知識整合

朱美紅

【摘要】在高中數學教材中，所有知識板塊都不是獨立存在的，而是相互交叉、滲透的，構成了一個系統的知識網絡.因此，在一線教學中，教師應對知識進行整合，以培養學生的數學思維，提高教學的有效性.本文以“等差數列”一課為例，探討函數與等差數列知識整合的課堂設計.

【關鍵詞】高中數學;等差數列;知識整合;教學設計

引 言

高中數學教學是一項系統的任務，在教學過程中，其中的任何一課都不能脫離教材的整體的知識架構，都不能脫離其他知識而獨立存在.從教材知識設置的角度來看，高中數學教材中所有知識都不是獨立存在的，而是相互交叉、相互滲透的，構成了一個系統的知識網絡，如函數與導數、函數與向量和解三角形，等等.因此，高中數學教師需要具備大視野，能夠從整體的角度來審視每一課的功能及其對教材整體性知識架構的影響;能夠通過知識整合來構建系統的教學框架，引導學生建立認知圖式，從而培養學生的數學思維，提高教學質量.基于此，本文以“等差數列”一課為例，立足函數與等差數列的內在聯系，闡述基于知識整合的課堂教學設計.

一、等差數列與函數知識整合的主要依據

在課堂教學中，教學設計的關鍵之一是把握教學內容的特點及其性質，進而梳理其與其他知識之間的內在聯系，在此基礎上，將其他知識與教學內容進行整合.在這一過程中，教師需要從已學知識入手，引導學生將已學知識作為新課重難點知識的突破口，提高學生學習的有效性.以“等差數列”一課為例，數列本身就是一種特殊的函數.在性質上，它可以表述為以項數n為自變量的函數，也可描述為以正整數集為定義域的函數.而函數是高中數學教材中的基礎知識，與其他知識之間存在直接聯系.僅就等差數列來說，函數是解決等差數列問題的基本路徑之一.因此，將函數與等差數列進行整合，是架構知識圖式、提高教學質量的重要手段.

具體來說，函數與等差數列知識整合的交互點表現在兩個層面.

第一個層面是一次函數與等差數列通項公式之間的整合.等差數列通項公式的基本形式為an=a1+（n-1）×d，其中，an可看作n的一次函數，它的圖像是一次函數上的離散點，即所有表示（n，an）的點都在同一直線上.因此，一次函數與等差數列之間有著密切聯系.

第二個層面是二次函數與等差數列前n項的知識整合.在等差數列中，對于數列{an}，通常用a1+a2+a3+…+an來表示{an}的前n項和，它的公式Sn=an1+n（n-1）d2可看作關于n的二次函數，因此，可用二次函數的性質來解決等差數列與Sn最值的有關問題.

此外，函數本身是一種數學的思想方法，是指導學生開展等差數列課堂學習的重要思想.在課堂上，教師可引導學生將函數作為學習新課的切入點，讓學生運用函數的方法來學習等差數列，將兩者進行有機整合，建立起以函數和等差數列為主體的認知圖式，以提高學生學習的有效性，打造高效課堂.

二、等差數列與函數知識整合的教學設計

在知識整合視角下，教師可根據等差數列一課的主要內容，將授課過程劃分為多個環節，并為每個環節設計不同的學習任務和目標，從而創設系統化的教學流程，提高教學質量.基于此，筆者在設計本課時將教學過程劃分成了四個環節：第一個環節是導入新課，教學目標是讓學生運用已有的學習經驗，歸納等差數列的基本概念;第二個環節是加強概念認知，教學目標是讓學生從一次函數入手，解析等差數列的性質和公式;第三個環節是提煉歸納，教學目標是讓學生將二次函數與等差數列進行整合，提高對等差數列的理性認識;第四個環節是鞏固練習，教學目標是通過習題練習，培養學生的知識應用能力.

1.第一個環節

教師以提問導入新課：我們在初中時學習過數列知識，而本課所要學習的等差數列，即屬于數列的范圍.那么，數列與等差數列之間具有哪些不同？

教師提示1：數列與函數的關系.

教師提示2：數列與等差數列的概念差異.

學生回顧之前所學知識并合作探究：

①數列是以正整數集（有限子集）為定義域的函數.

②在數列中，如果每一項減去前一項所得的差都等于同一個常數，即等差數列.

教師板書：an=a1+（n-1）×d

設問：在這一通項公式中，什么是等差數列的常數？什么是公差？

學生閱讀教材并合作探究：n是等差數列的常數，而常數也是等差數列的公差，即公式中的d.

筆者總結：判斷等差數列成立的條件，是觀察數列中從第二項開始，后一項減前一項的差是否相同.

2.第二個環節

教師設問：回顧一次函數的概念，對比它與等差數列通項公式，觀察它們之間具有哪些聯系？

學生合作探究：

①一次函數：y=kx+b（k≠0），x是自變量，y是因變量，k和b是常數;在b=0的前提下，k是常數，y是x的正比例函數.

②等差數列：在通項公式an=a1+（n-1）×d中，當d=0時，an是n的常函數;當d≠0時，則an是n的一次函數.

課件展示：在等差數列{an}中，已知a1，d，am，an（m≠n），則d=an-a1[]n-1=an-am[]n-m，從而有an=am+（n-m）d.

