關(guān)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法探索

劉小金

【摘 要】 高中數(shù)學(xué)之中，函數(shù)屬于一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是高中生一個(gè)學(xué)習(xí)難點(diǎn)。因?yàn)槭艿街R(shí)水平以及思維能力的影響，多數(shù)高中生在解題過(guò)程中常常陷入到思維誤區(qū)之中，進(jìn)而得到錯(cuò)誤答案，影響其成績(jī)的提高。所以，教學(xué)期間，數(shù)學(xué)教師需要幫助學(xué)生打破原有的思維定勢(shì)，拓寬其解題思維，進(jìn)而培養(yǎng)高中生多元化的解題思路。本文旨在對(duì)高中數(shù)學(xué)當(dāng)中解答函數(shù)問(wèn)題多元化的方法展開(kāi)探究，以期給實(shí)際教學(xué)提供參考。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)? 函數(shù)解題? 多元化方法

前言：在高中階段，函數(shù)除了是學(xué)生學(xué)習(xí)期間的一個(gè)重難點(diǎn)之外，同時(shí)也是歷年高考數(shù)學(xué)中一個(gè)重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)。但是，多數(shù)學(xué)生都對(duì)函數(shù)知識(shí)存在學(xué)習(xí)誤區(qū)，僅重視學(xué)習(xí)結(jié)果，并未重視解題方法以及解題思路的多元化。對(duì)于此，數(shù)學(xué)教師在開(kāi)展教學(xué)期間需要著重對(duì)高中生的發(fā)散思維、創(chuàng)新思維以及化歸思維加以培養(yǎng)，進(jìn)而讓高中生掌握解答函數(shù)問(wèn)題的多元化的方法。

一、發(fā)散高中生思維

高中時(shí)期的數(shù)學(xué)教材之中，針對(duì)一個(gè)問(wèn)題一般只給一種解題方法，因此高中生進(jìn)行學(xué)習(xí)期間極易受到教材影響，對(duì)學(xué)生思維產(chǎn)生局限。同時(shí)，高中生長(zhǎng)時(shí)間根據(jù)教材內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)，極易形成一種定向思維，實(shí)際解題期間常常按照固定模式進(jìn)行解題，進(jìn)而導(dǎo)致函數(shù)解題缺少全面性，甚至得到錯(cuò)誤答案。所以，函數(shù)教學(xué)期間，數(shù)學(xué)教師需著重培養(yǎng)高中生發(fā)散思維，站在不同角度對(duì)相同問(wèn)題進(jìn)行解決，進(jìn)而幫助學(xué)生對(duì)多元化解題方法加以掌握。

例如，假設(shè)f（x）=，求f（x）在[0，1]之上的值域。

分析：針對(duì)此題，我們可以進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，站在不同角度加以看待，可以得到幾種不同解題思路。

方法一：f（x）==0，x=0

，x∈（0，1]，通過(guò)求解該復(fù)合函數(shù)值域，可以得到f（x）在[0，1]之上值域是[0，1].

方法二：通過(guò)求導(dǎo)進(jìn)行解題。f'（x）==?0在[0，1]之上恒成立，因此能夠得到f（x）在[0，1]之上單調(diào)遞增，進(jìn)而得到f（x）在[0，1]之上值域是[0，1].

二、培養(yǎng)高中生創(chuàng)新思維

在高中時(shí)期，不少函數(shù)問(wèn)題全都擁有不同解法，通過(guò)對(duì)命題問(wèn)題以及結(jié)論進(jìn)行改變，能夠?qū)γ}和其形式加以分析。這樣一來(lái)，還能提升高中生解題能力，促使其問(wèn)題分析以及解決能力得以提高。所以，函數(shù)教學(xué)期間，數(shù)學(xué)教師需著重培養(yǎng)高中生創(chuàng)新思維，促使學(xué)生掌握多元化的函數(shù)解題方法。

例如，假設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a?1，如果存在唯一整數(shù)x0，能夠使得f（x0）?0，求a的取值范圍。

分析：此題擁有很多解題方法，我們?cè)诮忸}之前應(yīng)當(dāng)進(jìn)行仔細(xì)研究，尋找不同解題方法。

方法一：根據(jù)題意能夠知道存在唯一整數(shù)x0，能夠讓e（2x0-1?ax0-a.

