淺談解三角形題時的關(guān)鍵技巧

摘 要：隨著我國教育體制的不斷變化，各學(xué)科的重點和考點也發(fā)生了偏移，根據(jù)我國2018年更新的高考考綱所進行的標注，解三角形所涉及的問題成為新的考試重點和頻考知識點。同時，新課標也對高二數(shù)學(xué)中的解三角形問題作出了新的規(guī)定和要求。首先，學(xué)生需要能夠熟練掌握三角形的正弦定理和余弦定理，同時運用這些知識點來解決相應(yīng)的度量問題。本文闡述了解三角形教學(xué)和習(xí)題過程中易出現(xiàn)的問題，有針對性的分析了相關(guān)解題技巧。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解三角形;技巧概述

一、 引言

雖然高考每年的考題都不同，但是考題類型的變化規(guī)律卻是有跡可尋，這幾年，解三角形題出現(xiàn)的頻率頗高，是每個數(shù)學(xué)教師都需要深研的題型。然而由于解三角形屬于幾何和代數(shù)學(xué)中聯(lián)系較為緊密的一環(huán)，具有較高的難度，是很多學(xué)生高中數(shù)學(xué)的薄弱環(huán)節(jié)，無法掌握有效的學(xué)習(xí)方法，形成正確的答題習(xí)慣。因此在學(xué)習(xí)過程中，對于教師和學(xué)生都存在著各種困難和問題，接下來，本文將逐一進行分析和探討。

二、 解三角形教學(xué)和習(xí)題中易出現(xiàn)的問題

（一）過于重視教學(xué)內(nèi)容

由于解三角形題在高中數(shù)學(xué)中的重要性，很多教師會在教學(xué)過程中遇到較多的問題，而通常情況下，數(shù)學(xué)教師不會深入分析學(xué)生之所以學(xué)不好、學(xué)不會的理由，而是一味的反復(fù)進行教學(xué)和習(xí)題訓(xùn)練。殊不知這種忽略學(xué)生感受、不重視解題技巧和學(xué)習(xí)趣味性的方式，不僅無法有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，甚至還會起到反作用。另外，還有很多教師在習(xí)題的選擇上存在問題，習(xí)題的難度不是偏低就是偏高，這就導(dǎo)致了能多學(xué)生無法通過習(xí)題進行有效的自我提升，甚至還會導(dǎo)致原本學(xué)會的知識也無法合理運用的情況。最后，還有些教師在反復(fù)教學(xué)、大量習(xí)題的流程之后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的能力沒有提高，就將責(zé)任全都推到學(xué)生身上，還會用“別人學(xué)會了，為什么你不會”這種理由進行搪塞，導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生厭煩心理，甚至影響數(shù)學(xué)成績的提高。

（二）解題方法的掌握

解三角形對于學(xué)生而言，也缺失存在很多問題。首先，在高中階段，很多學(xué)生思想過度活躍，會選擇將過剩的精力放在談戀愛、讀閑書、上網(wǎng)打游戲等方面，在課上不注意聽講、在課后也沒有經(jīng)過仔細的復(fù)習(xí)，這就導(dǎo)致了知識點的掌握不夠扎實。另外，還有很多學(xué)生是由于該模塊知識點的難度，沒有形成良好的解題思路和習(xí)慣，以至于在面對解三角形題時，總是像面對新題一樣，缺少清晰的思路。相比之下，有一部分學(xué)生，看似并沒有在這一模塊投入大量的時間，但是卻總能取得好成績，就是因為掌握了正確的解題方法和技巧的原因。

（三）重視程度不夠

通過近幾年的試卷不難發(fā)現(xiàn)，解三角形的各類問題頻繁出現(xiàn)在各種大大小小的考試中，包括月考、期末考、會考、統(tǒng)考甚至高考。由此可見，解三角形題在近幾年的重視程度直線提高，因此需要教師和學(xué)生能夠引起足夠的重視，在學(xué)習(xí)和解題過程中，將其當(dāng)作是必考題型來對待。同時除了對該類題型提高重視以外，教師還需要將涉及解題方式的各類知識點進行重新的梳理和歸納。以幫助學(xué)生能夠在面對此類題型時，快速找到解題方法，并提高解題準確性。

（四）教學(xué)方式過于單一

即便解三角形是高中數(shù)學(xué)極為重要的課程之一，同時學(xué)生也需要面臨高考的巨大壓力，然而過于單一的教學(xué)方式，仍然對學(xué)生造成了極大的影響。傳統(tǒng)模式下，學(xué)生無法根據(jù)知識點和自身興趣愛好相結(jié)合，也缺少和同學(xué)針對不同知識內(nèi)容進行討論的機會，雖然學(xué)生可以和教師進行溝通，然而更多學(xué)生在面對自身解題問題的時候，仍然處于閉門造車的狀態(tài)，不利于加深對解三角形題的認知和成績的提升。面對這種情況，教師可以通過使用多媒體教學(xué)和分組合作的教學(xué)模式，來幫助學(xué)生重新認知解三角形的流程和知識點，通過視頻演示和分組討論的教學(xué)環(huán)節(jié)來分享解題經(jīng)驗，促進學(xué)生互相幫助的意識，并有效提高解題能力。

