反證法的魅力

張青霞

【摘 要】反證法既是數學學習中常用的方法，又是日常生活中人們分析問題的一種常見方法。它不僅在數學文化的殿堂里大放光芒，也在古今中外的歷史中留下不少充滿智慧哲理的故事。而且反證法的故事也是數學源于生活，用于生活的典例，所以反證法中的的魅力更蘊含著數學之美。現在就讓我們在研究反證法的過程中體會數學之美。

【關鍵詞】反證法;故事;假設;證明;結論

數學命題的證明分直接證法和間接證法兩種。在間接證法中，最常見的是反證法。反證法歷史悠久，在中外歷史中都存在很多關于反證法的有趣的故事，人們在運用和了解反證法中都可以看到其中的魅力，其中的邏輯與推理中的美麗更是一種數學的魅力。讓我們一起了解反證法，在了解反證法的過程中體會數學之美。

一、反證法的概念

反證法是從反面的角度思考問題的證明方法，屬于“間接證明”的一類，即肯定題設而否定結論，從而導出矛盾，推理而得。

反證法是數學中常用的間接證明方法之一。反證法的邏輯基礎是形式邏輯基本規律中的排中律。通常反證法是在待證命題正面難以入手而從待證命題的結論的反面入手進行正確推理，推出矛盾，從而得出原結論的反面不真，由此肯定原結論為真。假設命題的否定成立，即在“已知條件”和“命題的否定”這個新條件下，通過邏輯推理，得出與公理﹑定理、題設、臨時假定相矛盾的結論或自相矛盾，從而斷定命題判斷的反面不成立，即證明了命題的結論一定是正確的，當命題由已知不易直接證明時，改證它的逆命題的證明方法叫反證法。

二、反證法步驟

1.反設：假設所要證明的結論不成立，而設結論的反面成立;

2.歸謬：由“反設”出發，以通過正確的推理，導出矛盾——與已知條件﹑已知的公理﹑定理﹑定義﹑反設及明顯的事實矛盾或自相矛盾;

3.結論：因為推理正確，產生矛盾的原因在于“反設”的謬誤，既然結論的反面不成立，從而肯定了結論成立。

三、反證法的使用

反證法在數學中經常運用。當論題從正面不容易或不能得到證明時，就需要運用反證法，此即所謂"正難則反"。

牛頓曾經說過：“反證法是數學家最精當的武器之一”。一般來講，反證法常用來證明正面證明有困難，情況多或復雜，而逆否命題則比較淺顯的題目，問題可能解決得十分干脆。

反證法的證題可以簡要的概括為“否定→得出矛盾→否定”。即從否定結論開始，得出矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是辯證的“否定之否定”。應用反證法的是：

欲證“若P則Q”為真命題，從相反結論出發，得出矛盾，從而原命題為真命題。

反證法的主要使用方法就是先從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，然后通過合理有效的邏輯推理過程，使之得到與已知條件、公理、定理或者已經被證明為正確的命題等相矛盾，這時就可以說假設是錯誤的，從而利用排中律推出原命題成立。

四、數學中的反證法

1.證明：素數有無數個。

這個古老的命題最初是由古希臘數學家歐幾里德（Euclid of Alexandria），生活在亞歷山大城，約前330～約前275，是古希臘最享有盛名的數學家）在他的不朽著作《幾何原本》里給出的一個反證法：

證：假設素數只有有限個，設為q1，q2，...qn，考慮p=q1q2...qn+1。顯然，p不能被q1，q2，...qn整除。故存在兩種情況：p為素數，或p有除q1，q2，...qn以外的其它素因子。無論何種情況，都說明素數不止有限個。假設錯誤，所以素數有無窮多個。

2.證明：兩條直線如果有公共點，最多只有一個。

證：假設這兩條直線a，b有兩個公共點A，B，

那么A，B既在直線a上，也在直線b上，

因為過兩點可確定一條直線，

所以直線a，直線b重合，這與題設矛盾。

因此假設不成立， 原命題正確。

五、生活中的反證法

故事一：三個古希臘哲學家，由于爭論和天氣炎熱感到疲倦了，于是在花園里的一棵大樹下躺下來休息一會，結果都睡著了。這時一個愛開玩笑的人用炭涂黑了他們的前額。三個人醒來以后，彼此看了看，都笑了起來。但這并沒引起他們之中任何一個人的擔心，因為每個人都以為是其他兩人在互相取笑。這時其中有一個突然不笑了，因為他發覺自己的前額也被涂黑了。那么他是怎樣覺察到的呢？你能想出來嗎？