假設(shè)g（x）=ex（2x-1），h（x）=ax-a，由g'（x）=ex（2x-1）可知，g（x）在（-∞，-）上是單調(diào)遞減的，而在（-，+∞）之上是單調(diào)遞增的。因此存在：h（0）?g（0）

h（-1）?g（-1），最終解得：?a?1.

方法二：把x=0帶入到f（x）當(dāng)中能夠得到f（0）=a-1，根據(jù)題意可知a?1，得到f（0）?0，這樣可以對(duì)題設(shè)條件存在唯一整數(shù)加以滿(mǎn)足，使得f（x0）?0，因此只需f（1）?0

f（-1）?0即可，進(jìn)而得到?a?1.

方法三：根據(jù)題意能夠知道f（x）?0，進(jìn)而得到ex（2x-1）?a（x-1），當(dāng)x=1之時(shí)不成立;而當(dāng)x?1之時(shí)，a?.令g（x）=，可以得到：g'（x）=.當(dāng)x∈（1，）時(shí)，g（x）是單調(diào)遞減的，而當(dāng)x∈（，+∞）之時(shí)，g（x）是單調(diào)遞增的。因此[g（x）]min=g（）=4e，進(jìn)而得到a?4e，可題設(shè)條件當(dāng)中a?1相矛盾，進(jìn)而舍去。當(dāng)x?1之時(shí)，a?，令g（x）=，同理能夠得到：當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g（x）是單調(diào)遞增的，而當(dāng)x∈（0，1）之時(shí)，g（x）是單調(diào)遞減的。因此[g（x）]min=g（0）=1，此時(shí)a?1，滿(mǎn)足題意。而又由于存在唯一整數(shù)x0，那么a?g（-1）=，進(jìn)而得到?a?1.

三、培養(yǎng)高中生化歸思維

在對(duì)函數(shù)問(wèn)題加以解答之時(shí)，化歸思維既能給學(xué)生提供全新解題思路，而且還能簡(jiǎn)化高中生運(yùn)算量，尤其是對(duì)于一些無(wú)法從正面加以求解的問(wèn)題。

例如，如果二次函數(shù)f（x）=4x2-ax+1在區(qū)間（0，1）上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，求a的具體取值范圍。

分析：一般情況之下，對(duì)于這一問(wèn)題，很多學(xué)生會(huì)從正面解題。這樣雖然可以求得答案，但是運(yùn)算過(guò)程卻非常復(fù)雜。因此，對(duì)此題進(jìn)行解答之時(shí)，教師需引導(dǎo)高中生應(yīng)用化歸思維，進(jìn)行反面思考，從而快速獲得問(wèn)題答案。

解：如果二次函數(shù)f（x）=4x2-ax+1在區(qū)間（0，1）上沒(méi)有零點(diǎn)，那么a≠4x+，且x∈（0，1），4x+?2且4x+=4.

所以，4x+∈[4，+∞）

所以，當(dāng)a?4之時(shí)，a≠4x+不成立.

而當(dāng)a∈[4，+∞）時(shí)，二次函數(shù)f（x）=4x2-ax+1在區(qū)間（0，1）上至少存在一個(gè)零點(diǎn)。

結(jié)論：綜上可知，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)乃是由復(fù)雜至簡(jiǎn)單，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的一個(gè)過(guò)程。而且，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解答擁有很多不同方法，針對(duì)具體問(wèn)題需要進(jìn)行具體分析，這對(duì)探究多元化的解題思路以及解題方法擁有積極推動(dòng)作用。所以，在函數(shù)教學(xué)期間，數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)高中生多元化解題思路，促使其思維得到有效發(fā)展，同時(shí)提升其創(chuàng)新能力以及解題能力。

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