基于核心素養(yǎng)背景下探究基本不等式的應用的有效教學

【摘要】新課改下，高中數學基本不等式在教材結構上做了適當的調整，基本不等式作為一種重要的解題工具，從而引發(fā)從教者的思考。本文通過闡述基本不等式的概念和意義，分析在教學中注重基本不等式的應用和解題技巧，啟發(fā)學生多維關聯思維，使其體會基本不等式的重要作用，增加學習數學的樂趣，因而有效提升高中學生的數學水平。

【關鍵詞】核心素養(yǎng)? 高中數學? 基本不等式? 有效教學

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）18-0124-03

數學學科核心素養(yǎng)是數學課程目標的集中體現，也是數學育人價值的集中體現。數學學科是基礎教育階段最為重要的學科之一，高中階段的數學教育培養(yǎng)出來的人是什么樣的。無論接受教育的人將來從事的工作是否與數學有關，終極培養(yǎng)目標都可以描述為：會用數學眼光觀察世界;會用數學思維思考世界;會用數學語言表達世界，即新課標界定的數學學科核心素養(yǎng)是數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。

數學核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展，而“四基”是學生形成和發(fā)展數學核心素養(yǎng)的有效載體?；诤诵乃仞B(yǎng)的教學中，強調“四基”就要把握數學知識的本質，讓學生在掌握知識與技能的同時理解知識的本質，感悟知識所蘊含的數學基本思想，積累數學思維和實踐的基本活動經驗，從而促進學生形成和發(fā)展數學核心素養(yǎng)。由于學生數學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，是在教師的啟發(fā)和引導下，學生通過自己的獨立思考或與他人交流，最終自己“悟”出來的，是一種逐漸養(yǎng)成的思維習慣和思想方法。因此，在教學活動中，把握數學內容的本質、精心設計合適的教學方案非常重要，所以，基于核心素養(yǎng)的教學，要特別重視情境的創(chuàng)設和問題的提出。

一、基本不等式的概念和意義

?ɑ，b∈R，有ɑ2+b2≥2ɑb，當且僅當ɑ=b時，等號成立。特別地，如果ɑ>0，b>0，我們用，分別代替上式中的ɑ，b，可得≤（*），當且僅當ɑ=b時，等號成立。通常稱不等式（*）為基本不等式。其中，叫作正數ɑ，b的算術平均數，叫作正數ɑ，b的幾何平均數。基本不等式表明：兩個正數的幾何平均數小于等于它們的算術平均數。

基本不等式是一種重要且基本的不等式類型，在中學數學知識體系中也是一個非常重要的、基礎的內容，也是高考的熱點，在求解最值、證明不等式、求參數范圍等問題中有著廣泛的應用。新教材人教A版將其安排在必修第一冊第二章的“等式性質與不等式性質”與“二次函數、一元二次方程和不等式”中間，主要是學生已經借助生活實例對于不等式有了一定的理解，在學習等式性質的基礎上，通過類比，研究了不等式的性質，積累了一定的活動經驗， 為后續(xù)學習做了一定的準備。

基本不等式的代數結構也是數學模型思想的一個范例，借助這個模型可以求最大值和最小值。同時，在理解和應用基本不等式的過程中涉及變與不變、變量與常量，以及數形結合、數學模型等思想方法。因此，基本不等式內容可以培養(yǎng)學生的邏輯推理、數學運算和數學建模素養(yǎng)。

二、探究基本不等式的應用的教學

（一）生活情境融入數學問題

例1：一家商店使用一架兩臂不等長的天平秤黃金。一位顧客到店購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡;再將5g的砝碼放在天平的右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡;最后將兩次秤得的黃金交給顧客。你認為顧客購得的黃金是小于10g，等于10g，還是大于10g？為什么？

分析：學生讀完題目第一想法就是物理學科中的杠桿平衡原理（動力×動力臂=阻力×阻力臂），能想到這里，問題就不難解決了。于是我們可以設天平的左臂長為ɑcm，右臂長為bcm，不妨設ɑ>b，放在左盤中的黃金為xg，放在右盤中的黃金為yg。則由天平的平衡條件可得bx=5ɑ，yɑ=5b，即x=，y=。所以x+y≥2=10（由基本不等式知：當且僅當x=y時，等號成立，但這里x≠y，所以x+y>10）因此，顧客購得的黃金大于10g。

反思：本題看似一道生活物理題，實則用數學中的基本不等式解決，通俗易懂?？梢妼W科知識都是相通的，沒有哪門學科是獨立存在的。要培養(yǎng)學生學會從文字中提取信息轉化為數學問題的能力，即通過數學模型刻畫研究對象的性質、關系和規(guī)律，這是一個基本的數學學科核心素養(yǎng)。同時本案例也向學生灌輸了誠信做人誠信做事的思想，體現了時代的育人導向，響應了立德樹人的要求。

（二）基本不等式的誤解問題

例2：已知A（3，0），B（0，4），直線AB上一動點P（x，y），求xy的最大值。

誤解：根據條件可寫出直線AB的截距式方程為：+=1.

由1=+≥2=2，得xy≤3，即xy的最大值是3。

正解：根據條件可寫出直線AB的截距式方程為：+=1，則y=4-x.

