指向直觀想象的教學(xué)設(shè)計(jì)

羅成芳

摘 要：本文是以培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科直觀想象核心素養(yǎng)為目標(biāo)，以探討一元二次方程根的分布為載體進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。利用方程與函數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想，解決根的分布問題。首先，教師引導(dǎo)，建立數(shù)與形的關(guān)系，滲透直觀想象素養(yǎng);然后，問題深究，巧用直觀想象解決問題;最后，問題變式，落實(shí)直觀想象素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：直觀想象;一元二次方程;根的分布;教學(xué)設(shè)計(jì)

1教學(xué)內(nèi)容及其解析

1.1 內(nèi)容

一元二次方程的根分布在一個(gè)區(qū)間、兩個(gè)區(qū)間的問題

1.2 地位和作用

本節(jié)是人教A版必修一《3.1函數(shù)與方程》之后的一個(gè)專題內(nèi)容，一元二次方程根的分布問題是高中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容。它與二次函數(shù)，以及一元二次不等式（必修五第三章）聯(lián)系密切。本節(jié)課是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程的思想、零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，它是研究函數(shù)與方程的重要載體，而其中用到的思想方法為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)做鋪墊。

1.3 思想方法

在討論根的分布問題用到了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸思想

1.4 核心素養(yǎng)

直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算

1.5 教學(xué)重點(diǎn)

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是利用函數(shù)圖象求解有關(guān)一元二次方程根的分布問題。難點(diǎn)：函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合思想、直觀想象核心素養(yǎng)的滲透。

2教學(xué)目標(biāo)解析

2.1 目標(biāo)

掌握一元二次方程根的分布問題，會(huì)根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，能夠解決一些簡(jiǎn)單的不等式。

2.2 目標(biāo)解析

正確劃分一元二次方程根的分布問題，即分布在同一區(qū)間還是不同區(qū)間。在方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題過程中體會(huì)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想。

3教學(xué)問題診斷分析

3.1 教學(xué)的第一個(gè)問題可能是在例1思考過程中在想不到利用函數(shù)與方程間的關(guān)系，將根的分布問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與軸的交點(diǎn)問題。

問題解決方案：適當(dāng)?shù)奶嵝褜W(xué)生我們可不可以畫出圖形，接著問畫出誰(shuí)的圖形，然而將方程與函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與軸的交點(diǎn)問題。

3.2 教學(xué)的第二個(gè)問題可能是當(dāng)根分布在兩個(gè)區(qū)間時(shí)，學(xué)生會(huì)類比寫出約束條件。

問題解決方案：首先鼓勵(lì)學(xué)生要大膽猜想，提示能否根據(jù)二次函數(shù)的特點(diǎn)及零點(diǎn)存在定理只需利用區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)就可以確定函數(shù)是有兩不同的實(shí)數(shù)根。

3.3 教學(xué)的第三個(gè)問題可能是學(xué)生無(wú)法準(zhǔn)確總結(jié)出一般結(jié)論。

問題解決方案：帶動(dòng)學(xué)生去分析、猜想、歸納。根據(jù)他們寫出的結(jié)論，要進(jìn)行一一的分析，保證思維的嚴(yán)密性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

4教學(xué)過程設(shè)計(jì)

4.1復(fù)習(xí)回顧：

方程（1）有兩個(gè)不同實(shí)根 （2）有相等的實(shí)根 （3）沒有實(shí)根

求的取值范圍。

設(shè)計(jì)意圖：回顧舊知，利用判別式來(lái)判斷二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有無(wú)根的情況，為下一步討論在給定區(qū)間（范圍縮小）有根做鋪墊。

4.2 創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課

問題1：若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)根呢？

設(shè)計(jì)意圖：在給定區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，只能用初中所學(xué)習(xí)的求根公式，把方程的兩根用表示出來(lái)，限定在區(qū)間上，轉(zhuǎn)化為求解不等式的問題。

問題2：有沒有更好的處理方法？

設(shè)計(jì)意圖：由于還沒系統(tǒng)的學(xué)習(xí)解不等式，在解不等式組時(shí)會(huì)出現(xiàn)不好解的情況，激發(fā)學(xué)生研究該問題的興趣。需要另辟蹊徑，直接切入研究的課題----二次方程根的分布問題。

4.2.1 教師引導(dǎo)，建立數(shù)與形的關(guān)系，滲透直觀想象素養(yǎng)

一元二次方程的根及相應(yīng)的二次函數(shù) 的圖象與 軸交點(diǎn)的有如下關(guān)系：

設(shè)計(jì)意圖：已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)零點(diǎn)的相關(guān)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)方程與函數(shù)的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，將二次方程根的分布問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)零點(diǎn)的問題，培養(yǎng)直觀想象能力。

