高中數(shù)學(xué)直覺思維培養(yǎng)的案例分析

黃啟賢

【摘要】直覺是不經(jīng)過邏輯的、有意識(shí)的推理而識(shí)別或了解事物的能力[1].直覺思維是具有簡(jiǎn)約性、創(chuàng)造性、自信力的一種心理現(xiàn)象，它在創(chuàng)造性思維活動(dòng)的關(guān)鍵階段起著極為重要的作用.“直覺思維”是建立在已有認(rèn)知與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，跳過中間的邏輯思考環(huán)節(jié)，對(duì)問題的結(jié)果快速做出有效的預(yù)判.培養(yǎng)高中數(shù)學(xué)的直覺思維主要有四個(gè)方面：重視系統(tǒng)教學(xué)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，有效的思維導(dǎo)圖訓(xùn)練，創(chuàng)設(shè)直覺思維的意境和動(dòng)機(jī)誘導(dǎo)，滲透數(shù)學(xué)的哲學(xué)觀及審美觀.本文通過直覺思維培養(yǎng)的案例分析，為課堂的實(shí)踐研究提供了可借鑒的方法.

【關(guān)鍵詞】直覺思維，高中數(shù)學(xué)，案例分析

【基金項(xiàng)目】福建省莆田市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度立項(xiàng)課題《淺談數(shù)學(xué)直覺思維培養(yǎng)策略研究》（編號(hào)：PTJYKT18094）.

一、引 言

直覺思維在藝術(shù)創(chuàng)作、科學(xué)研究、哲學(xué)等領(lǐng)域都起著重要或決定性的作用.數(shù)學(xué)作為一門思維的學(xué)科，對(duì)直覺思維的需求不言而喻.數(shù)學(xué)的直覺思維是從數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)現(xiàn)象等表征出發(fā)，通過觀察、分析、思考，結(jié)合現(xiàn)有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，跳過其中的邏輯推理環(huán)節(jié)，快速地給出解決問題的最優(yōu)方案.它是一種帶有跳躍性的思考方式.直覺思維決定著數(shù)學(xué)思維能力的高低.徐利治教授指出：數(shù)學(xué)直覺是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺也是不斷提高的[2].

二、數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)

（一）重視系統(tǒng)教學(xué)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

沒有系統(tǒng)全面的學(xué)科知識(shí)作為前提，不可能迸發(fā)出直覺思維的火花.數(shù)學(xué)知識(shí)是具有系統(tǒng)性的，條理清晰、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南到y(tǒng)知識(shí)結(jié)構(gòu)是產(chǎn)生直覺思維的前提，而處理問題的經(jīng)驗(yàn)累積是產(chǎn)生正確直覺的基本保證.在教學(xué)過程中要從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，從系統(tǒng)的角度構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，著重解決知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中“結(jié)點(diǎn)”的重、難點(diǎn).通過知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，讓學(xué)生明確知識(shí)的橫縱聯(lián)系，化“被動(dòng)學(xué)習(xí)”為“主動(dòng)探究”，讓數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)生的頭腦中成為直觀的、有機(jī)的整體結(jié)構(gòu).

不論知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的搭建還是課堂的教學(xué)，都應(yīng)站在系統(tǒng)角度，大至數(shù)學(xué)分支，小至一節(jié)課的內(nèi)容，都要厘清整體與局部的關(guān)系.讓學(xué)生在系統(tǒng)的視角下看問題，成為規(guī)律和結(jié)論的發(fā)現(xiàn)者，激發(fā)學(xué)生在未知領(lǐng)域的探究能力，以此達(dá)到直覺思維與邏輯思維的有機(jī)結(jié)合.

案例1 “圖像及其變換”這一部分內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)如下.

（1）回顧學(xué)習(xí)過的函數(shù)并分類.設(shè)計(jì)意圖：關(guān)注新舊知識(shí)的銜接，加強(qiáng)知識(shí)的縱向聯(lián)系，為知識(shí)的擴(kuò)展延續(xù)做鋪墊.

（2）回顧函數(shù)圖像的作法，以及不同作法的應(yīng)用場(chǎng)景.設(shè)計(jì)意圖：通過知識(shí)的回顧整理，讓知識(shí)更具條理化，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

（3）探究圖像變換的方式有哪些.設(shè)計(jì)意圖：層層推進(jìn)，將知識(shí)網(wǎng)絡(luò)逐步織起來.

