以數學基本活動經驗促進數學核心素養培養

張紫薇 丁嘉欣 曾友良

[摘 要]從“四基”到“數學核心素養”是數學課程改革連續與遞進的過程，“四基”是“核心素養”的基礎，而“四基”中的“基本活動經驗”對培養學生的數學核心素養具有其獨特的促進作用。以數學基本活動經驗來培養數學核心素養，需要教師把握好兩者的關系，引導學生通過操作、探究、思考等活動積累經驗，形成數學核心素養。

[關鍵詞]數學基本活動經驗;數學核心素養; 數學課程改革

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）11-0041-04

一、問題提出的背景

主持《義務教育數學課程標準》修訂工作的東北師范大學校長史寧中教授于2007年4月14日，在寧波數學教育高級研修班上提出“希望能夠繼續保持促進學生理解數學的基本知識，訓練學生掌握數學的基本技能之外，還要啟發學生領會數學的基本思想，積累數學活動的基本經驗”。從“基本知識、基本技能”發展到“基礎知識、基本技能、基本活動經驗、基本思想”（簡稱“四基”），體現了素質教育研究的新進展、新趨勢。但直到今天，無論是在理論研究領域還是在中小學數學教學一線，許多教師對“數學基本活動經驗”的理解仍有諸多困惑，尤其是對如何在實際教學中幫助學生有效積累數學基本活動經驗缺乏正確的認識與措施。隨著課程改革的不斷深入，2016年9月，教育部頒布了《中國學生發展核心素養》，這標志著數學課程改革的核心任務是提升學生的數學核心素養。數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力及情感、態度與價值觀的綜合體現，主要包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。從“四基”到“數學核心素養”是數學課程改革連續與遞進的過程，“四基”是“核心素養”的基礎。而“四基”中的“基本活動經驗”又對培養學生的數學核心素養具有獨特的促進作用，因此可從“數學基本活動經驗”和“數學核心素養”的內涵與形成機制來展開探討。

二、數學基本活動經驗與數學核心素養的關系

（一）數學基本活動經驗的形成機制與定義

1989年，曹才翰與蔡金法教授在《數學教育學概論》中首次提到“數學基本活動經驗”并指出它是在數學知識的發生、發展和應用等過程中產生的。2001年頒布的《義務教育數學課程標準（實驗稿）》提出：取得與今后社會相適應的，在不斷發展過程中不可或缺的數學知識（包括數學事實和數學活動經驗）、數學思維模式及必要的數學應用技能。2007年，史寧中教授針對我國學生創新能力不足的情況提出應將“數學基本活動經驗”從“數學知識”中單獨分離出來。《義務教育數學課程標準（2011年版）》正式把 “基本活動經驗”納入課程標準，“雙基”發展為“四基”。

目前關于“數學基本活動經驗”的定義并沒有一個統一的界定，本文采用孔哲凡教授提出的數學基本活動經驗的定義：數學基本活動經驗（對于學生而言）是基于特定的數學教學目標，學生經歷與教學內容緊密相關的數學活動后，獲得的與數學活動有關的感受、體驗和感悟。此定義通俗易懂，以學生為主體，結合教學目標與教學內容，能很好地與數學課程標準的要求相融合。孔哲凡教授還認為學生自身在接受、反思等能力上存在差異性會對獲得的基本活動經驗的優劣、多寡產生影響。

本文主要圍繞小學生數學基本活動經驗的積累來討論。具體來說，小學數學基本活動經驗就是基于特定的課程教學目標，小學生作為活動的主體，通過觀察、操作、思考、探究等方式開展教學活動，所留下的個性化的直接或間接的感受、體驗和感悟。這些感受、體驗和感悟并不是以一個“原封不動”的狀態存在學生的認知結構里，而是以靈活的、隨時接納新經驗，從而建構新的個性化經驗的一種“周而復始”的形式存在著。

（二）數學核心素養的形成機制與定義

“核心素養”概念的提出并不是一蹴而就的，而是經歷了理論的思考和實踐的考量。1992年出臺的《初級中學數學教學大綱》中首次提及數學素養。但當時的教育界對核心素養的關注度不高，之后2001年版、2011年版的《義務教育數學課程標準》修訂中陸續提及數學素養，其中《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提及的十個核心概念可以說是六大核心素養形成的基礎之一。為了貫徹落實十八大精神，2014年6月教育部提出：研究制定學生發展核心素養體系和學業質量標準……，并將核心素養明確為：學生應具備的，能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。這一概念的提出既是當今義務教育課程改革的創新點，也是突破點，為課程改革的進一步深化指明了方向。

數學核心素養是核心素養在數學學習領域的具體化，關于這一名詞的解讀也是仁者見仁、智者見智。馬云鵬教授指出，《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的十個核心詞，實際上就是數學學科的核心素養。這十個核心詞的提出也為核心素養的提煉奠定了基礎。2016年9月發布的《中國學生發展核心素養》中提出了六大核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析。與十個核心詞相比，六大核心素養的提出不但是內容上的精簡，而且是內涵上的提升。

