高中數(shù)學(xué)教學(xué)中建模思想應(yīng)用的研究

韓光志

[摘? 要] 在核心素養(yǎng)背景下，對數(shù)學(xué)建模的理解，一是要重視其技術(shù)性，二是要重視其思想性. 數(shù)學(xué)建模思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位，主要是相對于教師和學(xué)生而言的：對于教師而言，數(shù)學(xué)建模思想可以成為教學(xué)理念理解、教學(xué)設(shè)計(jì)方法、課堂教學(xué)實(shí)施的智慧源泉. 而對于學(xué)生而言，領(lǐng)悟的數(shù)學(xué)建模思想，就可以讓自己擺脫煩瑣的機(jī)械訓(xùn)練，真正掌握學(xué)好數(shù)學(xué)的方法;體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程，就是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模思想的過程，學(xué)生的體驗(yàn)過程越高效，所領(lǐng)悟的數(shù)學(xué)建模思想也就越深刻;通過實(shí)踐加反思，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的能力就會越來越強(qiáng)，數(shù)學(xué)建模的思想也會越來越清晰，當(dāng)學(xué)生領(lǐng)會了數(shù)學(xué)建模的思想之后，數(shù)學(xué)建模就能真正地落地生根了.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);建模思想;建模思想應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)界對數(shù)學(xué)建模的重視，有著悠久的歷史. 在此前很長一段時間里，數(shù)學(xué)建模都被當(dāng)成了一個重要的對象，納入了高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的視野，在高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提出之后，數(shù)學(xué)建模也不出意外地成了其六個組成要素之一. 在核心素養(yǎng)背景下，對數(shù)學(xué)建模的理解，一是要重視其技術(shù)性，也就是掌握數(shù)學(xué)建模的基本模式，能夠在課堂上進(jìn)行實(shí)際的操作;二是要重視其思想性，也就是要掌握數(shù)學(xué)建模的思想，真正讓數(shù)學(xué)建模思想成為數(shù)學(xué)建模操作的源頭活水. 本著這樣的思考，筆者在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對建模思想的應(yīng)用進(jìn)行了研究，取得了非常重要的認(rèn)識.

建模思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位

很多高中數(shù)學(xué)教師都知道建模思想非常重要，但卻很少有人從歷史的角度去研究數(shù)學(xué)建模思想. 而且有同行直言不諱地指出：數(shù)學(xué)建模在中學(xué)受到格外重視，不僅是因?yàn)槠湮涣行抡n標(biāo)六大核心素養(yǎng)之一，也因?yàn)榻處煂θ绾闻囵B(yǎng)這項(xiàng)素養(yǎng)缺乏經(jīng)驗(yàn). 客觀來講，這是一個事實(shí)，而筆者的研究也就是從弄清數(shù)學(xué)建模思想及其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位開始的.

早在2006年，復(fù)旦大學(xué)的李大潛教授就對數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行了深入的研究，他從對數(shù)學(xué)這門學(xué)科的看法和認(rèn)識開始，概括了社會上對數(shù)學(xué)的一些基本認(rèn)識，即數(shù)學(xué)是一種語言、一個工具、一個基礎(chǔ)、一門科學(xué)、一門技術(shù)、一種文化. 進(jìn)一步研究則發(fā)現(xiàn)，在古代東西方對數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識并不相同，古希臘以掌握數(shù)學(xué)知識為榮，而封建社會懂得數(shù)學(xué)的只能視之為一個能工巧匠. 隨著新中國的建立以及改革開放的推進(jìn)，數(shù)學(xué)學(xué)科已經(jīng)成為中國大地上一顆耀眼的新星……這里之所以引用李大潛教授的研究成果，一個很重要的原因就是對數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識，影響著對數(shù)學(xué)建模思想的認(rèn)識. 因?yàn)橐粋€很直接的問題就是：數(shù)學(xué)學(xué)科如此重要，應(yīng)當(dāng)怎樣讓學(xué)生更好更快地學(xué)好數(shù)學(xué)呢？回答這個問題，就必須洞悉數(shù)學(xué)建模的思想.