答案：為了方便，用甲、乙、丙分別代表三個科學家，不妨設甲已經認為自己的臉沒被涂黑，如果我的臉沒被涂黑，那么乙能看到（當然對于丙也是一樣），乙既然看到了我的臉沒被涂黑，同時他又認為他的臉也沒被涂黑。那么乙就應該對丙的發笑而感到奇怪。因為在這種情況下（甲、乙的臉都是干凈的），丙是沒有可笑的理由了。然而現在的事實是乙對丙的發笑并不感到奇怪，可見乙是在認為丙在取笑我。由此可知，我的臉也被涂黑了。”

這里應著重指出的是，甲并沒有直接看到自己的臉是否被涂黑了，他是根據乙、丙兩人的表情進行分析和思考，從而說明了自己的臉被涂黑了。簡單地說，甲是通過說明是：“被涂黑了”的反面-----“沒被涂黑”是錯誤的，從而覺察到自己的臉被涂黑了，這是一種間接的證明方法。顯然這種證明方法應該是不可缺少的。

故事二：諸葛亮的“空城計”與反證法。

三國時期，蜀國丞相諸葛亮屯兵陽平時，派大將魏延領兵去攻打魏國，只留下少數老弱軍士守城，不料魏國大都督司馬懿率大隊兵馬殺來，靠幾個老弱軍士出城應戰，無異以卵擊石，怎么辦？諸葛亮冷靜思考之后，決定打開城門，讓老弱軍士在城門口灑掃道路，自己則登上城樓，擺好香案，端坐彈琴，態度從容，琴聲幽雅，司馬懿見此情景，心中疑慮：“諸葛亮一生精明過人，謹慎有余，從不冒險，今天如此這般，城內恐怕必有伏兵，故意誘我入城，絕不能中計也。”于是急令退兵。這就是家喻戶曉的“空城計”。

結論：諸葛亮從問題（守住城）的反面（不守城）考慮，解決了用正面方法（用少數老弱軍士去拼殺）很難或無法解決的問題。

故事三：男方某風水先生看風水，恰逢天降大雪，乃做一歪詩：“天公下雪不下雨，雪到地上變成雨;早知雪要變成雨，何不當初就下雨。”他的歪詩又恰被一牧童聽到，亦做一打油詩諷刺風水先生：“先生吃飯不吃屎，飯到肚里變成屎;早知吃飯變成屎，何不當初就吃屎。”

實際上，小牧童正是巧妙地運用了反證法，駁斥了風水先生否定事物普遍運動的規律，只強調結果，不要變化過程的形而上學的錯誤觀點。假設風水先生說的是真理，只強調變化最后的結果，不要變化過程也可以，那么根據他的邏輯，即可得出風水先生當初就應吃屎的荒唐結論。風水先生當然不會承認這個事實了，顯然他說的就是謬論了。

這就是反證法的威力，一個原本非常復雜的哲學問題被牧童運用了“以其人之道，還治其人之身”的反證法迎刃而解了。

六、結論

反證法不僅是一種解決問題的思路，更是蘊含一種獨特的思維方式。在數學學習與日常生活的問題分析中反證法都可以發揮巨大的作用，而其中蘊含的獨特的思維方式，更是能改變一個人的一生。反證法在數學、哲學、生活等方面都發揮著巨大的作用并散發著其獨特的魅力。反證法獨特的邏輯推理過程與思路體現著數學的獨特魅力，值得我們用一生去追尋探索。

【參考文獻】

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[2]趙雄輝.《證明的方法》[M].湖南：湖南人民出版社.2001：85-92

[3]徐加生，紀健.《淺談用反證法證題的常見題型》[J].江蘇：數學通報.2007，第46卷。