對(duì)“平面與平面平行的判定”的教學(xué)設(shè)計(jì)反思及改進(jìn)

孫秀玲

【摘要】筆者近期在進(jìn)行“平面與平面平行的判定”的課題備課過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，大部分老師在公開(kāi)課或者教案設(shè)計(jì)的時(shí)候?qū)τ谂卸ǘɡ淼囊龃嬖谝恍┘?xì)節(jié)的疏漏或者說(shuō)缺少必要的解釋。本文通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行梳理反思，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)給出了相關(guān)建議，供一線老師教學(xué)參考。

【關(guān)鍵詞】“平面與平面平行的判定”? 教學(xué)設(shè)計(jì)? 反思? 改進(jìn)

【中圖分類號(hào)】G42 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2020）11-0219-02

一、問(wèn)題提出

“平面與平面平行的判定”是高中人教版必修2第二章第二節(jié)的內(nèi)容，筆者在觀看公開(kāi)課視頻及查閱相關(guān)教案后發(fā)現(xiàn)，部分老師對(duì)于如何從“平面A內(nèi)的2條平行直線分別平行平面B”的題設(shè)巧妙過(guò)渡到“平面A內(nèi)的2條相交直線分別平行平面B”的題設(shè)這一細(xì)節(jié)并未做詳細(xì)推敲或者缺少必要解釋，如果從學(xué)生的認(rèn)知思維出發(fā)，肯定會(huì)問(wèn)“A平面內(nèi)的2條平行直線與B平面平行”不滿足要求，那A平面的3條直線，4條直線或者無(wú)數(shù)條甚至到所有直線都與平面B平行，是否滿足判定定理呢？那作為老師，應(yīng)該在課前就對(duì)此處的細(xì)節(jié)考慮周全，以便使學(xué)生更好地接受。另外在進(jìn)行問(wèn)題探究的過(guò)程中，當(dāng)提出“A平面內(nèi)的1條或者2條平行直線與B平面平行”的時(shí)候，直接利用長(zhǎng)方體或者正方體模型來(lái)觀察，能否用其他實(shí)物來(lái)演示？或者讓學(xué)生實(shí)際操作探究得出問(wèn)題的正確性？當(dāng)提出“A平面內(nèi)的2條相交直線與B平面平行”的時(shí)候不少老師直接借用正方體或者長(zhǎng)方體模型，這樣可能會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)到長(zhǎng)方體或者正方體是否太特殊了點(diǎn)，能否用其他方法來(lái)證明呢？

二、教案分析

【教材分析】

（1）“兩個(gè)平面平行的判定定理”是在學(xué)習(xí)了空間直線的位置關(guān)系（包括公理4）、直線與平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，對(duì)平行關(guān)系而言是對(duì)線線平行、線面平行以及面面平行三種位置關(guān)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行系統(tǒng)建構(gòu)的時(shí)機(jī)。

（2）面面平行的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)是研究平面與平面之間的度量關(guān)系的轉(zhuǎn)化依據(jù)（兩個(gè)平行平面之間的距離可以轉(zhuǎn)化為線線距、點(diǎn)線距;面面角可以通過(guò)面面平行的性質(zhì)進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化）。

【教學(xué)目標(biāo)分析】

（1）理解平面與平面平行的判定定理。

（2）運(yùn)用平面與平面平行的判定定理進(jìn)行證明，體會(huì)面面平行向線面平行轉(zhuǎn)化的思想。

重點(diǎn)是目標(biāo)（1）、（2）;難點(diǎn)是目標(biāo)（1）。

【學(xué)情分析】

（1）知道面面平行的概念。

（2）掌握線面平行的判定。

（3）運(yùn)用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言描述定理的基本技能。

【教學(xué)過(guò)程摘錄片段】

摘取2個(gè)案例片段，實(shí)際感受教師的教學(xué)，對(duì)問(wèn)題的提出進(jìn)一步明朗。

【課堂片段1，師1探究過(guò)程】

問(wèn)題1：如何判定2個(gè)平面平行？能用定義判定嗎？

問(wèn)題2：已知兩個(gè)平面α，β，若？堝l？奐α，l//β，則α//β？

問(wèn)題3：已知兩個(gè)平面α，β，若？堝l1，l2？奐α， l1//β， l2//β，則α//β？

問(wèn)題4：已知兩個(gè)平面α，β，若？堝l1，l2？奐α，l1與l2相交， l1//β， l2//β，則α//β？

【說(shuō)明】對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生都說(shuō)不能，因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限伸展的，對(duì)于問(wèn)題2和問(wèn)題3，學(xué)生通過(guò)操作，確認(rèn)也是錯(cuò)誤的，并舉出了反例。但師1直接在問(wèn)題3后將平行改為相交，來(lái)得有些突然，對(duì)于中低層次的學(xué)生來(lái)講，可能會(huì)受思維定勢(shì)的影響，會(huì)認(rèn)為2條直線不行，那3條甚至無(wú)數(shù)條呢？另外還有一種特殊的情況就是A平面的任何一條直線都與B平面平行，這個(gè)也能判定2平面平行，所以師1在此處的處理欠妥。

