高中數學教學中數學抽象的理解與實施

陳云明 許姍姍

[摘? 要] 核心素養的培育是一個系統工程，數學抽象是這個工程最初的、最重要的一步，沒有對數學抽象的深刻理解，是無法以之為基石，從而走向核心素養培育的目標. 對數學抽象的深度理解，可以體現在這樣的幾個方面：一是認識數學抽象的發展史，二是認識數學抽象促進人的成長的價值，三是認識數學抽象的認知機制. 對深度教學的理解到實施，需要教師超越原有的教學認識，需要對包括數學抽象在內的數學學科核心素養要素進行深度解讀.

[關鍵詞] 高中數學;數學抽象;理解;實施

數學學科核心素養理論的提出，使得數學抽象再次進入了數學教學研究的視野，對于數學抽象而言，筆者以為很多時候對其理解既是熟悉的，又是陌生的. 說其熟悉，是因為數學抽象這個概念在高中數學教學研究的領域中，是最為常見的概念之一;說其陌生，是因為很多時候對數學抽象的理解是經驗性的，在教學實施的過程中，常常只是遵照最基本的從形象事物到抽象概念的抽象模式. 顯然，只滿足于這樣的理解，對于核心素養背景下的高中數學教學來說，可能是不夠的. 核心素養的培育是一個系統工程，數學抽象是這個工程最初的、最重要的一步，沒有對數學抽象的深刻理解，是無法以之為基石，從而走向核心素養培育的目標的. 那么，對數學抽象的理解應當如何進行呢？筆者以為，關鍵在于概念的切入與理解路徑的選擇，可以肯定的一點是概念的切入非常重要，不滿足于經驗角度的理解，而從相對專業、學術的角度去建構認識，是認識數學抽象的前提;在具體的教學實踐中形成能夠滿足核心素養培育需要的理解，是數學抽象奠定數學學科核心素養的重要基石. 然后具體到數學抽象的學術理解，一般認為數學抽象是對空間形式和數量關系的抽象. 數學抽象一般會經由“簡約階段”“符號階段”“普適階段”等三個基本階段，在具體的教學實踐中，以教學形態出現的數學抽象，遵循數學抽象的一般規律，同時又具有實物抽象、半符號抽象、符號抽象和形式化抽象四種表現形式. 本文就從這個理解出發，談談核心素養背景下高中數學教學中數學抽象的理解與實施.

■數學抽象亟須建立深度理解

對一個概念的理解深度，決定了實際教學中理論落地的高度，數學抽象要超越經驗性理解，所需要的深度來自對數學教學內容的思考，來自對數學學科及其教學的哲學思考. 從數學的內容與對象這一數學哲學層面上分析，數學具有抽象性特點的主要表現形式有層次性、模型化、理想化、形式化和符號化等，數學抽象的合理性表現在：數學抽象抽取的是事物對象的量的關系和空間形式，同時抽象的結果具有可靠的確定性. 基于這樣的闡述，對數學抽象的深度理解，可以體現在這樣的幾個方面：

一是認識數學抽象的發展史. 詩史可以增智，一部數學發展史就是一部人類發展史，高中數學教學要承擔起核心素養培養的任務，就要通過數學史來為學生充實必備品格，同時對于教師建立數學抽象的認知而言，也有著極為重要的作用. 研究表明，數學抽象最早在古希臘時代就被提出來，發現勾股定理的畢達哥拉斯，是數學抽象的始祖之一，古希臘哲學家（數學家）更多地認為“抽象的東西”才是數學研究的對象. 到了當下，著名數學教育家史寧中教授更是在多篇著作、文章中強調數學抽象的認識，其認為抽象包括兩種情況，一是經驗基礎上對事物的抽象，其可以理解為生活中的抽象;二是符號與論證基礎上的抽象，其可以理解為數學抽象. 但筆者以為，數學抽象不能完全脫離生活抽象而存在，高中生的數學抽象更多的是兩者的結合.

二是認識數學抽象促進人的成長的價值. 數學抽象不只是數學的抽象，數學抽象是“人”運用數學思維進行抽象的過程，在這個過程中人的數學抽象本領也會得到培養，必須認識到的是，人才是數學抽象的主體. 在數學抽象的過程中，只有其發揮對人的成長的促進作用時，數學抽象的價值才最終體現了出來，而數學抽象作為數學學科六大核心素養之一，能夠發揮培養學生關鍵能力的作用.