（3）探究各個(gè)類型函數(shù)在不同的變換作用下得到的圖像.設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生直觀感知不同變換的本質(zhì).

（4）從抽象函數(shù)的角度探究圖像變換的共性.設(shè)計(jì)意圖：從定量到定性，著力解決知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中“結(jié)點(diǎn)”的重、難點(diǎn)，為“織一張更大的網(wǎng)”留下伏筆.

（5）應(yīng)用提升.設(shè)計(jì)意圖：處理問題的經(jīng)驗(yàn)累積是產(chǎn)生正確直覺的基本保證.

學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是在最近發(fā)展區(qū)展開的，被自己的直覺所驅(qū)動(dòng)，從分類到變換，從變換到結(jié)論，從定量到定性，再到應(yīng)用提升.每一個(gè)環(huán)節(jié)，在系統(tǒng)的視角下，立足于直覺思維的驅(qū)動(dòng)，從而得到能有效地促進(jìn)形成直覺思維的知識(shí)體系.

（二）有效的思維導(dǎo)圖訓(xùn)練

有效的思維導(dǎo)圖訓(xùn)練，讓直覺思維有了源頭，思維邏輯更具脈絡(luò)化，有理有據(jù)，直覺思維與邏輯思維的有機(jī)結(jié)合，能有效地進(jìn)行邏輯判斷并選取最優(yōu)解決策略.思維導(dǎo)圖能將邏輯思維及發(fā)散性思維用圖形語言表達(dá)，它是簡(jiǎn)單高效的思維工具.思維導(dǎo)圖的優(yōu)越特性，不僅是發(fā)散思維的形象化，同時(shí)也具有拓展性、可編輯性、再創(chuàng)造性.把思維導(dǎo)圖引入到數(shù)學(xué)的教學(xué)課堂，它所具備的優(yōu)越特性可有效地培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，讓直覺思維的培養(yǎng)更具直觀性與可操作性.

案例2 解三角形問題的思維導(dǎo)圖的初步整理.

（1）用到的工具：正弦定理、余弦定理、面積公式.

（2）正弦定理的用途：邊角互化，將未知作為要素，“兩邊+兩角”的用正弦定理，邊化角，用角的范圍求目標(biāo)函數(shù)范圍.

（3）余弦定理的用途：邊角互化，將未知作為要素，“三邊+一角”的用余弦定理，角化邊，用均值不等式求目標(biāo)函數(shù)最值.

（4）三角形分割成兩部分：對(duì)兩互補(bǔ)角同時(shí)使用余弦定理.

（5）求范圍類型：ab，a+b，S，a2+b2，周長(zhǎng).

（6）sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC.

（三）創(chuàng)設(shè)直覺思維的意境和動(dòng)機(jī)誘導(dǎo)

數(shù)學(xué)課堂要踐行課改理念，轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，讓學(xué)生參與課堂.教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生的發(fā)散性思維，及時(shí)地肯定學(xué)生的設(shè)想，因勢(shì)利導(dǎo)，解除學(xué)生心中的困惑，讓學(xué)生充分享受直覺思維所帶來的獲得感.例如，可根據(jù)課堂的類型進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力和歸類猜想能力，促進(jìn)直覺思維的養(yǎng)成.

在相鄰或相近的知識(shí)點(diǎn)處，學(xué)生樂于用已掌握的知識(shí)作為工具去探究新的知識(shí)，這就是知識(shí)遷移的能力.遷移在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中起著重要的作用，知識(shí)的遷移一般在新知識(shí)的學(xué)習(xí)與解題探究上較為常見.在知識(shí)的遷移過程中，鍛煉了數(shù)學(xué)的直覺思維，優(yōu)化了知識(shí)結(jié)構(gòu)與方法體系.如，在學(xué)習(xí)“等比數(shù)列”這一章節(jié)的過程中，可通過等比數(shù)列與等差數(shù)列的類比，類比等差數(shù)列的結(jié)論與性質(zhì)，如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及變形、等差中項(xiàng)及應(yīng)用、等差數(shù)列的單調(diào)性、前n項(xiàng)的和等，進(jìn)而學(xué)習(xí)等比數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容.

