在圖形與幾何學習中發展空間觀念的課例研究

摘 要：數學是研究數量關系和空間形式的科學。在小學數學教學中，教師對空間形式的研究主要集中在“圖形與幾何”這部分內容上。空間觀念是《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）提出的十大核心概念之一，是學生幾何思維發展的基礎。學生空間觀念的發展目標始終貫穿于“圖形與幾何”的教學過程，因此，在“圖形與幾何”教學中注重培養學生的空間觀念是至關重要的。

關鍵詞：空間觀念;小學數學;認識圓柱

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-9192（2021）34-0014-02

引? 言

筆者在小學高年級數學教學中發現，學生普遍缺乏空間觀念。由此，筆者產生了疑問：空間觀念看不見、摸不著，如何衡量學生空間觀念的發展水平？如何在“圖形與幾何”的教學中落實學生空間觀念的發展？筆者通過研讀《課程標準》，學習范希爾幾何思維水平理論，在“認識圓柱”的教學中進行了以下思考和實踐。

一、衡量空間觀念發展的理論依據——范希爾幾何思維水平理論

在對學生幾何概念形成的研究中，范希爾的幾何思維水平理論是最具影響力的理論之一。基于皮亞杰的認知發展階段論，范希爾夫婦指出，學生的幾何思維發展包含五個層次，分別是水平0——視覺、水平1——分析、水平2——非形式化演繹、水平3——形式化演繹、水平4——嚴密性。學生的幾何思維水平發展是循序漸進、逐步進階的。小學第一、第二學段學生的幾何思維發展主要集中于前三個水平。

基于該理論，筆者認為，在“認識圓柱”的學習中，學生空間觀念的發展主要分為三個層次。水平0——視覺：能夠從生活實物中或幾何圖形中分辨出圓柱，用“生活語言”片面描述圓柱的特征，這是學生在本節課中的學習起點。水平1——分析：了解圓柱各要素名稱及其特征，能用數學語言系統地描述圓柱的外部及內部特征。水平2——非形式化演繹：理解圓柱與平面圖形之間的聯系，這是本節課的學習難點。

二、發展空間觀念的教學策略——以“認識圓柱”為例

《課程標準》和小學數學教材中都沒有對空間觀念內涵的解釋，但《課程標準》中給出了學生是否具備空間觀念的具體表征：空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關系;描述圖形的運動和變化;依據語言的描述畫出圖形等。從《課程標準》的表述可以看出：學生發展空間觀念，需要從生活中的實際物體出發，經歷抽象、想象和表達的思維活動。

基于對《課程標準》的理解，筆者確定了“認識圓柱”一課的教學目標：結合觀察、比較、證明等操作，探索、驗證圓柱的基本特征;結合切、旋轉、平移等活動，探索在圓柱與平面圖形的變形轉換中相對應的關系;在探索活動中，積累圖形研究的經驗，發展空間觀念;在小組合作中能清晰地表達自己的想法，積累與他人合作交流的經驗。在此基礎上，筆者設計了以下教學活動。

活動一：基于原型，調動經驗，初步建立表征——喚醒水平0

《課程標準》指出，學習素材的選擇應在反映數學本質的前提下盡可能地貼近學生的現實，以利于他們經歷從現實情境中抽象出數學知識與方法的過程。基于這樣的思考，筆者在課前讓每位學生在生活中選擇1～2個圓柱形物體并記錄下它的特征。這樣的活動既調動了學生的已有經驗，又為觀察活動提供了豐富的原型素材。

活動二：經歷觀察，結合語言表達，歸納圖形外部和內部特征——達到水平1

1.在豐富的學習素材中求同存異，發現外部特征

觀察活動中的素材要豐富和直觀，貼近學生生活，能激發學生的探究欲望。學生在豐富的圓柱形物體素材中求同存異，結合對比、推理等，發現圓柱的外部特征，開展小組共同觀察的活動。

