平方差公式的課堂導入比較

陳莉娜 朱福勝 黃振坤

【摘要】課堂導入是教學的第一個環節，而良好的開端不僅會激發學生的學習興趣，更能事半功倍地完成教學的目標.“教學有法，教無定法”，不同的教師對同一節課的課堂導入處理方式是不同的.以“平方差公式”一課為例，三位教師的課堂導入的方式就不盡相同，分別為故事導入法、提問導入法、實踐活動導入法.故事導入法側重于情境創設，為學生主動建構提供平臺;提問導入法側重于數學深度思考，旨在提升學生的數學思維品質;實踐活動法側重于對數學知識的多元表征，豐富學生認知表象.三種不同課堂導入也有其共同之處，表現在師生之間積極對話，聚焦數學知識本質.

【關鍵詞】課堂導入;數學教學;初中數學;平方差公式

【基金項目】2018福建省中青年教師教育科研項目“基于問題探究的數學案例教學研究”（JAS180218）.

一、“平方差公式”的教學認識

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生的興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維;要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法.”[1]可見，數學課程標準對教師提出了明確要求，而教師如何將數學課標理念融入教學，是課程改革實施的關鍵.以“平方差公式”一課為例，在設計平方差公式課堂導入環節時，教師應該把握住學生的學習心理特征，激發起學生學習的積極性，引導學生主動思考與探索.

本文共選取三個“平方差公式”教學實錄的片段.其中片段一與片段二的教學內容選自人教版初中數學八年級上冊14.2.1（第一課時）.片段三的教學內容選自蘇科版初中數學七年級下冊9.4.2（第二課時）.

從教材的內容整體上來看，人教版和蘇科版都是在有理數、整式的加減以及整式乘法的等知識的基礎上進一步學習平方差公式.即在學習多項式與多項式相乘后，引導學生觀察其多項式結構特征，猜想平方差的公式的結構特征，這種教材處理方式反映了從特殊到一般的數學思想.平方差公式刻畫了多項式（a+b）與（a-b）相乘的規律，也為今后的因式分解、分式的運算以及函數等知識學習奠定了基礎.因此，“平方差公式”教學內容在兩個版本的教材中都起著承上啟下的作用.

從教材的編排順序上來看，“平方差公式”是人教版初中數學階段的第一個公式，有著里程碑的意義.而蘇科版初中數學階段的第一個公式是“完全平方公式”，緊接其后才是“平方差公式”.不同版本的教材在編排順序上會有所不同，而其中的原因是教材編排的意圖有所不同.我們可以知道完全平方公式的表征是“相同”，而平方差公式表征是“相反”.[2]那么蘇科版先學習完全平方公式，再學習平方差公式，則是從“相同”到“相反”的過程，這符合學生的一般認知規律，也與蘇科版教材編排更注重從整體上考慮的意圖相一致.而人教版教材的編寫往往是呈螺旋式上升，即學生在通過“觀察-探究-猜想-驗證”的思維活動之后，建立數學模型，推導出平方差的公式，更能培養學生的邏輯推導能力.

二、“平方差公式”的課堂導入案例

“平方差公式”教學中常用的幾種導入方法，分別為故事導入法、提問導入法、實踐活動導入法.該案例所選取的教學片段均來自一線教師的教學課堂實錄，通過對比不同教師在課堂導入環節的不同設計，分析不同的人課堂導入的教學效果.

（一）故事導入法

故事導入法，它是教師運用與新知識相關，有故事情節的資源，呈現其生動形象的情節內容，讓學生通過對故事情節的感知體驗，產生對新知識探求的迫切愿望.[3]

片段一：

（本片段選自云南省，人教版初中數學八年級上冊1421“平方差公式”-馬呂燕）

師：同學們，最近森林里的熊二遇到一個問題.我們能幫他解決問題嗎？

生：好.（同學們充滿著好奇心）

師：光頭強開了家租地公司，他把一塊邊長為m米正方形土地租給熊二種植.一天，他對熊二說：“我把這塊地的一邊增加10米，另一邊減少10米，再繼續租給你.你也沒吃虧，你看如何？”熊二一聽，覺得沒有吃虧就答應了.回到熊洞把這件事情和熊大講了.熊大聽后，和熊二說：“熊二，你吃虧了.”熊二很吃驚.同學們，你們能告訴熊二，這是為什么嗎？

（學生一臉茫然，老師拿起之前準備好的正方形卡片，通過折疊，將正方形卡片的一邊長增加10米和另一邊長減少10米，向學生展示，這塊正方形地的面積關系.）

師：同學們看，這是一塊邊長為m米的正方形，現在我們把一邊的邊長減少10米，一邊增加10米.好的，同學們，觀察下，熊二有沒有吃虧？

生：吃虧了.