問題1：方程的根等價(jià)于函數(shù)的零點(diǎn)，所以研究二次方程的根可以轉(zhuǎn)化為研究二次函數(shù)的零點(diǎn)。此問題轉(zhuǎn)化為，在區(qū)間上與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么如何保證二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)呢，決定二次函數(shù)圖象的因素有哪些呢？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)零點(diǎn)研究方程根的分布，畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖像，考慮影響二次函數(shù)圖象的因素。開口方向，判別式，對(duì)稱軸位置，與y軸交點(diǎn)。從形的角度解決問題，進(jìn)一步培養(yǎng)直觀想象能力。

其一：保證方程有根

問題2：我們發(fā)現(xiàn)開口向上且過定點(diǎn)，僅僅是不可以的，所以還要要求對(duì)稱軸怎么樣呢？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生畫圖解決問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想，增加條件。其二：對(duì)稱軸往區(qū)間中間移動(dòng)。

問題3：對(duì)稱軸限定在區(qū)間上，但是如何保證函數(shù)與軸的交點(diǎn)恰好落在區(qū)間上呢？

設(shè)計(jì)意圖：提醒學(xué)生前面的兩個(gè)條件是不夠的，還需要加條件約束，即考慮區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)。培養(yǎng)邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

整理思路，書寫解題過程。

問題4：條件能夠得到方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)根嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生積極思考，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，從圖形直觀得到等價(jià)關(guān)系即列出的式子可以得到方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)根。

歸納總結(jié)，得到一般結(jié)論：

4.2.2 問題深究，巧用直觀想象解決問題

問題5：若區(qū)間改為呢？再改為呢？

設(shè)計(jì)意圖：將區(qū)間一個(gè)端點(diǎn)改為，讓學(xué)生們思考能否用前面總結(jié)的規(guī)律去做，找到區(qū)別與聯(lián)系。

例2.關(guān)于的方程的一根，另一根求的取值范圍。

問題6：還需要來(lái)鎖定有兩個(gè)根嗎？根據(jù)二次函數(shù)的特點(diǎn)及零點(diǎn)存在定理能否利用區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)鎖定？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過畫出函數(shù)的大致圖形，利用零點(diǎn)存在定理我們只需要通過區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)就可以鎖定，從而解出此題。

整理思路，書寫解題過程。

問題7：條件能夠得到方程兩根分別落在區(qū)間上嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生積極思考，利用二次函數(shù)的特點(diǎn)及零點(diǎn)存在定理、端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)就可以確定在題中所給定的兩個(gè)區(qū)間。

歸納總結(jié)，得到一般結(jié)論：

設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，總結(jié)規(guī)律。

4.2.3 問題變式，落實(shí)直觀想象素養(yǎng)

變式1.已知關(guān)于的方程的一根比小，另一根比1大，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

問題8：能否寫出方程的根在哪個(gè)區(qū)間？變式1與例2的區(qū)別在哪里？

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)題目的分析，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，明確此題是說(shuō)方程的兩根落在不同的區(qū)間，而區(qū)間的端點(diǎn)是，類比例2得出的一般結(jié)論來(lái)解出此題。

變式2.已知關(guān)于的方程的一根比1小，另一根比1大，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)兩根不在同一區(qū)間的理解，明確做題方法，鞏固知識(shí)。

4.3總結(jié)歸納，掌握規(guī)律，提升直觀想象核心素養(yǎng)

問題1：討論二次方程根的分布問題，我們需要考慮哪些因素？

問題2：本節(jié)討論問題的數(shù)學(xué)思想方法是什么，核心素養(yǎng)有哪些？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)，并對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，為今后的學(xué)習(xí)進(jìn)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

5.總結(jié)與反思

我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)： “數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休。”在數(shù)學(xué)的教與學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)重要的研究對(duì)象，它們聯(lián)系密切。本節(jié)課通過問題設(shè)疑、創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生利用方程與函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合解決了二次方程根的分布問題，感受圖形直觀，培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 人教A版《普道高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書-必修1》. [M]

[2] 指向?qū)W科核心素養(yǎng)的普通高中教學(xué)設(shè)計(jì)案例叢書.[ M] 杭州：浙江教育出版社.

[3] 馮祉璇，廖偉光，黃紹清，方強(qiáng). 數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用. 《教師教學(xué)能力發(fā)展研究》總課題組科研成果集 （第十五卷）

[4] 石麗敏. 指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的高中例題教學(xué)研究. [D] 福州：福建師范大學(xué).