習題講評應注重思維的提升

沈俊

[摘? 要] 無論是數學教學還是復習迎考，習題講評在高中數學教學中都處于十分重要的位置，它是知識技能的綜合，它是知識水平的升華，它是解題能力的體現，它是思維能力的展現. 文章詳細記述了多個例題的解析過程，教師從思維過程的暴露、多元表征的重視、解題方法的歸納等三個方面入手，發展學生的思維品質.

[關鍵詞] 高中數學;習題講評;思維品質;提升

習題講評是高中數學課堂教學中的重要組成部分，習題的有效講評成為教育工作的重心，可以充分激發學習的積極性，有助于學生思維能力的提升.基于數學核心素養的數學教學，不僅是模仿和記憶，更需要的是思維和感悟，數學思維能力作為核心素養中首屈一指的素養，是數學教學的本源需要，是問題解決的需要. 因此，在習題講評時教師需將思維的提升置于首位.那么如何解決這一難題呢？筆者通過本文進行了方法的探究和思考.

暴露思維突破思維障礙

在數學習題講評中，教師需強調學生的主體意識，同時發展學生的探究精神，讓學生充分暴露自身原有的思維過程，這樣一來，對于思維障礙的突破會起到出其不意的效果.當然，習題講評中思維暴露的方法多種多樣，如可以通過診斷性題目的講解，或是引導學生對典型錯誤的討論，讓學生在表達和探討中充分暴露思維過程，達到突破思維障礙的目的，也在一定程度上可以有效防止消極思維定式的形成.

例1：已知二次函數f（x）=ax2-4x+c的值域為[0，+∞），那么+的最小值為________.

這是一道得分率較高的填空題，全班做錯的學生寥寥無幾，在試卷講評的過程中，筆者請學生講解一下自己的解題思路，而結果卻出乎意料，盡管學生都可以解出正確答案，而解題思路卻是漏洞百出.以下為一名學生的解題過程：

因為二次函數f（x）=ax2-4x+c的值域為[0，+∞），則有f（x）≥0，所以Δ=16-4ac≤0，則ac≥4.

所以+≥+=+=.

因為ac≥4，所以a2+c2≥2ac≥8，a+c≥2≥4，所以≥=，故最小值為.

通過學生解題過程的展示，可以發現以下兩處錯誤：

（1）f（x）的值域為[0，+∞），有Δ=16-4ac≤0. 此處不難看出，這是典型的思維定式下給出的解答，當學生看到f（x）≥0就想當然地認為需遵循f（x）≥0恒成立，從而運用“二次不等式恒成立”這一知識點來解答，致使這樣的錯誤出現.當將此錯誤指出的時候，該學生滿是驚訝，想必已經被此思維定式造成的錯誤困擾多時.本題中f（x）的值域為[0，+∞），則可以轉化為f（x）的最小值=0，即ac=4.

（2）從ac≥4，a2+c2≥8，a+c≥4，可得≥，此處是源于不等式性質的應用錯誤導致的.而很明顯，這一錯誤的根源在于學生在解答到這一步的時候突然找不到突破口，于是乎就將數字直接代入，反正填空題也僅僅是呈現結果而已，對過程并無要求.

還有其他錯誤嗎？從其他學生的答案中才知道，還有一些學生得出ac=4之后，居然將a=c=2直接代入并求出結果，問及這樣解答的原因時，學生都不知所措.

以下為本題的正確解題過程：

因為f（x）=ax2-4x+c的值域為[0，+∞），所以a>0，所以=0，即ac=4. 所以+=+==-.

因為ac=4，a>0，所以c>0，a+c≥2≥4，從函數y=-在[4，+∞）上單調遞增，可得-≥，故最小值為.

教學經驗豐富的教師在進行習題講評時，會鼓勵學生去講解和點評，在暢談思路中將其真實思維過程盡數展示，從而便于思維障礙的有效突破.而很明顯，以上案例中也正是通過思維過程的暴露，才最大限度地將學生的隱形錯誤挖掘出來，消除了思維障礙的延續.

多元表征優化動態思維

在解題教學中，若解題思路僅僅局限于單一型的思維模式，便無法培養學生的創造力. 多元表征對學生解題思路的形成具有極其重要的影響，它是學生解決問題的基石，也是解決問題中的信息儲存與加工的有效表現. 多元表征可以有效拉長學生解決問題的思維長度，可以激活學生已有的知識體系，形成多種解題思路. 因此，在解題教學中，教師應充分誘發學生觀察、發現、分析和聯想，從而尋求多種途徑解決同一問題的思路，并通過比較和歸納最終提煉出最優解法，發散學生的思維，優化學生的解題思路.