于是xy=x（4-x）=-（x-）2+3≤3，即xy的最大值是3。

反思：兩種解法答案一樣，為什么第一種解法不正確。因為學生沒有真正理解基本不等式的內涵，應用基本不等式解決問題的三步驟“一正、二定、三相等”，這里點P（x，y）為直線AB上的動點，無法確定x，y的正負號，所以基本不等式不適用。雖然答案一致，純屬巧合，如將題目條件改為“線段AB上的動點P（x，y）”或“動點P（x，y）在第一象限”，這里的x，y均為正數，即可用基本不等式，而第二種解法就不需要知道x，y的正負號，直接消元代入轉化為二次函數求最值。

例3：已知兩個正實數ɑ，b，滿足ɑ+b=4，求+的最小值。

誤解：由已知得4=ɑ+b≥2， ∴ɑb≤4，又+≥2=≥2，

則+的最小值是2。

正解：+=（ɑ+b）（+）=++≥2=.

故+的最小值是.

反思：使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對存在前提“一正、二定、三相等”的忽視，這三個條件缺一不可。連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致。錯解中使用了兩次基本不等式，其中ɑb≤4等號成立時必須滿足ɑ=b，而+≥2的等號成立時，必須有4ɑ=b，因為都是正數，所以兩個等號不會同時成立的，故這種解法是錯誤的。學生在利用基本不等式求最值問題時，很容易忽視使用條件，不驗證等號是否成立，甚至出現沒有確認和或積為定值時就求最值問題的現象，這是學生思維不夠嚴謹的表現。

（三）基本不等式的變形問題

例4：已知實數x，y>0，則求+的最大值。

分析：學生看到題目時不知所措，明明知道要運用基本不等式知識來解決，卻又不知如何下筆。 回想基本不等式的三步驟“一正、二定、三相等”，第一個條件正數已滿足，第二個條件定形式是關鍵，難就難于定它的結構形式。這里用到換元的思想，

令ɑ=2x+y，b=x+2y（ɑ>0，b>0），則x=，y=.

于是+=+=-（+）≤-2=-=

當且僅當=，即ɑ=b時，等號成立。所以+的最大值是。

反思：通常學生在解答上述不等式案例的過程中存在著一定的難度性，因為這種題型需要學生先處理分式的形式，抓住基本不等式在解決最值問題中對于核心之一“積定和有最小值;和定積有最大值”的理解及構造轉化。因此，學生在解答這個題目的過程中，可通過分析題設中的條件將分母進行整體的換元、拆分，從而構造出積定的形式求出最大值。其中，整體換元是解答這類題型較為常見的方法：首先引導學生思考分式的結構形式該如何改變得到積定的形式，其次基于基本不等式設置目標函數的最值求解，凸顯習題的針對性和探索性的特點，明確基本不等式在解決最值問題中的基本結構，這樣便能迎刃而解。

本文緊扣基本不等式的概念，分別從正、定、等三個方面逐一探究基本不等式應用的有效教學，使學生從本質上真正掌握和理解基本不等式，并學會應用?；静坏仁绞歉咧袛祵W難點內容之一，尤其對基礎薄弱的學生而言，在學習過程中會覺得吃力乏味。因此，為了改變這種狀況，筆者首先從生活實例引入基本不等式的應用，直奔主題，讓學生切身感受到基本不等式的使用價值，體會到數學方法解決實際問題的樂趣，激發(fā)學生的求知欲。其次，通過幾個典型的易錯案例，讓學生真正明確基本不等式的使用條件和注意事項，即“一正、二定、三相等”。在這個教學過程中，需要學生先動手計算，觀察他們在解答過程中遇到什么樣的困難或可能犯哪些錯誤，然后分組討論該如何解決。這樣既可以培養(yǎng)學生發(fā)現問題和解決問題的能力，又可以提高學生歸納總結和團結協作的意識，也使學生真正理解基本不等式的本質和內核。

三、有效教學的感悟

在高中數學不等式的教學過程中，我們常會碰到這樣的學生，平時學習很認真，公式也能記得住，考試成績卻不理想。究其原因，還是沒有真正理解知識的本質和內核，思路受阻打不開，解決問題的方式比較單一。所以教師需要結合教學內容選取合理的教學方法和恰當的教學案例來培養(yǎng)學生分析思考問題的的能力，引導學生歸納提升問題的能力，啟發(fā)學生拓展思維問題的能力，充分激發(fā)學生學習不等式內容的興趣，打破常規(guī)的教學思想，全面踐行新課程深化改革的要求，落實立德樹人的根本任務，達到強化高中數學課堂教學實效性的目的。所以，有效的教學過程應當是把握數學知識本質，把握學生認知過程;創(chuàng)設合適教學情境，提出合適數學問題;啟發(fā)學生獨立思考，鼓勵學生相互交流;掌握知識技能，理解數學本質;感悟數學基本思想，發(fā)展數學學科核心素養(yǎng)。

參考文獻：

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作者簡介：

余加山（1987年-）男，安徽馬鞍山人，一級教師，碩士，研究方向為從事高中數學教學研究。