數(shù)學(xué)建模何以引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地

杜美英

[摘? 要] 數(shù)學(xué)建模的過程，是一個(gè)綜合性非常強(qiáng)的過程. 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等并列陳述，但在數(shù)學(xué)建模的過程中，數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的過程都是實(shí)際存在的，只有經(jīng)過了充分的思維過程，以及進(jìn)行高效的推理與抽象，一個(gè)真正科學(xué)有用的數(shù)學(xué)模型，才有可能建立出來. 欲使其發(fā)揮促進(jìn)其他組成要素落地的作用，必須分析數(shù)學(xué)建模與其他要素之間的具體關(guān)系. 數(shù)學(xué)建模是核心素養(yǎng)背景下教師教育科研的重要載體.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素中，數(shù)學(xué)建模可能是一線教師印象當(dāng)中較為深刻的一個(gè)要素. 相對于其他五個(gè)要素而言，數(shù)學(xué)建模因其綜合性及實(shí)用性，更多地受到教師和學(xué)生的喜歡，同時(shí)數(shù)學(xué)建模又因?yàn)槠淠芰ε囵B(yǎng)的過程難度相對較大，因而在實(shí)際教學(xué)的水平體現(xiàn)上，顯得又不是那么理想. 在這樣的矛盾當(dāng)中，如何用數(shù)學(xué)建模去引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地，這個(gè)問題值得每一個(gè)高中數(shù)學(xué)教師思考.

之所以認(rèn)為數(shù)學(xué)建模可以引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地，是因?yàn)閿?shù)學(xué)建模的過程，本身就是一個(gè)綜合性非常強(qiáng)的過程，雖然說數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等并列陳述，但在數(shù)學(xué)建模的過程中，數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的過程都是實(shí)際存在的，只有經(jīng)過了充分的思維過程，只有進(jìn)行高效的推理與抽象，一個(gè)真正科學(xué)有用的數(shù)學(xué)模型，才有可能建立出來. 所以從這個(gè)角度來講，數(shù)學(xué)建模對于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地來說，確實(shí)有著明顯的促進(jìn)作用.

實(shí)際上，數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理等要素，在數(shù)學(xué)教學(xué)中一直是受到重視的，但將它們綜合到核心素養(yǎng)的體系中，并組成了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之后，數(shù)學(xué)建模的作用又顯得更加不平凡. 本文就以“指數(shù)函數(shù)”為例，談?wù)劰P者對利用數(shù)學(xué)建模促進(jìn)整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的淺顯思考.

作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素的數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模就是基于實(shí)際問題解決的需要而建立數(shù)學(xué)模型的過程，其關(guān)鍵在于去除與事物本質(zhì)無關(guān)的內(nèi)容，留下與問題解決相關(guān)的關(guān)鍵要素，且可以用數(shù)學(xué)語言去描述、用數(shù)學(xué)思維去解決. 在核心素養(yǎng)的視角下，數(shù)學(xué)建模被理解為對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，進(jìn)而用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法建構(gòu)模型、用數(shù)學(xué)知識解決問題的素養(yǎng)，是學(xué)生高中階段必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的. 高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.”其中，更是強(qiáng)化了數(shù)學(xué)建模思想的核心地位，并以主題的形式要求學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模活動.

作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素之一，欲使其發(fā)揮促進(jìn)其他組成要素落地的作用，首先要分析數(shù)學(xué)建模與其他要素之間的具體關(guān)系. 這樣的一個(gè)關(guān)系理解，顯然需要結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識教學(xué)過程來進(jìn)行.