【課堂片段2，師2探究過(guò)程】

師：下圖中兩個(gè)平面平行嗎？為什么？你是怎么知道的？

生：平行，因?yàn)樗麄儧](méi)有交點(diǎn)，直接看出來(lái)的。

師：平面是無(wú)限延伸的，怎么看到無(wú)窮遠(yuǎn)處呢？下面我們分組討論，如何找到平面與平面平行的條件;得出結(jié)論后由小組代表發(fā)言。

生1：作一條直線l，l 垂直α，l 垂直β，則α//β。

師：這個(gè)方法很實(shí)用，建筑工人蓋樓時(shí)，確定每層樓與地面平行用的就是這種方法。

生2：如果兩個(gè)平面α， β沒(méi)有公共點(diǎn)，那么α內(nèi)任何一條直線l與β都沒(méi)有公共點(diǎn)。所以，如果α內(nèi)任何一條直線l與β都沒(méi)有公共點(diǎn)，那么α//β。

師：你怎么才能做到任何一條呢？α內(nèi)一條行不行？α內(nèi)2條行不行？無(wú)數(shù)條呢？

【說(shuō)明】師2利用反證法在正方體中找到反例，比較順理成章引出定理，但同于上述師1，對(duì)于平面A內(nèi)所有直線都平行與平面B這個(gè)特殊情況未加闡述，容易誤導(dǎo)學(xué)生，使得他們會(huì)誤認(rèn)為這種情況也是錯(cuò)誤的。

三、教案反思及改進(jìn)

通過(guò)上述2個(gè)教學(xué)片段，及筆者自身在準(zhǔn)備試講的過(guò)程中體會(huì)到，教師在進(jìn)行教學(xué)準(zhǔn)備需要先進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)，從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā)，讓每個(gè)環(huán)節(jié)能順利銜接，如將上述2個(gè)片段融合起來(lái)，將問(wèn)題串的設(shè)定從易到難且全面，不漏掉每個(gè)環(huán)節(jié)，則學(xué)生能更好地接受和掌握新知識(shí);在得出判定定理之后再通過(guò)變式訓(xùn)練進(jìn)行鞏固。以下是重新編制的教學(xué)案例片段：

1.復(fù)習(xí)回顧

復(fù)習(xí)1：直線與平面平行的判定方法？

復(fù)習(xí)2：兩個(gè)平面的位置關(guān)系？

通過(guò)實(shí)際生活中的例子展示平面與平面的位置關(guān)系，緊接著問(wèn)題3：如何來(lái)判定平面平行？同學(xué)們回憶下平面與平面平行的定義，得出的結(jié)論就是：不可能把其中一個(gè)平面內(nèi)所有直線都取出逐一證明其平行另一平面，引發(fā)學(xué)生思考。

2.合作探究，得出定理

判定下面2個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：平面α內(nèi)有一條直線a平行平面β，則α∥β嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

問(wèn)題2：平面α內(nèi)有兩條直線a，b平行平面β，則α∥β嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

問(wèn)題3：平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線a，b平行平面β，則α∥β嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

問(wèn)題4：平面α內(nèi)所有直線都平行平面β，則α∥β嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

問(wèn)題5：要證所有直線，不太可行，直線與直線間還有個(gè)位置關(guān)系，那就是相交，那如果平面α內(nèi)有2條相交直線a，b平行平面β，則α∥β嗎？請(qǐng)先直觀感受下。

問(wèn)題6：動(dòng)手實(shí)操，借用三角板或者書的擺放來(lái)看如何讓三角板或者書所在的平面平行于桌面？

問(wèn)題7：如果用反證法來(lái)看下如何證明？

假設(shè)平面α&β不平行，則平面α&β心相交，

不妨平面α∩β=L，

直線a//α

直線a？奐β，b？奐βα∩β=L？圯a//L

同理，b//L，從而a//b，

這與a∩b=P矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，

平面直線α//β。

最后借用正方體模型驗(yàn)證得出判定定理。

3.變式訓(xùn)練，加強(qiáng)鞏固。

參考文獻(xiàn)：

[1]余建國(guó).“平面與平面平行的判定定理”的教學(xué)反思[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2016（1-2）.

[2]余其華.證還是不證？《平面與平面平行的判定》教學(xué)設(shè)計(jì)談起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2018（01）.

[3]李偉.基于學(xué)習(xí)分類理論的數(shù)學(xué)規(guī)則課設(shè)計(jì)——以“平面與平面平行的判定”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2015（1-2）.

[4]徐琴.高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)的幾點(diǎn)思考——以“平面與平面平行的判定定理”為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（06）.