化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用策略探討

鄭慶中

摘要：將一個(gè)問題由繁化簡，由難化易，由復(fù)雜到簡單的過程就是化歸，化歸思想乃是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱。化歸思想不僅是一種解題思路，同時(shí)也是一種在數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛應(yīng)用的思維策略，更是一種數(shù)學(xué)思維方式。我們新時(shí)代數(shù)學(xué)教師需要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，創(chuàng)新教學(xué)方法，從傳統(tǒng)的教學(xué)生知識(shí)的理念中走出來，不僅要教給學(xué)生知識(shí)，同時(shí)也要教給學(xué)生方法，所以，重視數(shù)學(xué)思想也是我們教師的本職工作。本文以高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)為例，探討化歸思想在高中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用策略。

關(guān)鍵詞：化歸思想;高中數(shù)學(xué);函數(shù)

一、 引言

新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)和目標(biāo)更加突出和明確，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)思想的重要性。如果從字面意思理解“化歸”，其實(shí)也就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思，廣義的理解是學(xué)生在處理問題時(shí)，能夠就問題進(jìn)行仔細(xì)觀察，然后展開聯(lián)想，結(jié)合新舊知識(shí)開啟思維大門，借助舊知識(shí)和舊經(jīng)驗(yàn)處理好新問題，既喚起對(duì)舊時(shí)的回憶，同時(shí)也解決了新問題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移的能力。其核心思想是：在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以采用某種手段或者方法將問題進(jìn)行歸納或者轉(zhuǎn)化，尤其是將復(fù)雜的問題簡單化，從而快速解決問題，提高學(xué)生解題效率。

二、 化歸思想概述

數(shù)學(xué)知識(shí)是龐雜煩瑣的，數(shù)學(xué)問題更是復(fù)雜多變的，在日常學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生常常會(huì)發(fā)現(xiàn)原本掌握的知識(shí)，一到做題就“手足無措”。究其原因在于學(xué)生雖掌握了相關(guān)理論知識(shí)，但是缺乏總結(jié)和反思，沒有就問題的解題方法和思路進(jìn)行梳理，從而導(dǎo)致在解題過程中產(chǎn)生混亂思緒，理不清頭緒，無法擇取更優(yōu)解題方法，從而降低解題效率。那么，如何幫助學(xué)生克服這一問題呢？筆者認(rèn)為化歸思想在這方面的價(jià)值是不可替代的，尤其是解決數(shù)學(xué)函數(shù)問題上。通過利用化歸思想，將一些難以理解的問題簡單化，或者將題干已知信息精簡化，又或者是將整個(gè)知識(shí)點(diǎn)和其他知識(shí)互相轉(zhuǎn)化，比如將函數(shù)和不等式轉(zhuǎn)化，這些都是化歸思想的體現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合、化歸思想都是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用較為廣泛的方式，這種方法有利于學(xué)生快速轉(zhuǎn)化題干中的已知信息和未知問題，尤其是理清數(shù)量關(guān)系。高中學(xué)生在解決函數(shù)問題時(shí)總會(huì)遇到各種各樣的問題，盡管題型不同，但是只要學(xué)生熟練應(yīng)用化歸思想，問題總有解決的方法。所以，我們極力提倡學(xué)生應(yīng)用化歸思想解決函數(shù)問題。

三、 化歸思想在高中函數(shù)問題中的具體應(yīng)用

（一）應(yīng)用化歸思想將函數(shù)問題熟悉化

數(shù)學(xué)問題有一個(gè)非常顯著的特點(diǎn)就是題型多變，但考核要點(diǎn)萬變不離其宗，同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)往往可以延伸出多種考法，同一道題也可以探索出多種解題方法。而為了考查學(xué)生的變通思維，我們往往會(huì)設(shè)計(jì)一些看似較為新穎的題目，其實(shí)考核的內(nèi)容都是學(xué)生從書本上學(xué)習(xí)過的知識(shí)，但由于題目比較陌生，很多學(xué)生就容易“驚慌失措”，不知從何下手，如何解題。此時(shí)，如果我們滲透化歸思想，引導(dǎo)學(xué)生將比較陌生的題型轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)，那問題也就迎刃而解了。

