類比思想在高中數學教學中的應用

寇宗娣

【內容摘要】為了找到“火星上是否有生命”的正確答案，有科學家將地球與火星進行類比，發現火星的某些特征與地球很相似，如二者都是繞太陽而轉；二者都存在大氣層；二者都會遭遇季節的更迭，此外，大多數時間下的火星溫度都適宜讓地球上的某些已知生物進行生存……由此，科學家猜想：火星上也可能有生命存在。科學家做出上述猜想的推理過程就是類比推理。這種由兩類對象具有某些相似或相同的屬性事實出發，引入另一類同樣具備這些特征的對象的推理就叫作類似推理，或簡稱為類比。類比推理的過程則可理解為：由特殊到特殊，由此及彼的過程。

【關鍵詞】類比思想 高中數學 教學應用

類比作為一種重要的思維方法和推理方法，在數學發展的歷史長河中占有舉足輕重的地位，數學家波利亞（GeorgePolya）認為，類比對數學學習具有重要指導意義，求解立體幾何問題同樣有賴于平面幾何中的類比問題。筆者認為在數學課堂教學中，我們必須認真審視和對待它。

在這里，筆者為大家展示一個基于“類比平面幾何結論，探索立體幾何性質”的假設。

如圖所示：對平面直角三角形的勾股定理作類比，從而得出空間四面體性質的假設。

這道題的類比對象為？其分別具備怎樣的特征？直角三角形內邊長的關系為？在空間四面體內做類比可從哪一角度入手？

學生1：由于直角三角形兩條邊垂直（相互），因此，這里可選擇三個面兩兩垂直的四面體，以此為直角三角形的類比對象。

學生2：在直角三角形中，有AC2+BC2=AB2；直角三角形中的C點對應四面體中的D點。

在四面體中有：PD2+ED2+FD2=PE2+EF2+PF2

學生3：他的結論不正確，根據邊長之間的關系可以知道結論是錯誤的。

學生4：猜想在四面體中有以下結論：S2=S21+S22+S23

教師：很好！這個結論正確嗎？可找一個特例先驗證一下.

學生5：我選取DP=DE=DP=1，驗證結論成立.

教師：這就增大了結論成立的可能性.但驗證代替不了證明，類比結果的正確的還須嚴格證明。

師生共同分析：與直角三角形ABC相對應的是四面體P-DEF，與直角三角形ABC的直角邊長相對應的，是四面體的面DEF，面FPD，面DPE的面積S1，S2，S3與直角三角形ABC的斜邊長相對應的是四面體的面PEF的面積S。我們用長度度量線段，當然用面積度量面的大小。

在高中數學教學中類比思想也應用在很多模塊中，比如等差數列與等比數列的學習、三類圓錐曲線的學習、圓與球體之間的性質對比，基本初等函數中的三類基本函數的學習，平面向量與空間向量之間的公式類比，處處滲透著類比的思想。

等差數列與等比數列是數列中的基本知識，它們之間有許多相似的地方，我們在講授等比數列的性質時，大多數老師都用的是類比法。讓學生根據學習等差數列的方法，類比得到等比數列的性質，更能促進學生對知識的理解與掌握。例如：通項公式和前n項和公式的函數性，等差中項與等比中項的性質應用。

總之，對于每一位數學老師來說，培養學生的核心素養是一項長期而艱巨的任務，類比教學，類比學習都是很好地讓學生通過探索，掌握其規律的方法，從而達到舉一反三的目的。所以我們必須要具備研究經驗的積累，通過合情推理完成課堂教學。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].人民教育出版社，2018.

[2]張乃達.數學思維教育學[M].南京：江蘇教育出版社，1990.

（作者單位：甘肅省白銀市第一中學）