（三）數學基本活動經驗與數學核心素養的關系

豐富的數學基本活動經驗有助于數學思維和數學能力的提升，同時經驗的不斷再現、再創造也正是數學核心素養逐步完善的過程。

1.基本活動經驗與核心素養具有內在的一致性

首先，它們都是不斷發展著的概念。基本活動經驗是建立在學生已有經驗的基礎上，通過對場景的重構，學生親歷經驗的再認、再生、概括這樣一個周而復始的過程。核心素養是對學生多方面要求的綜合體現，是每個學生獲得成功生活、適應個人終身發展和社會發展都需要的、不可或缺的共同素養。從這個角度看，這兩種概念的發展都是沒有終點的，是一個持續完善的過程。

其次，它們的落腳點是一致的。基本活動經驗是學生個體溝通數學問題與基礎知識、基本技能、基本思想之間的橋梁，在數學活動中培養學生的創新意識，提高學生的創新能力，最終使學生終身受益。核心素養是與特定情境有關的、通過后天學習所得的體現于人的行為的，它關乎人與社會、人與自身、人與工具三個方面， 最終要落實在人即受教育者身上。在“以人為本”的視角下，基本活動經驗與核心素養是一致的。

2.基本活動經驗的研究與核心素養有許多相互呼應的板塊

小學數學基本活動經驗的研究可從小學數學的“四大板塊”著手，對數學素養的研究也可分板塊由淺入深地開展研究。對比發現，小學數學基本活動經驗與六大核心素養有許多內容相互呼應。如與“數與代數”板塊相對應的基本活動經驗，就有利于“數學運算”“數學建模”核心素養的落實;積累了“幾何與圖形”對應的基本活動經驗，就有利于“直觀想象”核心素養的培養;“綜合與實踐”是獲得數學基本活動經驗的重要載體，綜合實踐活動注重實踐，以問題、學習者的原有經驗、社會需要為載體整合課程資源，在操作、探究等活動中，獲得發現、提出、分析、解決問題的直接經驗，從而發展多方面的核心素養。

3.積累基本活動經驗是培養數學核心素養的重要途徑

（1）經驗的積累與運用促進數學核心素養的發展

學生學習數學可以看作是在教師的指導下，積極運用自身的經驗來建構數學現象的過程，這說明經驗的積累促進數學的學習。對于“直觀想象”，史寧中教授在《數學的基本思想》中指出，直觀不是“教”出來的，而是自己“悟”出來的，這需要經驗的不斷積累。如在教學“圓的面積公式推導”時，將圓分成的若干個相等的小扇形能夠近似地拼成一個長方形。學生經歷平均分、割、拼的過程，通過對比、推理得出圓的面積公式并將知識內化，形成相應的數學活動經驗。這一活動經驗又為學生“悟”出圓柱的體積公式打下基礎，把圓柱兩個底面同時分成若干相等的小扇形，再切割圓柱后就可以近似地拼成一個長方體，將求圓柱的體積轉化成長方體的體積。原有的活動經驗被激活，在頭腦中再重現或再創造，學生的思維能力、學習能力在提升，尤其是直觀想象方面的幾何素養得到發展。

（2）基本活動經驗是數學核心素養形成的“培養皿”

為了形成基本活動經驗，教師設計與學生原經驗相似的情境，激發學生的經驗，然后適當改變活動情境，讓學生經歷經驗再現，最后再轉變成相對陌生的情境，為學生的經驗再創造提供環境。以“邏輯推理”“數學建模”的培養為例，在教學“解方程”時，教師首先創設情境：爺爺的年齡加上17，然后用4除，減15，再用10乘，恰巧是100歲，爺爺的年齡多大？解決這個問題后，學生的經驗得到擴充，用逆推法解題的經驗得到內化;接著教師讓學生在心里想一個任意的數，再將這個數擴大3倍后加上2，學生說出計算結果，教師猜出那個數并讓學生思考是如何猜出的，這時學生很容易說出用逆推的方法;最后出示含有未知數的方程，學生在已有經驗的基礎上，會把未知數看作之前心里想的那個數，完成經驗的再創造，自主解題。在層層遞進的活動場景中，學生的數學活動經驗得以升華，一系列由淺入深的問題能夠點燃學生思維的火花，在豐富數學基本活動經驗的同時，更加關鍵的是大腦和思維也在重新分析、組織、積累，這是邏輯推理伴生的過程，更是建立數學模型的手段。這種過程會使學生在課堂上的收獲真正內化于心，因此基本活動經驗就像是促使數學核心素養趨向成熟的“培養皿”。

三、利用數學基本活動經驗促進數學核心素養的培養

下面就以“幾何與圖形”板塊中“長方形、正方形面積的計算”一課為例，通過操作、探究、思考等活動幫助學生積累數學基本活動經驗，進而培養學生的數學核心素養。具體內容如下：