很顯然對于高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，建模思想的地位是重要的，無論是隱性的理解還是顯性的操作，數(shù)學(xué)建模思想都將在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中起著非常重要的作用：在高中數(shù)學(xué)課堂中滲透建模思想，以建模實(shí)例來豐富并建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系，拓展實(shí)際應(yīng)用，有利于學(xué)生建構(gòu)縝密的數(shù)學(xué)思維，加深教材知識與實(shí)際生活的聯(lián)系，能夠以數(shù)學(xué)眼光來分析問題.

而從教學(xué)的角度來看，數(shù)學(xué)建模思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位，主要是相對于教師和學(xué)生而言的：對于教師而言，數(shù)學(xué)建模思想可以成為教學(xué)理念理解、教學(xué)設(shè)計(jì)方法、課堂教學(xué)實(shí)施的智慧源泉，可以讓教師的教學(xué)更加高效，并且更加接近數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì);而對于學(xué)生而言，領(lǐng)悟的數(shù)學(xué)建模思想，就可以讓自己擺脫煩瑣的機(jī)械訓(xùn)練，真正掌握學(xué)好數(shù)學(xué)的方法.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必須重視數(shù)學(xué)建模

強(qiáng)調(diào)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必須重視數(shù)學(xué)建模，看起來好像是多余的，但是這樣理論上的正確性與實(shí)際教學(xué)中的現(xiàn)狀進(jìn)行比較，就會發(fā)現(xiàn)這樣的強(qiáng)調(diào)在今天的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中依然必要. 這是因?yàn)閼?yīng)試導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，已經(jīng)讓數(shù)學(xué)建模這一重要思想在實(shí)際課堂上若現(xiàn)若隱，學(xué)生的大量精力仍然在刷題上，這是新時代背景下、核心素養(yǎng)培育的背景下，應(yīng)當(dāng)高度重視的問題.

眾所周知，模型是人們?yōu)榱四撤N特定目的而對認(rèn)識對象所做的一種簡化的概括性的描述. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過建構(gòu)模型可以使函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線、三角函數(shù)等一系列問題簡易化.這種做法對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力和思維能力也有幫助. 而重視數(shù)學(xué)建模應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)在具體的教學(xué)過程中！

以“冪函數(shù)”為例，幫學(xué)生建立內(nèi)函數(shù)概念的過程，可以有效地滲透數(shù)學(xué)建模的思想，具體的教學(xué)設(shè)計(jì)可以是這樣的：

首先，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生通過邏輯推理與猜想，形成關(guān)于冪函數(shù)的基本認(rèn)識.

情境的素材可以來自學(xué)生的生活，例如，給出學(xué)生一種商品的價(jià)格與需求之間的關(guān)系（如表1）：

如果將商品的價(jià)格記作x，將需求量記作y，那么通過分析表格中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，y與x之間的關(guān)系是y=114.82x-0.38（這個關(guān)系的發(fā)現(xiàn)可以借助于現(xiàn)代教學(xué)手段，通過圖像生成器等去引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)）.

發(fā)現(xiàn)了這個關(guān)系之后，就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生去將這個函數(shù)與此前學(xué)過的指數(shù)函數(shù)進(jìn)行比較，從而發(fā)現(xiàn)形式雖然類似，但關(guān)鍵的變量所處的位置并不相同. 這個比較既可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)面前是一個新的函數(shù)，同時又可以讓學(xué)生基于此前學(xué)過的指數(shù)函數(shù)，在下一個教學(xué)環(huán)節(jié)去為冪函數(shù)下定義.

其次，用數(shù)學(xué)語言描述發(fā)現(xiàn)的冪函數(shù)關(guān)系，形成關(guān)于冪函數(shù)的準(zhǔn)確理解.

在上面的教學(xué)環(huán)節(jié)中，一旦學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)，那么下一步教學(xué)的工作就是讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來描述自己的發(fā)現(xiàn). 實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，通過比較，學(xué)生一般能夠得出“一般的，將形如y=xa這樣的函數(shù)稱為冪函數(shù)”這樣的表述. 但是要注意的是，此時學(xué)生對這樣的表述還只是一種模糊的認(rèn)識，要將這樣的描述真正轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，還需要進(jìn)入下一個教學(xué)環(huán)節(jié).