例如在教學(xué)“對(duì)數(shù)函數(shù)”時(shí)我們可以指導(dǎo)學(xué)生將“對(duì)數(shù)函數(shù)”轉(zhuǎn)化為“指數(shù)函數(shù)”相關(guān)的具體問題，并且引導(dǎo)學(xué)生找出兩者之間的關(guān)系，從而在“指數(shù)函數(shù)”的基礎(chǔ)上找到問題的突破口，對(duì)函數(shù)的表達(dá)形式有一定的掌握，最終將兩者進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而高效地解決函數(shù)的問題。以“y=（238-168-2x）（120+8x）”這一題問題為例，我們可以鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用化歸思想，將其進(jìn)行轉(zhuǎn)變，通過配方的形式展現(xiàn)出一個(gè)新的方程表達(dá)式，即“y=-16（x-10）2+10000。”如此一來，不僅有利于弱化問題難度，同時(shí)也有助于提高學(xué)生解題效率。

（二）應(yīng)用化歸思想將函數(shù)問題簡單化

化歸思想最本質(zhì)的價(jià)值就在于能夠?qū)?fù)雜的問題簡單化，以此弱化問題難度，提高學(xué)生的解題效率和正確率。故此，我們數(shù)學(xué)教師所要做的就是指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用化歸思想轉(zhuǎn)化問題，尤其是轉(zhuǎn)化復(fù)雜的問題，將問題以更簡單的形式呈現(xiàn)出來，從而讓學(xué)生以更加清晰的頭腦去分析問題，從而更靈活地?fù)袢〗鉀Q問題的方法，將復(fù)雜的問題巧妙地化解了。針對(duì)此，筆者尚且有一個(gè)小小的建議，就是在函數(shù)教學(xué)過程中適當(dāng)為學(xué)生增設(shè)化歸思想應(yīng)用類題型，要多給予學(xué)生應(yīng)用化歸思想的機(jī)會(huì)，在反復(fù)鍛煉中更加熟練地掌握和應(yīng)用化歸思想的解題技巧。

【例1】 已知拋物線y=x2+4ax-4a+3，y=x2+（a-1）x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一條與x軸相交，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

此題正確的解題思路為：令y=0，Δ1=（4a）2-4（3-4a）<0;Δ2=（a-1）2-4a2<0;Δ3=（2a）2+8a<0;解得-3 2

如果此題不應(yīng)用化歸思想，直接從正面切入，那么就需要我們指導(dǎo)學(xué)生就問題進(jìn)行分類討論，加大了解題難度，繁不堪言的討論不僅出錯(cuò)率高，也容易讓學(xué)生喪失解題興趣。但如果從反面著手，將原問題轉(zhuǎn)化為“三條拋物線都不與x軸相交”，求出a的取值范圍，再求出其補(bǔ)集，問題自然也就簡單化了。類似于此的問題，如果一個(gè)題目出現(xiàn)多種成立狀況，那么不成立的情況一般較少，此時(shí)我們就從反面思考問題即可弱化問題難度，將問題徹底簡單化，提高解題效率。

（三）應(yīng)用化歸思想將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題

當(dāng)然，化歸思想絕不是單純地將復(fù)雜煩瑣的問題簡單化，化歸思想更顯著的價(jià)值在于將數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系化、銜接化，由一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。比如將抽象晦澀的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，便于學(xué)生解題，弱化計(jì)算難度。

【例2】 如圖所示，反比例函數(shù)y=-8 x與一次函數(shù)y=-x+2的圖象交于A、B兩點(diǎn)。

①求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);②求△AOB的面積。

解：①解方程組y=-8 xy=-x+2得x1=4y1=-2;x2=-2y2=4，

所以A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，4）、B（4，-2）。

②因?yàn)橹本€y=-x+2與y軸交點(diǎn)D坐標(biāo)是（0，2），

所以S△AOD=1 2×2×2=2，S△BOD=1 2×2×4=4，所以S△AOB=2+4=6。

此題直接讀題可知是考查函數(shù)圖像的問題，看似函數(shù)問題，但實(shí)則可以對(duì)已知信息和未知問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將反比例函數(shù)和一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程組，要求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)實(shí)則就是求方程組的解。至于△AOB的面積，在問題①的基礎(chǔ)上，做圖則一目了然。顯然，此題應(yīng)用化歸思想的數(shù)形結(jié)合思想，通過做圖，轉(zhuǎn)化問題，就能夠快速解決，雖難度不大，但也需要學(xué)生擁有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，能夠快速地應(yīng)用函數(shù)圖像、方程組相關(guān)知識(shí)，積極調(diào)動(dòng)大腦儲(chǔ)存經(jīng)驗(yàn)，否則也無法“見問則法”，靈活應(yīng)用化歸思想。