例2：設x，y∈R，證明：+>.

方法1：變形原不等式. 可以先將不等式左邊視為動點P（x，y）與定點A（8，3），B（2，-5）的距離和，而后去求AB的距離，再根據“三角形的三邊關系”即可得證.

方法2：溝通方法1，不難聯想到橢圓的定義，設橢圓的半長軸為a，且A，B為兩焦點，令+=2a，而2c=10，但有2a>2c，從而必定大于，得證.

方法3：聯想“向量模的形式”，則可以想到用向量不等式進行求證. 令a=（x-8，y-3），b=（x-2，y+5），則有a+b>a-b=10>，得證.

本案例中，引領學生去觀察、去思考、去聯想，從而在全方位和深層次的思考中，打開了學生的思路，在最廣闊的解題范圍內應用幾何不等式、橢圓和向量的相關知識進行解題. 通過以上三種不同的解題方法，充分展現了多變的解題思路，更具體呈現了數學思維的靈活性.讓學生在思考的過程中，在對問題的辨析中，在不同解法的不斷轉換中，增強了思維的參與程度，提高了解題能力，使思維品質得到有效培養.

方法歸納提升思維品質

高中時期學生的學習科目眾多，學生獲取知識的途徑較為單一，題海戰術是高中教師實施解題教學的“慣用伎倆”，而在這個過程中，學生僅僅是圍繞教師思維打轉，無法形成自己的數學思考，甚至于不少學生會陷入一個誤區，認定教師的解題思路就是最優方法，學生數學思考能力缺失. 因此，這就要求廣大數學教師在學生的解題過程中，不僅僅是引導學生學會解題，還需引導學生去感悟和提煉解題過程中隱含的數學思想方法，學會去歸納、總結和提煉，讓學生在習得數學知識技能的同時，獲得數學思想方法，從而使學生能力的提升水到渠成.

例3：已知方程2sin2x-cosx-a=0有實根，試求出參數a的取值范圍.

思路探究：學生經過思考，不少學生令t=cosx，從而將原方程轉化為2t2+t+a-2=0，且t∈[-1，1]，則可以將原題轉化為方程2t2+t+a-2=0在[-1，1]內至少有一個實根，試求出a的取值范圍.

解法1：從t=，可得-1≤≤1或-1≤≤1，可得-1≤a≤.

此解法的關鍵在于三角方程向代數方程的轉化.利用方程的根與范圍，改造不等式，結合解不等式，終于獲得突破，從而彰顯了轉化思想.而后，筆者適時追問：“還有其他解法嗎？”學生躍躍欲試，最后達成共識，將原方程轉換為函數，并在自主探究中形成了多種解法的精彩場面.

解法2：將原題轉化為函數問題：求函數a=-2t2-t+2，t∈[-1，1]的值域，經過思考不難得出結果-1≤a≤.

該思路借助分離參數轉化原題為求函數值域問題，很快奏效，進一步明確了方程與函數的關系.

解法3：將原題轉化為：直線y=a與拋物線y=-2t2-t+2，t∈[-1，1]相交，試求出a的取值范圍. 利用數形結合，又獲得一解，得出結果-1≤a≤.

解法4：設將原題轉化為：函數f（x）=2x2+x+a-2在[-1，1]內與x軸有交點，試求出a的取值范圍. 結合函數圖像，得出f（x）min≤0，f（1）≥0，解得-1≤a≤.

“數”上構“形”，讓知識具體化和形象化，解決“數”的問題. 數形結合思想有效結合數學問題中的數量關系與幾何圖形，使“數”與“形”各展其長，架起邏輯思維和形象思維之間的橋梁，從而順利、有效地解決問題.

此案例中借助一題多解，引領學生多方位、多角度進行思維活動，潛移默化中實現了數學思想方法的靈活運用，從而有效提高了學生的思維品質.

總之，數學是培養思維的科學，學生思維品質的靈活性、廣闊性、深刻性等都需通過分析和解決問題表現出來. 當然，在習題講評中培養學生的思維品質不是一蹴而就的，只有讓數學思維始終浸潤在習題講評過程中，學生才能充分體會到數學本質，才能感覺到數學是富有魅力的，才能促進學生的數學思考，從而達到真正提升學生思維水平的目的.