再次，引導(dǎo)學(xué)生比較y=114.82x-0.38與實(shí)例的關(guān)系，弄清這個函數(shù)是如何描述實(shí)際例子中的需求量與價(jià)格的關(guān)系. 這里有一個細(xì)節(jié)，那就是部分學(xué)生對價(jià)格與需求量之間的關(guān)系可能缺乏切身體會，教師必須讓學(xué)生弄懂這個關(guān)系，這樣他們才能將函數(shù)與這個實(shí)例更好地對接起來;而一旦對接成功，就意味著形象的事例中兩個因素之間的關(guān)系，就可以用冪函數(shù)來進(jìn)行描述，于是一個實(shí)際問題就變成了數(shù)學(xué)問題，而這正是數(shù)學(xué)建模的價(jià)值所在（當(dāng)然很多時候數(shù)學(xué)建模是建立在數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)之上的，兩者都是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要因素，這里不再贅述）.

通過以上三個環(huán)節(jié)，學(xué)生既建立了冪函數(shù)的概念，同時也體驗(yàn)了冪函數(shù)模型建立的過程，尤其是當(dāng)學(xué)生認(rèn)識到冪函數(shù)可以用來描述實(shí)際生活中的具體實(shí)例時，冪函數(shù)作為模型也就有了立根的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的地位

從上面的分析可以看出，面向高中學(xué)生培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)建模能力，關(guān)鍵在于讓他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程. 高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域中數(shù)學(xué)模型的理解是豐富的，達(dá)到一個問題解決的思路，小到一個數(shù)學(xué)概念的建立，其中都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)建模思想. 對于學(xué)生而言，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程，就是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模思想的過程，學(xué)生的體驗(yàn)過程越高效，所領(lǐng)悟的數(shù)學(xué)建模思想也就越深刻.

如同文章一開頭所說的，今天的高中數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)進(jìn)入了核心素養(yǎng)培育的時代，作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中所形成的認(rèn)識以及思維，對其他學(xué)科的學(xué)習(xí)，對學(xué)生的生活都有著重要的影響. 就以數(shù)學(xué)建模為例，形成了顯著的數(shù)學(xué)建模意識，那在其他的學(xué)科學(xué)習(xí)中，學(xué)生就會有尋求學(xué)習(xí)規(guī)律的意識. 在生活中遇到問題需要解決時，也會下意識地對問題進(jìn)行分析與抽象，以尋找更為高效的問題解決方法，這些實(shí)際上都是數(shù)學(xué)建模思想的體現(xiàn).

在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個要素中，數(shù)學(xué)建模位列數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理之后，具有一定的承上啟下的意義. 而在著名數(shù)學(xué)教育專家史寧中教授看來，數(shù)學(xué)建模更是學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看事物的重要體現(xiàn)，從這個角度來講，無論如何強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的地位都不為過.

總的來說，數(shù)學(xué)建模在知識經(jīng)濟(jì)時代的作用不可小覷. 數(shù)學(xué)模型是一種用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實(shí)際問題的過程，因此對于培養(yǎng)學(xué)生多方面的創(chuàng)造性能力具有很強(qiáng)的可操作性和挑戰(zhàn)性，并能有效地激發(fā)學(xué)生對實(shí)際問題的探索興趣. 提煉數(shù)學(xué)建模過程中形成的思想及其認(rèn)識，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過程體驗(yàn)中，逐步形成屬于自己的數(shù)學(xué)建模思想認(rèn)識，這是高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的一個重要方向. 明確了這個方向，那么日常高中數(shù)學(xué)教學(xué)的很多理解都要進(jìn)行優(yōu)化，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)設(shè)計(jì)的時候，腦子里要有“如何讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模過程”的意識，在課堂教學(xué)之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生去反思“一個數(shù)學(xué)模型是怎樣被建立起來的？”如此通過實(shí)踐加反思，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的能力就會越來越強(qiáng)，數(shù)學(xué)建模的思想也會越來越清晰，而當(dāng)學(xué)生領(lǐng)會了數(shù)學(xué)建模的思想之后，數(shù)學(xué)建模就真正地落地生根了.