三是認識數學抽象的認知機制. 數學抽象的過程，從經驗的角度來看，是從形象的生活對象走向抽象的數學對象的過程，因此一般認為只要能夠從形象走向抽象，那數學抽象就完成了. 但學生的學習過程是一個認知發展的過程，在這個過程中，心理這方面的變化值得教師研究. 有人從認知心理的角度，提出數學抽象的不同階段，包括知覺抽象、圖形抽象、數量抽象、類別概念的抽象等. 顯然這對應著不同的認知階段，作為解釋高中生數學學習過程很重要的理論，認知視角下的數學抽象理解，顯然也具有不可替代的價值.

■基于深度理解的數學抽象教學

基于上面的理解，在高中數學教學的過程中，對前面兩個理解進行了初步滲透，而對認知理解下的數學抽象進行了更多的實踐探究. 進一步的研究表明，數學抽象的心理學過程分為“認識——內化——應用”等三個階段. 教師在教學過程中可以與之對應地從概念、總結、類比能力以及數學應用能力等途徑實現培養目標. 而在教學模式上，也可以采用翻轉課堂、項目學習和開展數學實驗等形式使學生在深度學習中形成對數學抽象能力的培養. 這樣的分析有著顯著的系統論視角，下面來看一個例子.

在“函數”的教學中，第一任務是幫學生建立起函數的概念. 從數學的角度來看，集合與對應法則是數學抽象的兩個關鍵詞，教師的著力點也就在這兩個關鍵詞上. 實際上，函數是高中數學知識體系中的一個非常重要的概念，其應當引導學生通過抽象的方式建立，那么這個過程應該如何設計呢？筆者從這三個環節進行了設計：

環節一，引導學生思考生活中存在函數關系的兩個事物. 由于學生已經初步學習了函數概念，因此這個問題是合適的，但尋找例子的過程中，學生的思路卻可以拓寬. 例如，生活中看似沒有決定關系的兩個事物之間，常常是存在函數關系的，如傳染性疾病的患病人數與時間之間的關系. 在不少學生看來，患病是由病毒或細菌導致的，其與時間沒有關系，但作為流行病學的研究對象，傳染病的傳染人數與時間之間卻有著密切的關系，認識這種關系，實際上就可以建立符合高中數學知識體系的函數概念認識.

環節二，進行數學抽象，建立函數概念. 這里分兩步：一是從學生熟悉的事例入手，如自由落體中的高度與時間的關系，這個函數關系明確，學生比較熟悉;二是上面的例子，可以給學生提供一些實例（如圖1），學生可以直觀地看到感染確診人數與時間的關系，而從圖像的形狀，學生往往也可以有對應某種圖像的心理傾向，如猜想是不是二次函數等.

環節三，建立函數概念，引導學生反思. 函數概念的建立過程就是用數學語言描述函數概念的過程，對應著傳統的定義教學，這里不再贅述. 而從學習反思的角度來看，上述兩個教學環節需要引導學生反省過程，從而形成面向認知的默會知識. 如高中數學對函數的界定，更多的是從集合與對應法則的角度去描述的;而從認知的角度來看，情境素材能刺激學生的知覺，然后學生的知覺會對與函數相關的知識進行選擇性加工. 經過這個信息輸入的通道，學生的思維實際上就完成了基于函數概念建構需要的對應，如學生很快認識到上面例子中，“感染人數”與“時間”之間就是一對函數關系，于是學生也就認識到，在實際生活中函數可以用來描述兩個事物之間的關系，理念上都可以演變成函數，這其中涉及知覺抽象、圖形抽象、數量抽象等，而這個案例也可以視作是認知視角下數學抽象的實踐案例.

■深度教學從理解走向實施

雖然說從認知視角認識數學抽象，對于一線教師來說存在不小的困難，但對于核心素養來說，這樣的努力又是非常有必要的. 在人們探究核心素養的培育途徑時，人們尋找到了深度學習這一途徑，而深度學習對應著教師的角色，其實就變成了深度教學. 對深度教學的理解到實施，需要教師超越原有的教學認識，需要對包括數學抽象在內的數學學科核心素養進行深度解讀. 在對數學抽象的深度研究中，有研究者認為，對數學教學研究很多時候就是對教學模式的研究，也正因為如此，“模式建構形式化”這一原則就可以看成關于數學抽象的最基本準則. 這是一個非常有意思的判斷，對數學抽象教學進行模式建構的形式化理解，實際上確實可以讓學生在理解數學抽象的過程中，有效地反省過程，形成認知理解，進而以一種模式化的思路提升自身的數學抽象水平.

以上是筆者對數學抽象的理解從經驗走向深度的一點總結，文中的淺顯觀點，希望得到同行們的有價值的指正！