教師設問：課件中給出了已知條件，那么可否直接求公差？

教師提示：將等差數列與一次函數的性質進行對比，觀察等差數列{an}的圖像.

學生合作探究：等差數列的圖像是均勻分布在一條直線上的孤立的點，任選其中兩點，如（n，an）和（m，am）（m≠n），類比直線的斜率公式可知公差d=an-am[]n-m.

師生歸納：

①等差數列的性質：在等差數列中，如果m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），則am+an=ap+aq.

3.第三個環節

教師設問：剛才通過一次函數與等差數列的整合，概括出了等差數列的性質.二次函數的概念是什么？二次函數與等差數列的性質之間存在哪些聯系？能否運用二次函數理論去解決等差數列問題？

在問題情境下，教師讓學生回顧二次函數的定義，進而將兩者進行整合.

學生回顧已學知識并合作探究：

①二次函數中引入了平方的概念，基本形式為y=ax2+bx+c（a≠0）.

②在二次函數的概念下，等差數列{an}的前n項和公式Sn=na1+n（n-1）d2，屬于關于n的二次函數，證明能夠用二次函數的性質去解決等差數列問題，即y=ax2+bx+c（其中a=d2，b=a1-d2，c=0），能夠解決等差數列中Sn最值的有關問題.

4.第四個環節

教師設問：通過剛才的學習，可以看出函數與等差數列之間存在著密切聯系.那么，在學習或生活中遇到關于等差數列的實際問題時，如何正確選擇一次函數或二次函數來解決實際問題？

教師提示：函數思想是數學思想中的一個重要方法，我們依托函數的基本方法，能用函數的概念去分析問題、轉化問題和解決問題.

習題1：在能夠確定數列為等差數列的前提下，已知a2+a3+a4=18，a2a3a4=66，求a2，a3，a4.

習題2：如何運用等差數列的常數和公差設計3個數，使它們既能滿足等差數列的條件又方便計算？

三、教學過程

1.設立情境，引入課題

①大家首先從1開始，按照2的倍數依次增加，能得到什么數列？

②漁民們為了使魚塘里的魚類有良好的水質環境，每天定時定量通過防水來清理魚塘中的雜魚，現在魚塘的水位為19米，通過人工防水每天水位降低2.5米，為了保證魚類的成活率，最低可以降到5米，那么大家想一想，從第一次開始防水算起，到漁民可以清理魚塘之時，魚塘每天的水位構成一個什么數列？

③我國銀行的儲蓄政策規定，銀行以單利的方式進行支付存款利息.這種單利方式計算本金和利息的公式為本金利息和=本金×（1+利率×存期）.如果我們現在活期存進10000元，年利率為0.65%，那么按照這種計算方式，在5年內，每一年的本金與利息之和構成什么數列？

教師：以上三個問題中的數蘊涵著三列數.上面三個例子中分別蘊涵了三個數列，請同學們思考一下是哪三種數列.

學生回答：

①1，3，5，7，9，11…

②19，16.5，14，11.5，9，6.5，4…

③10065，10130，10195，10260，10335…

（設置意圖：將生活中的實例引入課堂，讓學生感受現實生活中的等差數列模型，初步認識等差數列的特點.）

2.觀察歸納，形成定義

①1，3，5，7，9，11…

②19，16.5，14，11.5，9，6.5，4…

③10065，10130，10195，10260，10335…

思考1：上面三個數列有什么相同之處？

思考2：總結上面三個數列的相同點，請總結出等差數列的定義.

思考3：你能將第二個思考問題的答案用數學符號表示出來嗎？

教師先引導學生總結上述三個數列的相同之處，然后讓學生根據數列的共同特征歸納總結出等差數列的基本概念.

學生分成幾個小組分別討論，可能會得出以下幾個不同的結論，如上一個數和下一個數的差有著某種關系;這些數都是規律排列的等.但是只要學生的結論合理，符合等差數列的性質，教師就要給予學生肯定.

（設計意圖：通過對一定數量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質屬性;使學生體會等差數列的規律和共同特點.）

3. 舉一反三，鞏固定義

（1）給出以下數列，教師引導學生回答等差數列的定義及性質，讓學生回答以下數列是否為等差數列，如果是，那么計算出公差d.

①2，2，2，2，2;

②2，1，2，1，2;

③5，4，3，2，1;

④3，6，9，12，15.

在這里需要注意的是，公差d可以是正數，也可以是負數，甚至可以是0.教師應提醒學生不可以將減數和被減數弄混.

（設計意圖：強化學生對等差數列“等差”特征的理解和應用.）

思考4：假設某個數列{bn}的通項公式為bn=2n-1，那么這個數列是等差數列嗎？請帶入一組數據證明.

（設計意圖：強化學生對等差數列定義的理解.）

結 語

綜上所述，在高中數學等差數列一課的教學中，教師應通過引入函數的概念，將一次函數、二次函數與等差數列的課堂教學進行整合，加大了教材中各個知識板塊之間的契合度，實現了不同知識之間的整合，同時幫助學生建立起了認知圖式.在教學過程中，教師把握住了一條主線，即函數概念與等差數列的概念，引導學生分析兩者之間的共通性，使學生在學習中體驗函數思想的應用價值，由此拓展了本課的教學功能，由知識整合到數學思想方法的整合，提高了學生學習的有效性，提升了教學質量.

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