（老師再用幾何畫板詳細演示圖形變化的動態過程）

生：原來的面積是m2，現在的面積是（m+10）（m-10），〖HJ1.3mm〗利用上節課的多項式的乘法，結果為m2-100.經過比較，面積確實變小了……

（二）提問導入法

提問導入法是引導學生一步步進行探究的過程，挖掘數學知識之間的銜接，不僅有利于深化學生對新授知識的理解，幫助學生建立系統性的數學知識體系，還能培養學生深度思考的能力.

片段二：

（本片段選自浙江省，人教版初中數學八年級上冊1421“平方差公式”-劉靜）

師：我們在前面已經研究了多項式乘多項式的計算，現在請同學們在你們課堂練習本上，寫兩個二項式相乘的式子.

生1：（x+3）（y+5）=xy+5x+3y+15.

師：這個結果有幾項了？

生：四項.

師：那現在，把上式的多項式稍微改動，使得計算結果是三項？同桌之間，相互交流下.

生2：（x+5）（x+3）=x2+3x+5x+15=x2+8x+15.

師：結果是怎樣變成三項的了？

生2：合并同類項.（個別同學回答）

師：現在，還想讓它的計算結果變成兩項.想想看上述式子怎么改？

生3：（x+5）（x-5）=x2-5x+5x-25.

師：你是怎么思考這個問題的？

生3：上述式子，由計算結果由四項變成了三項是因為中間兩個單項式合并同類項.那么我想著中間兩項合并同類項之后，結果為0.

師：很好，那我們看看這兩個多項式，這兩個項有什么關系？我們可以看到x與x相同項，5和-5是相反項.聽好，現在的要求是，你們動手寫出計算結果只有兩項.

（學生動手計算后，老師選擇兩位同學的回答問題）

生4：（y-10）（y+10）=y2-10y+10y-100.

生5：（a+6）（a-6）=a2-6a+6a-36.

師：現在你們來觀察一下，到底怎樣的兩個二項式相乘，結果會是兩項的了？

（學生合作交流，教師引出平方差公式，總結平方差公式的結構特征）……

（三）實踐活動導入法

實踐活動導入法，它指的是教師首先根據新知識提出問題，然后通過巧妙地設計實踐探究活動，讓學生帶著對問題的積極思考參與到實踐活動中來，并在親自動手實踐的過程中解決問題，進而學習新知識.[4]

片段三：

（本片段選自江蘇省，蘇科版初中數學七年級下冊942“平方差公式”-孫凱）

師：同學們，老師將邊長為a的正方形卡片，在其右下角剪去一個邊長為b（b

生1：陰影中的面積是大正方的面積形減去小正方的面積，大正方形的邊長為a，則大正方形的面積為a2.小正方形的邊長為b，則小正方形的面積為b2.所以陰影部分的面積為a2-b2.

師：那你還能怎么表示陰影部分的面積了？帶著這個問題，四人一個小組，合作交流.

（同學們合作交流之后，上臺展示）

生2：我們將陰影部分的圖形面積分割成兩個梯形，它們的上底是b，下底是a，高為a-b.那根據梯形的面積計算公式可得，（a+b）（a-b） 2×2，即（a+b）（a-b）.（如圖5所示）

生3：我們將陰影部分的圖形面積分割成兩個梯形，把它們拼成一個長方形，它的長是a+b，寬是a-b.那根據長方形的面積計算公式可得，（a+b）（a-b）.（如圖6所示）

生4：我們將陰影部分的圖形面積先分成兩個小的長方形，再將其拼成一個大的長方形，長為，它的長是a+b，寬是a-b.那根據長方形的面積計算公式可得，（a+b）（a-b）.（如圖7所示）

師：用不同的方法計算得到陰影面積為a2-b2=（a+b）（a-b）.