以“指數(shù)函數(shù)”的教學(xué)為例，當(dāng)學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識到函數(shù)可以作為模型來解決問題時(shí)，需要幫學(xué)生認(rèn)識到指數(shù)函數(shù)可以用來解決哪些類型的問題，也就是說要讓指數(shù)函數(shù)成為解決某一類問題的模型. 這就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程，那么在這個(gè)過程中，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的其他要素是如何體現(xiàn)的呢？從數(shù)學(xué)知識發(fā)生的角度來看，指數(shù)函數(shù)概念的建立需要在一定的情境中發(fā)生，常用的情境有細(xì)胞分裂等，如1個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)，2個(gè)細(xì)胞分裂成4個(gè)……那么分裂以后，細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與細(xì)胞分裂次數(shù)x之間的關(guān)系，就是y=2x. 在這個(gè)過程當(dāng)中，將生活中具體的實(shí)例變成數(shù)學(xué)研究對象，顯然是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象的過程;根據(jù)細(xì)胞分裂的情形描述，分析出其中的規(guī)律，進(jìn)而得出函數(shù)解析式，這是一個(gè)邏輯推理的過程，也是一個(gè)數(shù)據(jù)分析的過程;所得到的函數(shù)解析式，就是指數(shù)函數(shù)的最初雛形，也就是模型的雛形;這個(gè)過程當(dāng)中，由于涉及具體的數(shù)據(jù)，因而也與數(shù)學(xué)運(yùn)算有關(guān);至于直觀想象，可能這里面沒有明確的直觀圖形，但是學(xué)生基于細(xì)胞分裂的規(guī)律，直覺性地判斷出兩者之間是一個(gè)指數(shù)關(guān)系，這種思維與直觀想象其實(shí)也有著一定的關(guān)系.

通過這樣的分析可以發(fā)現(xiàn)，以數(shù)學(xué)建模可以帶動數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)其他要素的發(fā)生.

作為促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的數(shù)學(xué)建模

促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地，有一個(gè)重要的前提就是教師要站在學(xué)生的角度去認(rèn)識問題. 因?yàn)楹诵乃仞B(yǎng)是指向?qū)W生的，是學(xué)生通過學(xué)習(xí)之后應(yīng)當(dāng)獲得的素養(yǎng). 同樣，數(shù)學(xué)建模本身也是學(xué)生在教師的引導(dǎo)之下，通過一系列的思維活動建立數(shù)學(xué)模型的過程，因此理解作為促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)建模，也需要站在學(xué)生的角度進(jìn)行. 當(dāng)然，此過程中教師的指導(dǎo)發(fā)揮著重要的作用. 有同行認(rèn)為，重視高中數(shù)學(xué)建模思維的引領(lǐng)，有利于學(xué)生有效積累數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模意識和數(shù)學(xué)建模能力的發(fā)展，提高解決實(shí)際問題能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

事實(shí)也確實(shí)如此，從上面所舉的指數(shù)函數(shù)的案例可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素當(dāng)中，其實(shí)起著一定的承上啟下的作用，又或者說起著一種概括作用，當(dāng)然也可以認(rèn)為其起著引導(dǎo)作用. 無論以什么樣的語言來描述數(shù)學(xué)建模在核心素養(yǎng)落地中的作用，有一點(diǎn)是可以肯定的，那就是數(shù)學(xué)建模的過程，也是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)其他要素得以落地的過程.

回到數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)上，一般認(rèn)為數(shù)學(xué)建模是思維的過程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生思維的對象是包括數(shù)學(xué)概念、符號等在內(nèi)的對象，這些對象在師生的課堂交流中，充當(dāng)著數(shù)學(xué)模型的每一個(gè)細(xì)胞與血液，因此重視數(shù)學(xué)建模，就不能忽視學(xué)生在課堂上與教師之間的互動，尤其是語言的互動，即對話. 課堂對話作為班級授課制的自然產(chǎn)物，如果在教師本著核心素養(yǎng)培育的需要之下設(shè)計(jì)，則可以以其“內(nèi)在的張力”促進(jìn)學(xué)生知識建構(gòu)與核心素養(yǎng)形成. 所謂“內(nèi)在的張力”，是指師生在對話過程中表現(xiàn)出來的思維碰撞，是教師基于學(xué)生思維而進(jìn)行的有效引導(dǎo)，其對學(xué)生建立、完善數(shù)學(xué)模型有極大的幫助.