三、 解三角形時的關(guān)鍵技巧

（一）正弦定理、余弦定理的利用

正、余弦定理是解三角形題時的入門知識點，但是隨著數(shù)學(xué)課程的深入，很多學(xué)生在做了大量的該類型題后，反而對基礎(chǔ)的定理變得忽視起來。面對這種情況，教師需要及時指正，并讓學(xué)生能夠進行自我調(diào)整，不斷深化對于正弦定理和余弦定理的掌握。舉例說明，2015年新課標中的案例。

已知a、b、c分別是△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊，sin2B=2sinAsinC。

（1）若a=b，求cosB。

（2）若B=90°，且a=2，求△ABC的面積。

試題解析：（1）由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac

又a=b，可得b=2c，a=2c

由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=14。

（2）由（1）知b2=2ac

因為B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2

故a2+c2=2ac，得c=a=2

所以△ABC的面積為1。

該題的解題思路中，最為重要的內(nèi)容就是充分利用已知條件將另外兩個邊表示出來，再結(jié)合余弦定理求出β的余弦值，只要能夠完成這一步，就可以通過勾股定理求解。由此可見，在解三角形題的過程中，兩個基礎(chǔ)定理往往使用在最為關(guān)鍵的部分，且起到了起承轉(zhuǎn)合的作用。另外，在面對不同題型時，還需要根據(jù)題干內(nèi)容，注意邊和角的關(guān)系。同時教師還需要著重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維，通過正余弦定理的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握在各象限內(nèi)定理的應(yīng)用，并結(jié)合到實際解題的應(yīng)用中去，幫助學(xué)生更加直觀的了解題干內(nèi)容，并保證解題過程中的思路正確。

（二）注重解題規(guī)律的總結(jié)

很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，之所以效果不佳，很大程度上是吃了不會總結(jié)，或者懶得總結(jié)的虧，雖然每道題都需要學(xué)生進行獨立思考，但是類型題之所以叫做類型題，其核心內(nèi)容是不會變的。

因此教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)解三角形的過程中，需要學(xué)會自我分類的方法，在遇到不同題型的時候，能夠根據(jù)自己日常的積累，先確定題型、再確定解題思路、最后完成解題步驟。這種模式下，無疑是將數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難度進行了一次自我簡化，既節(jié)省了時間，又提高了效率，其本質(zhì)是和復(fù)制、粘貼沒有區(qū)別的。

尤其是在學(xué)習(xí)解三角形題時，這種摘抄的習(xí)慣更加重要，比如“如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理”“解題中一定要注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍限制”“在三角形中，大邊對大角”這些結(jié)論性的內(nèi)容不僅能夠讓學(xué)生快速找到解題思路，更能夠幫助其形成良好的解題習(xí)慣。同時教師也可以讓學(xué)生通過思維導(dǎo)圖的方式，將這些解題習(xí)慣進行有效記錄，以正余弦定理為關(guān)鍵詞，幫助學(xué)生梳理解三角形題時能夠應(yīng)用到的技巧，將以上摘抄內(nèi)容進行串聯(lián)和梳理，幫助學(xué)生掌握面對不同題型時的解題順序和解題思路，簡化解題難度，幫助學(xué)生提高解題效率。

（三）解題模板的使用

為了能夠在有限的時間內(nèi)完成答題，那么掌握各種類型題的模板就非常重要了，解三角形題時同樣需要注意歸納萬能模板，如下題：

【引例】（2016·全國Ⅰ卷）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c。

（1）求C：

對于這道題的第一問，其規(guī)范解答應(yīng)當(dāng)是：

規(guī)范解答（1）由已知及正弦定理得

2cosC（sinA·cosB+sinB·cosA）=sinC，

1分 得分點①

即2cosC·sin（A+B）=sinC。3分，得分點②

因為A+B+C=π，A，B，C∈（0，π）

所以sin（A+B）=sinC>0，

所以2cosC=1，cosC=12，5分，得分點③

所以C=π36分，得分點④

由此可見，在解三角形題時，這一類題型的解題思路就應(yīng)當(dāng)是先利用正弦定理或余弦定理，將已知關(guān)于邊和角的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一模式角或邊的關(guān)系式;再利用三角恒等變換對關(guān)系式進行簡化;最后完成求解，這種思路能夠套用在所有不同的類型題上，只要掌握就能夠極大提高解題效率。在面對高考的巨大壓力下，很多學(xué)生會忙中出錯，影響正常的答題時間，而通過利用解題模板的方式能夠讓學(xué)生的解題思路更加清晰，面對不同類型題時，能夠有效分析出正確的解題思路，并通過模板的套用來幫助學(xué)生快速完成答題。這種技巧在考試時具有非常重要的作用，既能夠緩和學(xué)生的緊張情緒又能夠節(jié)約答題時間，為其他大題創(chuàng)造更加充裕的答題環(huán)境。

四、 結(jié)束語

綜上所述，為了能夠提高解三角形的效率和準確性，就需要教師注重解題方法的教學(xué)，學(xué)生要學(xué)會總結(jié)歸納，掌握口訣和各種模板，在簡化解題思路的過程中，提高效率，節(jié)省時間。同時，最為重要的是讓學(xué)生清晰的認知解三角形題的重要性，另外還需要通過相應(yīng)的問題糾錯，來幫助學(xué)生梳理自身答題時遇到的思維誤區(qū)和知識盲點，通過這種模式讓學(xué)生切實掌握解三角形的各種要素，優(yōu)化解題準確率和效率。

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作者簡介：張晨曦，福建省南平市，福建省順昌縣順昌一中。