高中數(shù)學(xué)圓錐曲線定點(diǎn)問題解題策略

摘 要： 圓錐曲線的定值定點(diǎn)問題作為近些年高考的熱點(diǎn)話題之一，該類題型在具體解題前通常無法確定定值、定點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果，這就會(huì)對(duì)解題造成一定難度。在對(duì)該類問題進(jìn)行解決時(shí)，需在點(diǎn)的“變”中找到定值的“不變”，通常會(huì)運(yùn)用特殊的探索法，對(duì)定值、定點(diǎn)進(jìn)行確定，然后轉(zhuǎn)化成有目標(biāo)、有方向的常規(guī)性證明題，以實(shí)現(xiàn)問題的解決。本文主要對(duì)高中數(shù)學(xué)的圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題的解題策略進(jìn)行探究。

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué);圓錐曲線;定點(diǎn);解題策略

新課標(biāo)中，首次提出專屬數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，其具體包括數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析。同時(shí)，新課標(biāo)中的課程教學(xué)目標(biāo)也出現(xiàn)了相應(yīng)的變化，并從“雙基”轉(zhuǎn)變成“四能”與“四基”，從注重學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力提升轉(zhuǎn)變成注重學(xué)科素養(yǎng)的有效培養(yǎng)。而圓錐曲線當(dāng)中的定點(diǎn)、定值問題作為高考考查的熱點(diǎn)，其主要指某些圖形面積、幾何量線段長度、直線斜率、角的度數(shù)等大小或代數(shù)表達(dá)式的數(shù)值等與試題當(dāng)中的相關(guān)參數(shù)無關(guān)，不會(huì)因?yàn)閰?shù)的變化而發(fā)生變化，而是個(gè)確定值。該類型的試題主要是解答題，其解決的思路主要是從量變過程尋求不變，也就是先通過變量表示出要求的點(diǎn)或量的坐標(biāo)，并進(jìn)行推理計(jì)算，導(dǎo)出的點(diǎn)或量的坐標(biāo)與其變量無關(guān)。

一、 直線過定點(diǎn)問題

直線過定點(diǎn)的問題，其主要指直線y=kx+b，若b是常數(shù)，則存在直線會(huì)過定點(diǎn)（0，b）;若b/k是常量，那么直線會(huì)過定點(diǎn)（-b/k，0）。其常用的解題思路為：通過特殊值獲得定點(diǎn)，注意對(duì)定點(diǎn)與變量之間沒有關(guān)系進(jìn)行證明，并對(duì)式子實(shí)施變形整理，通過計(jì)算與推理，實(shí)現(xiàn)變量消除的結(jié)果，以求得定點(diǎn)。對(duì)于直線過定點(diǎn)而言，較為常用的就是通過直線點(diǎn)斜式的方程進(jìn)行證明。

例1：橢圓C方程是： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0），其中點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），P3 -1，? 3? 2? ，P4 1，? 3? 2? 當(dāng)中的三點(diǎn)都在橢圓C上。

（1）求取橢圓C方程;

（2）假設(shè)直線l不過點(diǎn)P2，且和C相交在A，B兩點(diǎn)，如果直線P2A和直線P2B斜率之和為-1，則證明l過定點(diǎn)。

解：（1）依據(jù)橢圓具有對(duì)稱性可知，P1（1，1）與 P4 1，? 3? 2? 兩點(diǎn)不能同時(shí)位于橢圓上，而P3 -1，? 3? 2? ? P4 1，? 3? 2? 兩點(diǎn)一定都在橢圓上，由此可知，在橢圓上的三點(diǎn)為P2（0，1），P3 -1，? 3? 2? ，P4 1，? 3? 2? ，將其代入到方程C中，可知：b=1， 1 a2 + 3 4 =1a=2。

因此，橢圓C的方程為： x2 4 +y2=1。

（2）設(shè)直線P2A與P2B的斜率分別是k1，k2，如果l和x軸垂直，設(shè)l=t，根據(jù)題設(shè)可知t≠0，同時(shí)|t|<2，由此可得A，B的坐標(biāo)為 t，? 4-t2? 2? ?t，-? 4-t2? 2? ，則k1+k2=? 4-t2 -2 2t -? 4-t2 +2 2t =-1，可得t=2，不滿足題設(shè)。因此，設(shè)l：y=kx+m（m≠1）。將y=kx+m代入到 x2 4 +y2=1中可得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，根據(jù)題設(shè)可知Δ=16（4k2-m2+1）>0。

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），那么x1+x2=- 8km 4k2+1 ，x1x2= 4m2-4 4k2-1 。

同時(shí)，k1+k2=（y1-1）/x1+（y2-1）/x2=（kx1+m-1）/x1+（kx2+m-1）/x2=2kx1x2+（m-1）（x1+x2）/x1x2

根據(jù)題設(shè)可知k1+k2=-1，因此，（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0。

即（2k+1）· 4m2-4 4k2-1 +（m-1）· -8km 4k2+1 =0

解得：k=-（m+1）/2。當(dāng)且僅當(dāng)m>-1的時(shí)候，Δ>0，即l：y=-（m+1）/2x+m，而y+1==-（m+1）/2（x-2），由此可知，直線l恒過定點(diǎn)（2，-1）。