歸納猜想是直覺思維的一種重要形式.數(shù)學(xué)問題研究經(jīng)常采用“先猜后證”的策略.數(shù)學(xué)的猜想是以扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)為根本，以寶貴的經(jīng)驗(yàn)累積為依據(jù).一個(gè)數(shù)學(xué)問題出現(xiàn)時(shí)，可鼓勵(lì)學(xué)生從多角度探究并猜測(cè)問題的結(jié)論，這樣有助于直覺思維的培養(yǎng).

案例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A1F∥平面D1AE，求A1F與平面BCC1B1所成角的正切值構(gòu)成的集合.

本題需猜測(cè)與驗(yàn)證同步進(jìn)行，需要學(xué)生直覺思維的參與.考查的是線面所成角的正切值的范圍，即為斜線與射影所成角的范圍.由此引發(fā)探究斜足的軌跡是什么.接下來通過面面平行可得線面平行這一性質(zhì)定理，來探索斜線即斜足的軌跡.而面面平行可通過兩交線分別與另一平面平行得證.最終可得斜足的軌跡即為BB1與B1C1中點(diǎn)的連線.

本題的解題過程分析較為繁雜，考查內(nèi)容所涉及的面比較廣，通過執(zhí)果索因的方式逐級(jí)逆推，要求學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯思維與直覺思維，總體難度中.培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺思維就是創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生以已有的知識(shí)作為依據(jù)，去大膽地猜測(cè)聯(lián)想.

（四）滲透數(shù)學(xué)的哲學(xué)觀及審美觀

直覺思維是在對(duì)研究對(duì)象的整體認(rèn)知的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，而哲學(xué)觀點(diǎn)有助于對(duì)事物本質(zhì)性的探索與思考指引方向.數(shù)學(xué)中的哲學(xué)觀包括數(shù)學(xué)的對(duì)立統(tǒng)一、運(yùn)動(dòng)變化、化歸轉(zhuǎn)化、特殊與一般等.例如，立體幾何中的空間對(duì)稱問題，垂徑定理解決與球有關(guān)的問題，圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)，函數(shù)、方程、不等式之間的化歸與轉(zhuǎn)化、從函數(shù)的角度看待數(shù)列問題等，這些都通過“哲學(xué)觀”這條暗線關(guān)聯(lián)在一起，構(gòu)成了數(shù)學(xué)這一整體.學(xué)生依托數(shù)學(xué)的哲學(xué)觀，借助直覺思維，把知識(shí)由“點(diǎn)”拓展延伸到“線”到“面”.

數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì)，提高審美能力有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)事物間所有存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺意識(shí).理解數(shù)學(xué)的美有利于數(shù)學(xué)直覺思維的形成.狄拉克于1931年從數(shù)學(xué)對(duì)稱的角度考慮，大膽地提出了反物質(zhì)的假說.很多數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都是在感受數(shù)學(xué)美的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)的，在教學(xué)中，要從領(lǐng)略、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)美的角度出發(fā)，從數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)邏輯、數(shù)學(xué)思想方法中感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美、奇異美、重要美、比例美等.如，在正、余弦定理的探究過程，可從對(duì)稱美、統(tǒng)一美的角度引發(fā)學(xué)生思考、探索.另外，一些數(shù)學(xué)問題的研究，可以通過對(duì)問題的特殊情形的研究，逐漸加深對(duì)其了解，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，探尋規(guī)律，形成一般結(jié)論.這就是數(shù)學(xué)的美所帶來的認(rèn)知上的促進(jìn).

三、結(jié) 語

直覺思維是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成.通過培養(yǎng)直覺思維可形成更敏銳的觀察力、想象力及邏輯思考能力，學(xué)生要養(yǎng)成站在系統(tǒng)的角度思考問題，制訂解決策略.數(shù)學(xué)課堂要滲透數(shù)學(xué)的哲學(xué)觀與審美觀，從系統(tǒng)的角度分析問題、思考問題，整體上把握章節(jié)知識(shí)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)直覺思維的意境與動(dòng)機(jī)誘導(dǎo)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與熱情，化“被動(dòng)接受”為“主動(dòng)探究”，學(xué)生在未知領(lǐng)域的探究過程中充分享受到直覺思維所帶來的成功，才會(huì)意識(shí)到直覺思維的價(jià)值.

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙思林，朱德全.試論數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)策略[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010（1）：23-26.

[2]徐利治.徐利治談數(shù)學(xué)哲學(xué)[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2008.