2.調動多感官參與觀察，與伙伴共同學習，發現內部特征

觀察是研究圖形的重要方法[1]。探索圖形特征的方法多樣且具有挑戰性，才能激發學生的學習動力，達到促進學生在方法、能力和情感價值方面獲得多重提升的目的。具體活動（見圖1）會促使學生在觀察過程中調動多感官參與，在與伙伴的合作學習中互相啟發，對圓柱特征認知實現“再創造”。

合作要求

1.成員依次介紹自己發現的圖形特征，記錄員負責記錄。

2.把討論結果歸類，簡潔描述。

3.匯報時注意說清楚是怎樣研究出這個特征的。

考慮到學生思維水平和接受、掌握知識的能力的不同，為了讓全體學生都能參與探究活動，筆者提供了“研究提示”（見圖2），指導學生結合多感官進行具體觀察，促使每位學生在原有基礎上都能得到發展。

研究提示

1.看、比：比較組內找到的物體，它們有什么相同和不同？

2.研究圓柱的高。（1）摸：手中圓柱的高在哪里？（2）量：有什么辦法能量出圓柱的高？（3）畫：在圖中畫出一條高。（4）說：簡潔描述什么是圓柱的高？

3.歸納抽象特征，以語言為載體發展空間觀念

在學生進行合作學習、討論前，筆者設計如下活動并提出要求（見圖3）。學生對圓柱的特征和圓柱的表征逐漸清晰，“歸類”“簡潔描述”“標一標”等要求促使他們用系統、簡潔的數學語言描述發現的圓柱的特征。語言是思維的外衣，不同的語言表達代表著學生不同的思維方式和思維水平。筆者將學生的結論分層展示，讓他們進行對比分析，產生思維碰撞，在交流中發展認知。

活動三：基于知識本質，設計操作活動，積累空間想象經驗——達到水平2

1.認清知識本質，設計適合學生的操作活動

圓柱有靜態定義和動態定義。以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫作圓柱。這是圓柱的動態定義。可見，圓柱的本質是旋轉體。在小學階段，教材對圓柱的概念只做靜態的描述，但學生在認識圓柱的過程中也有對動態定義的理解。例如，人教版小學數學教材中先出示生活中各式各樣的圓柱形物體，揭示“上面這些物體的形狀都是圓柱體，簡稱圓柱”，再研究圓柱的各部分組成及特征，緊接著通過“把一張長方形的硬紙貼在木棒上，快速轉動木棒，看看轉出來的是什么形狀”的活動體現圓柱的動態性。基于對圓柱本質的理解，筆者設計動態的操作活動，提供豐富的素材，創設兩個問題情境：圓柱里“藏著”哪些平面圖形？平面圖形能通過變形或者運動變成圓柱嗎？

2.想象在先為主，操作在后為輔，積累空間想象經驗

在課堂伊始，筆者以動態的旋轉門引出課題，為學生開啟想象活動提供經驗。“先想象再操作驗證”的要求促使學生發揮空間想象能力展開思考。但只有想象是不夠的，在操作中試誤、驗證才能幫助學生建立清晰表象，尋找對應關系，學會用數學的方法解決問題。

結? 語

綜上所述，小學數學教師要正確認識和理解《課程標準》中空間觀念的含義與對不同學段的要求，掌握學生空間觀念發展的各階段特征，結合具體的課程內容滲透空間觀念，梳理小學階段“圖形與幾何”領域中發展學生空間觀念的教學內容，引領學生經歷活動的過程，逐步發展其空間觀念。

[參考文獻]

[1]張莉.在“圖形與幾何”教學中發展學生空間觀念[J].求知導刊，2021（14）：141.

基金項目：本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2020年立項課題“深度學習視域下小學數學課時學習歷程案教學實踐研究”（項目編號：D/2020/02/71）的階段性成果。

作者簡介：薛舒引（1996.8-），女，江蘇鹽城人，二級教師。