淺談線性代數課程一題多解對學生數學思維培養的重要性

吳宇

摘 要：線性代數課程已經成為理工科學校大學生最有用和最有趣的數學課程之一。線性代數課程教學應當結合實際問題數學模型的解決方案，注重對學生數學思維的培養。本文通過對線性方程組進行一題多解的解析，闡述了數學思維在教學中的作用，使學生從多角度加深了對數學抽象概念的理解，重新感受了數學的無窮魅力，進而提高了學生學習線性代數的興趣。

關鍵詞：線性代數;數學模型;一題多解;數學思維

DOI：10.12249/j.issn.1005-4669.2020.27.306

1 前言

線性代數[1，2]是高等學校理工科專業學生必修的一門數學基礎課程，是學習后續課程的重要工具。隨著“互聯網+”、人工智能（AI）等科學技術突飛猛進的發展，線性代數已滲透到經濟、金融、信息、社會等各個領域，成為在校大學生最有用和最有趣的數學課程之一。線性代數課程理論深邃、概念繁雜抽象、晦澀難懂且知識點又彼此相互聯系。因此，本文將從學生熟知線性方程組，通過一題多解入手，使學生加深了對線性代數抽象概念的理解，并且對學生數學思維得到良好的拓寬和培養，從而使他們提高了學習線性代數的興趣并終生受益。

2 一題多解是培養數學思維的有效途徑

數學模型? ?求解線性方程組

以上數學模型是典型的三元一次非齊次線性方程組求解問題，根據對實際問題和數學問題研究的需要，我們需要考慮以下幾個問題：

1）線性方程組是否有解？有解時，有多少個解？

2）線性方程組的解不唯一時，解得結構如何？

3）如何求線性方程組的解？

4）采用哪種算法能夠快捷、方便、有效的求解該數學模型？

面對問題能學會思考、體會、聯想、感悟等情感思維，將數學的思維轉化為發現問題、分析問題、解決問題等能力時，數學科學的真諦才真正得以體現。

下面通過對數學模型一題多解的解析思路，讓學生感受到數學思維方式的熏陶，日積月累，對學生數學思維的養成有顯著的提高。

（這里Dj（j=1，2，3）是把系數行列式D的第j列的元素替換為方程組（1.1）的常數項所得到的3階行列式）

顯然，用克拉默求解線性方程組計算量大且有諸多條件限制。例如，當系數行列式D=0時或方程組中方程的個數與未知量的個數不相等時，克拉默法則失效等。

解題思路2? ? 逆矩陣法

由矩陣乘法的定義，可將線性方程組（1.1）寫成矩陣方程式：

其中為系數矩陣，為未知數矩陣，

為常數項矩陣。

因|A|=3≠0，故A可逆，于是，即

得到矩陣方程（1.2）的解為。

上述利用逆矩陣方法求解線性方程組，也要檢驗求解的題目是否滿足制約條件，且計算量大，因此該方法并不具有一般性和推廣性。

解題思路3? ? 高斯（Gauss）—約當（Jrodan）算法

該算法其實質就利用初等行變換求解線性方程組，這種算法更具有普遍性和推廣性。其具體的做法是先運用矩陣的初等行變換將

增廣矩陣[a，b]階梯陣[J，β]，然后利用系數矩陣的

秩R（A）與增廣陣的秩R（A，b）二者之間的關系判斷出線性方程組解的情況，如果方程組有解，繼續將階梯陣[J，β]行最簡形陣

最后將最簡形陣對應的線性方程組中的主變量用自由未知量線性表示，即得矩陣方程（1.2）的通解。因此我們有：

即得

解題思路4? 數學模型的MATLAB實現及其直觀印象

MATLAB[3]主要用于數值計算，計算速度十分快捷。以數學模型（1.1）為載體，以計算機為工具，以數學軟件MATLAB為平臺，以學生為主體，由學生自己動手、動腦去“玩”計算機，去理解數學中的抽象概念和結論，在實踐中培養學生用數學的思維解決實際問題有很大的幫助。

其MATLAB程序如下：

clear;

A=[1 -1 -1;2 -1 -3;3 2 -5];

b=[2;1;0];

X=A＼b

輸出結果：

X=

5.0000

-0.0000

3.0000

然后，采用圖形的方法求解，具體用MATLAB做出問題模型的曲線圖，得到一個直觀的印象，如圖1所示。

其MATLAB程序如下：

clear;

[x，y]=meshgrid（0：0.1：5）;

z1=x-y-2;

z2=（2*x-y-1）./3;

z3=（3*x+2*y）./5;

mesh（x，y，z1）

hold on

mesh（x，y，z2）

hold on

mesh（x，y，z3）

顯而易見，MATLAB數學軟件、線性代數理論的有機結合并應用于解決實際問題之中，簡單、快速、便捷、高效，優勢凸顯，對培養大學生的計算和數學思維能力的培養十分必要。

3 結束語

針對以上數學模型，本文運用四種方法進行了分析、求解、對比，既讓學生掌握了線性代數這門課的基礎知識和基本方法，又培養了他們學會用數學的思維與方法去解決實際問題，從而得出經驗，并根據經驗歸納出合適的的解決問題的思路、辦法，這就是數學思維，是學習數學真正的用意。

參考文獻

[1]同濟大學數學系編.工程數學線性代數[第六版][M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]丘維聲.高等代數[第二版][M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]卓金武，李必文等.MATLAB在數學建模中的應用[第二版][M].北京：北京航空航天大學出版社，2014.