一題一課：將探究引向深入

孫慧

摘 要：一題一課是通過對一道題探究，層層深入，剖析其內在關聯和數理本質。本文以二次函數為例，鋪設臺階，一題多變，引導學生進行科學有序的數學活動探究，實現數學思維的內化，促進學生反思、發散思維的完善。

關鍵詞：一題一課;二次函數;數學思維

中學數學六大核心素養是教師追求的教學目標。而“勇于探究”和“勤于反思”如何才能內化為學生的能力？教學方式萬變，不變的是教師的引導地位，學生能力的錘煉離不開教師的勤思考，勤探究。鋪設學生夠得著的臺階、引導學生搭建臺階、帶領所有學生一起登臺階，是教學活動的難點所在。一題一課以二次函數為主線，通過探索二次函數圖像中的幾何問題，鞏固二次函數的性質，體會數形結合、以形輔數、以數推形的巧妙關聯。

1 情境引入

問題：

（1）請說出最簡單的二次函數。

（2）試尋找與上述二次函數形狀相同的其他二次函數，并寫出其解析式。

（3）將（1）中的函數向下平移4個單位長度，向左平移1個單位長度，得到新的拋物線，頂點坐標為點D，與縱軸交于點C，與橫軸交于A、B點（A左B右）。試解釋各點的幾何意義。

教學預設：最簡單的二次函數為y=x2，教師補充說明為何最簡。第二題，學生對“形狀相同”理解不充分，是脫離了對函數式中系數的認識，缺乏數形結合的思維鍛煉。第三題，可能會有兩點模糊點：為何要利用頂點式進行圖像的平移？為何左加右減？以上問題回顧了二次函數圖像基本性質，為后續拓展準備。

設計意圖：讓學生回顧二次函數解析式不同表示方法中的系數意義何在，體會數、形的相互依存。繪制如圖1，供后續拓展準備。

2 拓展探究

活動1：在問題（3）的二次函數中，結合三角形的形狀，你能在上述二次函數中提出什么問題？

教學預設：Rt三角形、等腰三角形，等腰直角三角形較為常見。以判斷△ACD是否是直角三角形為例，可用勾股定理或斜率相乘為-1來處理。前者先用兩點間距離公式表示線段長度，再用勾股逆定理判定其為直角三角形;后者利用一次函數斜率公式，K1·K2=-1，得到結論。對比兩種計算方法，都離不開分類討論，但計算量有差別。教師可總結提煉：倘若是探究等腰三角形，則一般是以線段長度公式和勾股逆定理為載體;倘若是等腰直角三角形，三垂圖可為分析載體。

設計意圖：讓學生體驗為自己出題，并在解題時對比不同方法的優劣，以及分類討論思想及數形結合思想的價值。

活動2：結合三角形的面積，你能在上述二次函數中提出什么問題？

教學預設：學生多會提面積最值問題，或點的坐標。以下題為例：在AC下方的拋物線上，是否存在一個點N使△CAN的面積最大？求此時N點坐標。展示兩種方法。

方法一：過點N作NM//y軸交AC于點M，S△CAN=1/2·MN·|XC-XA|=2/3·MN，面積最值轉換為線段最值問題。

方法二：當△CAN面積最大時，過點N作直線l//AC，直線l與拋物線有且只有一個交點。聯立l與拋物線y=-x+by=x2+2x-3，僅有一個交點，即△=0。

設計意圖：動點問題，從設未知點著手。方法一將面積最值轉化為線段最值問題，注意如何利用點的坐標正確表達線段長度。方法二從極限狀態分析，即兩個函數只有一個公共點，充分體現以形助數的優勢。延續方法二，可追問點N到直線AC的距離是多少？

活動3：在拋物線上是否存在一點Q，使得Q點所在的三角形的面積等于△ABC的面積？

教學預設：學生在選取Q點所在的三角形時，較易想到去找另外兩點為已知定點的三角形。以S△CAQ=S△ABC為例，點Q與點C到直線AC的距離相等，過點B作直線l//AC，交拋物線與點Q。聯立直線和拋物線y=-x+1y=x2+2x-3，得到P1（-4，5）。

到此結束分析結束了嗎？直線l在AC的上方，那么在AC的下方必然也會有一條直線m//AC，且到AC的距離與直線l到AC的距離相同，即m與l關于直線AC對稱。那么直線m與拋物線是否存在交點呢？如圖2所示。聯立直線m與拋物線y=-x-7y=x2+2x-3，解得無實數根，即無交點。

設計意圖：利用兩平行線間的距離處處相等，將點的求解問題轉換為一次函數與拋物線的位置關系問題，實現以形助數，同時考察如何分類如何討論。

3 結語

數形結合是初中數學重要思想之一，然而對于很多學生而言更像一個口號，何時使用、如何使用卻很模糊。在活動一對三角形形狀的討論，首先明確從哪些角度分類討論，進而類比不同方法的優劣;活動二面積最值問題，可利用轉化思想變為線段最值問題，或轉化為一次函數與二次函數交于一點的幾何問題;活動三繼續精進，分類討論兩類函數在不同方向上的交點情況。通過本堂課半開放式的設問，引導學生從生硬數字向溫婉圖形過渡，面對紛繁的數學圖形如何化繁為簡、明確類型。數學思想的滲透還需錘煉。

參考文獻

[1]吳立建.八年磨一課的思索與歷程[J].數學教學，2015，（03）.

[2]夏乾冬.一題一課中滲透核心素養三步曲[J].中學數學教學參考（中旬），2019，（12）.