四、 化歸思想應(yīng)用原則以及常用形式分析

實(shí)踐證明，化歸思想的確有助于學(xué)生快速解決函數(shù)問題，也能夠改善函數(shù)教學(xué)質(zhì)量，但前提也是建立在正確應(yīng)用化歸思想。筆者綜合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)化歸思想的幾個(gè)原則和形式進(jìn)行了如下總結(jié)：

一是熟悉化原則。所謂熟悉化其實(shí)是針對(duì)問題而言的，當(dāng)我們看到陌生的、未知的問題時(shí)，頭腦中立刻出現(xiàn)的就應(yīng)該是化歸思想，將陌生的問題熟悉化，看似生僻的問題也能轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的問題，從而消除陌生感，應(yīng)用已學(xué)知識(shí)解決問題。

二是簡單化原則。化歸思想的核心就是將復(fù)雜問題簡單化，提高學(xué)生解題效率，避免出錯(cuò)率。故此，我們?cè)谥笇?dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)時(shí)，可以旁敲側(cè)擊的啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用化歸思想，比如上述例題2其實(shí)就是從反面解決問題，由于正面解決問題難度較大，所以從反面入手，問題難度被降低，解題的效率自然也就有所提高。

三是具體化原則。具體化原則是針對(duì)抽象問題而言的，有些問題的抽象度比較高，邏輯性非常強(qiáng)。針對(duì)這類函數(shù)問題，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)可以應(yīng)用具體案例進(jìn)行研究，通過案例分析引導(dǎo)學(xué)生掌握解題思路，然后再將解決方案放回到原來的問題之中，如此促使學(xué)生在同類問題中受到啟發(fā)，找到同類依據(jù)，從而解決問題。比如抽象函數(shù)單調(diào)性的研究就可以使用具體化原則。

四是和諧化原則。和諧化原則可以從兩個(gè)維度解讀。一方面是直接轉(zhuǎn)化問題的條件或者結(jié)論，讓問題和結(jié)論更符合數(shù)與形內(nèi)部表現(xiàn)的和諧統(tǒng)一形式;另一方面是轉(zhuǎn)化命題，使命題的推演過程更符合學(xué)生的解題思路和某種常規(guī)的數(shù)學(xué)方法。簡單說，也是應(yīng)用化歸思想，將某些特定的問題、題干進(jìn)行轉(zhuǎn)化，有意識(shí)地放寬學(xué)生思考問題的“視角”，讓學(xué)生更容易想到多種解決問題的方案。例如將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程組、不等式。

五、 結(jié)語

綜上所述，化歸思想重點(diǎn)在于“化”和“歸”。所以在高中函數(shù)模塊知識(shí)教學(xué)中，我們教師要啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用化歸思想就必須多引導(dǎo)學(xué)生就函數(shù)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并且在多次解題時(shí)間中學(xué)會(huì)“歸納”和總結(jié)，如此一來，才能促使學(xué)生思維更加靈活，更善于反思和總結(jié)。正所謂“授人以魚不如授人以漁”，真正的教師應(yīng)該是教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)，而不是“灌輸”死知識(shí)，尤其是數(shù)學(xué)教師，死記硬背這套模式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中無疑是“火中取栗”，收效甚微。只有轉(zhuǎn)變了教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)思想、解決數(shù)學(xué)問題的方法才是根本。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊亞鋒.淺談化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用[A].教師教育論壇（第一輯）[C].廣西寫作學(xué)會(huì)教學(xué)研究專業(yè)委員會(huì)，2019：2.

[2]孫崇銑.試論高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中化歸思想的運(yùn)用路徑[J].中國高新區(qū)，2017（22）：87.

[3]萬志明.淺析化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（11）：128.

[4]賈喻曉.應(yīng)用劃歸思想輔助高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)[J].科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2016（9）：13.