二、 動(dòng)圓過定點(diǎn)問題

圓錐曲線當(dāng)中的定點(diǎn)問題一般和圓錐曲線當(dāng)中的“常數(shù)”有直接關(guān)系，例如橢圓雙半軸的長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、雙曲線的實(shí)虛軸長等，都可以通過直接計(jì)算獲得，也可通過“曲線系法”“特殊位置法”進(jìn)行求解。動(dòng)圓過定點(diǎn)的問題，如果沒給出方程，求解的時(shí)候，就需對(duì)變化量實(shí)施正確的表述，也可通過引進(jìn)參數(shù)，如點(diǎn)坐標(biāo)、直線斜率、直線截距等對(duì)變化量進(jìn)行表述，然后按照題目設(shè)條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，對(duì)相應(yīng)動(dòng)態(tài)的曲線方程進(jìn)行表示，并將曲線方程轉(zhuǎn)化為f（x，y）+λg（x，y）=0，即λ∈ R 的時(shí)候，曲線恒過定點(diǎn)為f（x，y）=0和g（x，y）=0兩條直線的交點(diǎn)。

例2：如圖可知，橢圓C方程是： x2 4 + y2 3 =1，其左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A，B，右準(zhǔn)線上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)為M，N，同時(shí)，向量AM與向量BN的乘積為0，那么以MN作為直徑的圓能否會(huì)過定點(diǎn)，如果是，請求取定點(diǎn)坐標(biāo);如果不是，請說出理由。

解：由題設(shè)可知A（-2，0），B（2，0），其右準(zhǔn)線的方程是x=4。

設(shè)M（4，m），N（4，n），則AM =（6，m），BN =（2，n）。

由AM ·BN =0可得6×2+mn=0，那么mn=-12。

將MN作為直徑的圓的方程則是：（x-4）（x-4）+（y-m）（y-n）=0

即（x-4）2+y2-（m+n）y+mn=0，由此可得：（x-4）2+y2-（m+n）y-12=0

若y=0，則（x-4）2-12=0，即x=4±2 3

因此，將MN作為直徑的圓過的定點(diǎn)為（4±2 3 ，0）。

由上可知，在對(duì)該類型的試題進(jìn)行解決時(shí)，需注意M，N為右準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且注重AM ·BN =0的有效利用。動(dòng)圓是M，N所引起的，因此，通過M，N的坐標(biāo)對(duì)“動(dòng)因的量”進(jìn)行表示，由于其涉及兩個(gè)參數(shù)，就會(huì)聯(lián)想到兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系。

三、 求定值問題

定值問題通常是于運(yùn)動(dòng)變化過程中尋找出不變量問題，其基本思想就是通過參數(shù)對(duì)需要解決的問題進(jìn)行表示，并證明需解決的問題和參數(shù)沒有關(guān)系。該類試題當(dāng)中，最關(guān)鍵的就是消元的選擇方向。對(duì)定值有關(guān)問題進(jìn)行解決的時(shí)候，通常包含兩種思路，即（1）根據(jù)符合題意的狀況找出特殊狀況，并計(jì)算出需求取的值。之后，在知道最后的答案的狀況下，對(duì)所求值和標(biāo)量之間無關(guān)進(jìn)行證明。例如，在對(duì)三角形面積進(jìn)行計(jì)算時(shí)，通常是在符合題意的狀況下，假設(shè)三角形是直角三角形等類似的特殊三角形，對(duì)其面積進(jìn)行計(jì)算，然后再進(jìn)行面積的計(jì)算。（2）直接根據(jù)題意，對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并計(jì)算出求取的值，最后通過化簡變形，設(shè)求取的值和變量沒有關(guān)系。

例3：已知曲線C方程是： x2 4 + y2 3 =1，A是曲線C上的一個(gè)點(diǎn)，其坐標(biāo)是（1，3/2），E，F(xiàn)為曲線C的動(dòng)點(diǎn)，若存有KEF+KAE=0，求證：EF斜率是個(gè)常數(shù)，且求出該常數(shù)的實(shí)際值。

解：設(shè)直線AE方程是：y=k（x-1）+ 3 2 （k≠0），

由 x2 4 + y2 3 =1與y=k（x-1）+ 3 2 相聯(lián)立，消去y后可得：

（4k2+3）x2+（12k-8k2）+4? 3 2 -k 2-12=0，則可知xE= 4（ 3 2 -k）2-12 （4k2+3）xA = 4k2-12k-3 4k2+3? ①

將式①當(dāng)中的k替換成-k，可得：xF= 4k2+12k-3 4k2+3? ②

因此，kEF=（yF-yE）/（xF-xE）=-k（xF+xE）+2k/（xF-xE）

將式①，②代入到kEF=（yF-yE）/（xF-xE）=-k（xF+xE）+2k/（xF-xE）當(dāng)中，可得kEF=1/2，因此，EF斜率是個(gè)常數(shù)。定值問題主要是在運(yùn)動(dòng)與變化過程中找出不變量，其基本思路主要是運(yùn)用參數(shù)對(duì)需要解決的問題進(jìn)行表示，并證明需解決的問題和參數(shù)毫無關(guān)系。

四、 結(jié)語

綜上所述，對(duì)定點(diǎn)、定值問題進(jìn)行解決的方式需通過對(duì)特殊值、極端位置進(jìn)行考查，探索出具體“定值”，然后再開展一般性的計(jì)算或者證明;另外的方法則是將問題所涉及的幾何式轉(zhuǎn)變成三角形式或者代數(shù)式，并對(duì)該式為恒定的進(jìn)行證明。如果類似的試題是通過客觀題的形式呈現(xiàn)，通常更適用于特殊的方法進(jìn)行解決。

參考文獻(xiàn)：

[1]秦宜菊，楊會(huì).有關(guān)圓錐曲線一類定值及定點(diǎn)問題的再研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（16）：52-53.

[2]孟弦.圓錐曲線中一類定點(diǎn)問題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019（9）：42-43.

作者簡介：

葉偉飛，浙江省臨海市，浙江省臨海市大田中學(xué)。