1.直觀想象與數學運算

師：現有一個長為6厘米，寬為3厘米的長方形，用什么辦法能求出它的面積？

生1：可用面積為1平方厘米的正方形作為面積單位擺一擺，看這個長方形里有幾個1平方厘米。

師：很好，那就請大家現在開始分組擺一擺吧。

（學生分組操作后得出結論）

生2：我剛好擺了18個面積為1平方厘米的正方形，所以這個長方形的面積是18平方厘米。（如圖1）

師：還有沒有其他的擺法呢？

生3：我每行擺了6個，可以擺3行，所以長方形的面積是6×3=18（平方厘米）。（如圖2）

【分析】本節課中學生圍繞“如何求出已知長方形的面積”這一問題展開了一系列行為操作和計算活動。學生在動手擺一擺后發現了兩種求解長方形面積的方法，其中第二種方法還進行了運算，這也就運用到了操作的經驗和探究的經驗，學生的直觀想象和數學運算兩大核心素養得到了一定的培養。

2.數據分析和邏輯推理

師：剛剛兩個同學用了兩種不同的擺法，但是他們得出來的結果都是18平方厘米。第二個同學用的6乘3得到了長方形的面積，是不是所有的長方形的面積都可以用這個方法來計算呢？下面我們就來做一個實驗，請大家進行小組活動：任選若干個面積為1平方厘米的小正方形來拼長方形，邊操作邊填表（如表1），觀察一下，長方形的面積與它的長和寬有什么聯系。

師：我們一起看第一個長方形，它的長是2厘米，寬是1厘米，它的面積是2平方厘米;第二個長方形，它的長是3厘米，寬是1厘米，它的面積剛好是3平方厘米;再看第三個長方形，它的長變成了4厘米，寬變成了2厘米。按照剛才的計算方法得出它的面積應該是4×2=8（平方厘米），那么它里面的小正方形是不是8個呢？

生4：是8個！

師：用小正方形得出這個長方形的面積也剛好是8平方厘米！接下來請大家再看看后面兩個長方形的面積是不是也適用這種計算方法呢？

生5：長是5厘米，寬是2厘米的長方形，面積是5×2=10（平方厘米），再數一數，剛好是10個小正方形。

師：沒錯，如果繼續做下去，你會從這一組組的數據中發現什么呢？能得到長方形面積的計算方法嗎？

生6：長方形的面積就等于長乘以寬。

【分析】上述教學片段采取“數形結合”方法將長方形的長、寬、面積通過列表的方式與操作圖形一一對應，為了讓學生能有第一手的直觀感受，教師組織學生以小組的形式自己擺一擺，進行實際操作，學生在得到數據后帶著“長方形的面積與它的長和寬有什么聯系？”這個疑問進行數據分析與證明歸納。整個過程運用到操作的經驗、探究的經驗和思考的經驗，學生要自己從各組數據中探究規律并推理分析之后得到長方形的面積計算公式，學生的數據分析和邏輯推理的素養便得到了一定的培養。

3.數學抽象與數學建模

師：剛剛大家已經得出了長方形的面積計算公式，那么，請大家用相關公式計算下面兩個圖形（如圖4，小正方形的邊長為1厘米）的面積。

生7：長方形的面積是6×4=24（平方厘米）;正方形的面積是4×4=16（平方厘米）。

師：正方形的面積也可用這種方法計算嗎？

生8：正方形可看成是長和寬相等的長方形，所以也可用長方形的面積計算公式算出來。

師：真棒！正方形是特殊的長方形，我們是否可將正方形的面積計算公式歸結為“正方形的面積=邊長×邊長”呢？大家可以通過擺一擺小正方形來驗證這個結論。

【分析】在推理正方形的面積計算公式時，學生提出的“正方形就是長和寬相等的特殊的長方形”這一概念中為長方形的概念增添一個“長和寬相等”的限制條件后變成正方形的概念的過程就是一種強化結構式抽象過程，并且兩個計算公式的確立涉及了數學建模。學生通過類比長方形的面積計算公式而推導出正方形的面積計算公式這一過程就運用了思考的經驗，而在此過程中學生數學抽象和數學建模的素養也得到了一定的培養。

綜上所述，通過數學基本活動經驗來培養數學核心素養是相當容易的，只是數學核心素養的培養是一個“長征”過程，不是一兩節數學課，更不是一朝一夕就能達到一個很高的水平的，這需要我們每位教師的不懈努力，通過各種數學基本活動讓學生真正成為課堂的主人，時刻牢記培養學生數學核心素養這一任務，打造出更多既受學生喜愛又高效的課堂。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 孔凡哲.基本活動經驗的含義、成分與課程教學價值[J].課程·教材·教法，2009（3）.

[3] 黃友初.我國數學素養研究分析[J].課程·教材·教法，2015（8）.

[4] 史寧中.學科核心素養的培養與教學：以數學學科核心素養的培養為例[J].中小學管理，2017（1）.

[5] 李丹丹. 小學數學基本活動經驗的探究[D].武漢：華中師范大學，2014.

[6] 邵月芳.基于經驗累積，追求深度體驗的數學活動設計[J].小學教學研究，2014（17）.

[7] 史寧中.數學的基本思想[J].數學通報，2011（1）.

（責編 黃春香）