、B為焦點，橢圓與直線h的位置關系？

“基本活動經驗”教學的課堂結構如何？簡單地說怎樣的課才符合“基本活動經驗”的教學要求？史寧中教授所闡述的是，新課標之前教學大綱強調數學課堂教學目標的二維性即基本知識與基本技能，課堂教學活動圍繞知識的傳授、應用與技能（運算與證明）的熟練來展開。新標準數學課程實驗階段，教學目標增加了數學思想與方法，形成了目前每節數學課三維標準，旨在加強對學生能力的培養。新課標重在提倡對學生智慧的培養。筆者認為一個人對某一件事行為能力達到創新與變革的時候便可以稱之為智慧。史教授在文中又指出，智慧不是表現在經驗與思考的結果上，而是表現在經驗與思考的過程中。這說明知識結論的運用不能產生智慧，也不能有效培養智慧。課堂教學中，應有目的地設計教學過程，在過程的活動中獲得經驗，形成歸納的數學思想，鍛煉創新意識。本問題3個設問層層遞進，通過對實際問題建模遞進式進行試驗探索，找到P點的位置。層次1即設問（1），P點為x軸上與A、B距離和最小的點。這一設問另一功能是鍛煉學生用數學語言表達世界的素養。層次2即設問（2），由對稱知識已知P是A 關于x軸對稱點A'與B連線A'B與x軸的交點（將A換成B也可）。層次3即設問（3），以（2）中P得到|PA|+|PB|為長軸長，|AB|為焦距橢圓M，在直角坐標系作平行x軸的直線l，直線l與橢圓M相切時切點為P（此時l與x軸重合）。這樣的教學過程浸透對“學生智慧的培養”，會有效提高其學科素養。

所以，“基本活動經驗”的教學就是針對性強且富有數學實驗過程的教學?！盎净顒咏涷灐苯虒W的結構是帶有數學實驗過程的過程教學。

三、“基本活動經驗”教學標準探討

前面已經提到“四基”“四能”是“六核”的細化與具體體現。 落實“基本活動經驗”的教學要有對“六核”培養的具體指向與具體措施。案例一教學可培養學生數學抽象、直觀想象、數學運算等方面的核心素養;案例二教學可培養學生數學抽象、數學建模、數學運算等方面的核心素養，還可以培養學生用數學語言來表達實際問題的能力。

情境材料要具有時效性與實用性。前面已經論述了“基本活動經驗”教學是具有數學實驗特征的過程教學，情景材料必不可少。筆者認為材料應來源于生活但必須高于生活;材料也要適合學生，不能把高中課堂材料放到初中教學。 此外，所選材料還要與學生“知識與技能”相匹配。

四、結語

過程教學目標要明確，方式要靈活。“基本活動經驗”教學中，教學活動一定要有經驗的獲得，這些經驗可以是某一個結論、構建的模型、有實用價值的結果等，這些經驗對學生后續學習有啟迪作用?！盎净顒咏涷灐苯虒W中，教學活動應充分與現代信息技術融合，利用圖形計算器、建立數學實驗室都是行之有效的方式方法，能極大地增強教學效果。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：北京人民教育出版社，2018.

[2]史寧中.《數學課程標準》的若干思考[J].數學通報，2007，46（5）：1-5.

[3]黃加衛.摭談“數學基本活動經驗”及其案例研究[J].中學數學雜志（高中版），2009（4）：6-8.