比如在上面的例子中，基于細(xì)胞分裂的生活情境，通過對細(xì)胞個(gè)數(shù)與細(xì)胞分裂次數(shù)之間關(guān)系的探究，得出兩者之間存在著的指數(shù)變化關(guān)系. 當(dāng)用解析式y(tǒng)=2x表示這種關(guān)系時(shí)，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系跟以前所學(xué)過的函數(shù)形式并不相同，函數(shù)的變量出現(xiàn)在指數(shù)上，所以指數(shù)函數(shù)的概念可以說是應(yīng)運(yùn)而生. 加上上面所分析的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的其他五個(gè)要素的同時(shí)落地，數(shù)學(xué)建模在核心素養(yǎng)落地的過程中所起的作用不言而喻.

作為教師教育科學(xué)研究載體的數(shù)學(xué)建模

核心素養(yǎng)是指向?qū)W生成長要求的，教師在學(xué)生核心素養(yǎng)培育的過程中，發(fā)揮著無可替代的引導(dǎo)作用，這種引導(dǎo)作用是面向?qū)W生的，而對引導(dǎo)作用的研究則是數(shù)學(xué)教師掌握所教給學(xué)生的知識、理解學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，進(jìn)而促進(jìn)自身的專業(yè)成長的重要推動力. 所以從這個(gè)角度來講，數(shù)學(xué)建模還是核心素養(yǎng)背景下教師教育科研的重要載體.

筆者在研究數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)如何落地的過程中，思考過一個(gè)重要的問題，那就是選擇什么樣的切入口. 經(jīng)過仔細(xì)斟酌之后，筆者發(fā)現(xiàn)就以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素作為切入口是比較妥當(dāng)?shù)模劣诹鶄€(gè)要素中選擇哪一個(gè)，關(guān)鍵在于對這些要素進(jìn)行深入的分析，并判斷其在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中起著什么樣的作用. 筆者的觀點(diǎn)是：數(shù)學(xué)建模所起的概括作用，是其他要素所無法替代的，因而才考慮以數(shù)學(xué)建模作為突破口，來讓自己對核心素養(yǎng)的研究有一個(gè)重要的抓手. 事實(shí)也證明這樣的選擇是正確的，在對數(shù)學(xué)建模進(jìn)行研究的過程中，筆者既認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本成分，同時(shí)也認(rèn)識到，對于數(shù)學(xué)建模這樣一個(gè)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著傳統(tǒng)研究的對象而言，將數(shù)學(xué)建模的傳統(tǒng)理解，與核心素養(yǎng)培育的需要結(jié)合起來，數(shù)學(xué)建模也就尋找到了一個(gè)重要的生長土壤，在傳統(tǒng)研究中形成的有益的認(rèn)識，在這樣的土壤中依然可以茁壯生長. 而數(shù)學(xué)教師在研究的過程中，同樣可以以數(shù)學(xué)建模這個(gè)點(diǎn)，帶動數(shù)學(xué)教學(xué)研究這個(gè)面.

其實(shí)對于數(shù)學(xué)建模的理解可以拓寬視角，如果將每一個(gè)數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律都是做一種數(shù)學(xué)模型，那么在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，就有著大量的數(shù)學(xué)建模的教學(xué)契機(jī). 當(dāng)然需要指出的是，不是每個(gè)數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律都需要通過數(shù)學(xué)建模的思路去實(shí)施教學(xué)，選擇一些重要的概念，通過數(shù)學(xué)建模的思路實(shí)施教學(xué)，往往可以讓學(xué)生形成更為深刻的印象. 比如上面所舉的指數(shù)函數(shù)的例子，這是在其他函數(shù)概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過新的情境引導(dǎo)學(xué)生發(fā)生了新的思考，于是新的解析式與對應(yīng)的函數(shù)認(rèn)識就形成了，學(xué)生對此的印象非常深刻;而在學(xué)習(xí)過程中所運(yùn)用到的其他核心素養(yǎng)要素，使得整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地成為可能.