探討高中數學拋物線的解題方法與技巧

趙冬梅

摘 要：數學作為一門重要學科，其中的拋物線知識在高考中占據較大比例，尤其是拋物線問題，其可以與其他數學知識進行充分結合，形成難度較大的綜合題，如果一部分學生基礎不夠扎實，就不會解決這類題型。所以針對高中數學拋物線中相關的解題方法與技巧進行分析。

關鍵詞：高中數學;拋物線;解題方法;具體技巧

拋物線的定義與性質，有關坐標軸交點、方向與幾何結合的問題，一直是高考中的重難點，也是出錯率比較高的一部分數學教學內容。為了使這部分課程教學取得更好的效果，本文重點對數學拋物線解題方法與技巧進行研究，據此展開討論。解題方法的掌握是提升學生數學成績的基礎，我們在教學過程中要予以重視。

一、定義

若拋物線存在一個頂點，命名為F，且隨之形成的定直線就被稱為拋物線的準線，而點到準線之間的距離，則被稱為焦準距。用字母p來進行表示，其中p>0。

拋物線既可以用參數進行表示，又可以以標準方程的形式呈現，這種呈現性質是由圓錐面以及其平行于某條母線的平面相截取得到。在相應條件下，拋物線本身也可以看作是二次函數的圖象。

二、常見參數

拋物線的標準方程：

向右開口的方程表示為：y2=2px（p>0）;向左開口的方程表示為：y2=2px（p<0）;向上開口的方程表示為：y2=（p>0）;向下開口的方程表示為：y2=（p<0）。在二次函數中，公式的表示方法如下：y=ax2+bx+c（a不等于0）。

若a>0，則開口方向向上;若a<0，則開口方向向下。當a的絕對值逐漸增大時，那么二次函數圖象的橫縱坐標數值也就越大，而圖象與y軸之間的夾角也就越小;當a的絕對值逐漸減小時，則其相應的函數圖象的橫縱坐標數值也就越小，而圖象與y軸之間的夾角也就越大。

函數圖象與x軸之間的交點情況，取決于Δ=b2-4ac的取值，若b2-4ac>0，則表達式y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點個數為2個，若b2-4ac=0，則表達式y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點數為1個，若b2-4ac<0，則表達式y=ax2+bx+c的圖象與x軸不存在任何交點。

二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸x=-，a>0且b>0時或者a<0且b<0時，圖象對稱軸在原點左邊，a>0且b<0時或者a<0或者b>0時，圖象對稱軸在原點右邊。我們也可以用“左同右異”的口訣來幫助學生進行識記。

三、解題方法與技巧

例題1：存在動點M到F（8，0）的距離較之它到直線x+10=0的距離短2，求M點的運動軌跡方程式。

通過對題目的閱讀和理解，可將動點M的坐標設為（x，y），由此可知，動點M到F（8，0）的距離可以由解得，由題目中的等量關系，我們可以分析出=x+10-2，通過化簡法，我們可以將題目中的距離不等看作是距離相等，那么由拋物線的定義就可以求出方程。

解題過程：

前面已經設動點M的坐標為（x，y），按照題意可知，點M軌跡是F（8，0），是交點，因為=8，>0，所以p=16，又因為焦點F（8，0）在x軸正半軸上，所以綜上所述，點M的軌跡方程為y2=32x.

解題經驗和審題思維是學生在學習高中數學的過程中最需要具備的技能，學生既要充分掌握拋物線中的各項知識點，又要審好題目，對癥下藥進行解題。

例題2：如下圖所示，總面積18的等腰直角△OAB的三條邊中，其中一條直角邊OA在x軸上，二次函數：y=ax2+bx+c（a不等于0）的圖象分別經過了原點、A點以及位于斜邊OB上的終點M，根據以上條件需要求出該二次函數的具體解析方程式以及對稱軸，應怎么解答。

解題過程：

因為S△OAB=18且△OAB為等腰直角三角形，所以OA=OB=6，又因為M是斜邊OB的中點，因此，點A的坐標可以表示為（6，0），點M可以表示為（3，3）。

設y=ax2+bx+c（a不等于0）

得36a+6b+c=09a+3b+c=0c=0

解得

因此，該函數解析式可以表示為y=-x2+2x。

而對稱軸則可用如下方程式來表示x=-=3。

分析：我們可以從上述求解過程中看出以下思路，其將拋物線與幾何性質進行結合，難度并不是很高，學生只需要對相關知識內容有所理解就可以輕松解得結果，但是這一類題型也可以進一步展開。

如下題：根據上圖所示，觀察分析坐標軸上是否存在P點，滿足ΔPMA中PA與PM相等的條件。如果存在，則求出P點的值，如不存在，則說明原因所在。

展開后，題目難度就有所加大，這時也需要學生對題目條件進行全面審查，否則在大題中如果出現條件遺漏就等于做無用功，解不出正確答案，所寫內容也不得分。對于這一類型的題目，知己知彼才能有勝算，否則寧愿放棄。如果這類題型不能做到全部正確，基本等于在考場上浪費時間。

四、結語

由此可見，從數學課程教學的角度上來說，運用適當的方法是教學取得效果的關鍵因素。只有在正確的方法指導下，學生才能獲得正確的結果，才會在成績上體現出數學學習上的效果。

參考文獻：

郭可欣.探討高中數學拋物線的解題方法與技巧[J].課程教育研究，2017（11）：147-148.

編輯 馮志強