……

三、“平方差公式”的課堂導入反思比較

（一）情境創設，為主動建構提供平臺

弗賴登塔爾認為，“情境問題是教學的平臺”，情境問題是直觀的、容易引起想象的數學問題，這些數學問題所依托的背景是學生所熟悉的事物，能促使學生對情境問題有所加工與思考.情境創設，能夠有效地為將新知識融入具體生動的情境，恰到好處地激發學生的求知欲，促進學生對新知的建構，重組原來的知識結構.例如，案例一中使用了故事導入法，恰恰利用了學生的學習心理特征，創造一個故事情境，為學生的主動建構提供一個平臺.事實上也證明，教師設置了“租地”的問題，成功吸引住學生的注意力，使得學生處于一種充滿好奇的狀態中，主動、積極、有意識地想要去解決問題.

（二）深度思考，提升數學思維品質

深度思考，是教師有意識地引導學生透過事物的表象探尋問題的實質，理解內在的數學邏輯聯系，多角度去分析問題，從而靈活地解決數學問題的過程.例如，案例二中的教師以“計算結果的項數有多少”為導向，設置環環相扣問題鏈，挖掘數學知識之間的銜接，引導學生一步步去探究，這種提問導入法體現了數學思維的深刻性.因此，教師應引導學生理解新舊知識之間的關系，建立系統性、結構化的數學知識體系，找出事物的內在聯系和規律，久而久之學生探究學習的思維品質就能得以提升.

（三）多元表征，豐富數學認知表象

多元表征，從表征的感覺通道來看，數學表征可以是聽覺表征（如教師的言語等）、視覺表征（如多媒體展示）和動作表征（如折紙作圖等）.[5]顯然案例二的教師過于強調聽覺表征，這在某種意義上不利于學生對數學內容的完整理解.案例一與案例三的教師注重多元表征的結合使用，使得學生從不同的角度、不同的視角對其本質進行視覺化或體驗化的闡述.由此可見，多種表征之間能相互聯系，相互促進，進而逐漸完善學生的表征體系以及豐富學生數學的認知表象，進一步鞏固學生的數學核心素養.因此，教師在設計課堂導入的教學中，應積極采取多元表征形式，對教材進行深入的加工，完善學生的認知圖式，促進學生對數學的本質感悟.

（四）數形結合，將代數問題幾何化

數形結合的本質思想，是將復雜、抽象的數量關系轉化成簡單、具體的圖形表示，進而拓展學生的思維方式，更加直觀化、生動化理解數學內在聯系.例如，案例一和案例三的課堂導入教學設計都巧妙地抓住了“平方差公式”與“數形結合思想”的切合點，將代數的問題幾何化，充分地將復雜的問題簡單化.同時，在《義務教育數學課程標準（2011年版）》中也提到“幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要的作用.”[1]因此，在課堂導入的教學設計中，教師應積極滲透數形結合思想，并能夠引導學生用幾何直觀的思維思考數學的概念，多角度多方位探索數學的問題.

（五）師生對話，聚焦數學知識本質

有效師生對話，目的是揭示數學的本質，促進思考，挖掘數學之間的內在聯系.例如，案例一的教師語言簡練明快，繪聲繪色，能將故事講得生動形象、深入淺出，那么這節課師生間的對話就顯得生動有趣，促進了師生之間的情感、思想的交流.案例二的教師能依據教學重點、難點設計具有針對性的問題，使學生積極參與課堂互動，圍繞問題打開思維.那么這節課師生間的對話能引起學生深度思考，直擊數學問題的本質，積極參與課堂數學活動中.案例三的教師采用實踐活動導入法，學生自己動手實踐操作并將學習的結論與同伴交流分享，學會自我表達、共享經驗.那么這節課師生之間的對話，具有啟發性與引導性，最大限度調動學生的參與度.因此，師生之間的對話，能夠激發學生的數學學習潛能，幫助學生摒棄數學冰冷的形式內容，從而聚焦數學知識的本質.

總而言之，不同的課堂導入方法，有著其不同的特性.而課堂導入的藝術在于能夠根據學生的具體情況，充分調動起課堂的氛圍，使得學生最快進入教學情境中.學生主動學習的過程應是充滿動態性，而不應該過于刻板、模式化，因而，課堂導入的方式，并不存在于好壞之分，而在于能否選取適當的課堂導入方式進行教學.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]孫凱.發展符號意識，凸顯思想方法——以“平方差公式”教學為例[J].中學數學雜志，2018（4）：26-29.

[3]鐘紅麗.中學數學課堂教學“導入設計”的比較研究[D].南充：西華師范大學，2016.

[4]韓曉雪.初中數學概念課導入方法研究[D].呼和浩特：內蒙古師范大學，2017.

[5]杜青霞.高中生數學概念多元表征的調查研究[D].武漢：華中師范大學，2014.