借助幾何直觀，促進數學理解

蘇 婭

[摘? 要] 幾何直觀理念對學生的數學學習具有重要價值，可以將抽象的數量關系轉化為直觀感知，促進數學理解，由此提出借助幾何直觀優化數學教學的路徑與方法。文章主要結合多個案例，具體談談在數學教學中應用幾何直觀的教學心得。

[關鍵詞] 幾何直觀;數學理解;直觀

縱觀小學數學教材中所呈現的情境，吸引學生眼球的精美畫面比比皆是，無一不是直觀的象征，使得抽象的數學知識生動化、直觀化和形象化。這些情境的創設迎合了小學生的年齡特征，促進了小學生的數學理解。數學家徐利治指出：幾何直觀是借助已見到或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知 [1]。由此可見，幾何直觀理念對學生的數學學習具有重要價值，可以表征問題的成分和結構，可以將抽象的數量關系轉化為直觀感知，促進數學理解。那么，數學教學中如何借助幾何直觀促進學生的數學理解呢？本文結合案例從以下方面具體闡釋。

一、借助幾何直觀刻畫問題——以“形”思“形”

幾何圖形源于人們的現實生活之中，充分利用好學生身邊熟悉的生活素材，引導學生去以“形”思“形”，既可幫助學生快速而準確地抽象得出幾何基本圖形，又能更好地理解和應用數學。

案例1? 長方體和正方體的認識

師：大家看，這是什么？（多媒體呈現）

生（齊）：土豆。

師：不錯，這就是一個土豆。現在我們一起來切土豆，好嗎？

師：先切一刀，大家請看。（多媒體演示）大家看，感受一下這個新切的面，和切之前相比有何不同？

生1：新切出來的面平平的。

師：平平的，非常貼切，我們就稱它為“平面”。再沿著豎直方向切一刀（繼續演示），又有什么變化？

生2：新切的兩個面之間有了一條邊。

師：觀察很仔細，這條邊就是“棱”，也就是兩個面相交的那條線就是棱。下面，我們繼續沿著豎直方向再切一刀，這一次又有什么變化？（多媒體演示）

生3：多了兩條邊。

生4：不，是兩條棱。

師：很好！還多了什么？

生5：多了一個頂點。

師：那這個頂點有幾條棱相交呢？

生6：3條。

師：因此，三條棱相交的點叫作——頂點。

師：我們一起再切三刀，現在得到了什么？（繼續演示）

生7：長方體。

師：那這個長方體一共有幾條棱？幾個面？幾個頂點？我們一起把長方體學具拿出來，數一數吧！（學生拿出學具開始逐一數起來）

師：下面誰來說說你的結論呢？

生8：一共有8個頂點，6個面和12條棱。

師：6個面，怎么得出的呢？

生8：上、下;前、后;左、右。（舉起小長方體對應解說）

師：她數的方法真不錯，她是怎么數的？

生9：一對一對地數的。

師：很好，上和下、前和后、左與右一共有3對兩兩相對的面。那12條棱該如何數？

生9：可以4條棱一起數。

師：據以上的方向，可以分為幾組呢？哪位同學來數一數。

生10：上和下、前和后、左與右各4條（學生舉起小長方體細致地解說）。

師：通過剛才的學習，我們有了哪些發現，我們一起來讀一讀。（多媒體展示發現，學生一起讀）

教學中，應注重引導學生將生活中對圖形的感知與新知的學習相關聯，將眼、口、手等感官協同起來，強有力地喚醒學生的認知激情，促進知識的內化。以上案例中，教師以生活中的切土豆操作來引入長方體和正方體，讓學生通過觸摸、觀察、實驗和操作，調動腦海中儲存的生活經驗，更好地理解抽象的面、棱和頂點等概念，為后續想象出長方體的長、寬和高作好鋪墊。

二、依托幾何直觀闡釋算理——以“形”思“理”

數的運算是小學數學的重要組成部分之一，然而在教學中，不少教師過于注重算法，注重計算的熟練程度，卻忽視算理的教學。事實上，依托幾何直觀作為算理的支撐，以“形”思“理”，即使是算理這樣的抽象數學對象，也可以直觀而簡潔地闡釋。

案例2? 筆算乘法

師：光明小學準備為校運動會中每項比賽準備12支鋼筆作為獎勵，那么4項比賽共需要準備多少支？

師：誰來回答？

生1：12×4=48（支）。

師：這里的48是如何算出的？請每個小組交流，之后請幾名學生展示算法。（學生經過討論后，得出了多種算法）

師：哪些同學愿意來展示你的算法？

師：大家請看算法6，用的是列豎式計算，你們有沒有看出來是如何計算的？

生2：2×4=8算的是“ ”，10×4=40算的是“ ”，40+8=48就是兩式合起來“ ”，一共是48支。

師：生2的闡釋聽明白了嗎？老師將他的解說以圖示的方法展現給大家。

大家看，這個豎式中表示的是4個12，圖中也是這樣闡釋的。觀察圖1可以看出，它將4個12如生2所說的分為兩個部分……

圖形往往可以為人們提供直觀源泉，給足人們想象的空間。算理的理解離不開幾何直觀，通過以上案例可以看出幾何直觀對算理的獨特作用，一方面可以起到了逐步深化算理的作用，另一方面讓學生深刻體驗數學創造性的工作歷程，激化數學素養的形成 [2]。

三、運用幾何直觀探究思路——以“形”思“路”

數學應用題是小學階段的重要題型之一，而抽象的文字敘述往往是復雜應用題的標志，一些關鍵性的信息，往往隱藏在抽象的敘述背后，學生很難發現。而通過幾何直觀則可以將復雜應用問題中的重要信息更簡明、更形象地表現出來。以圖解探路，以幾何直觀的“形”為學生的思維打開通道，有了直觀圖形的支撐，則可以化繁為簡，以達到明晰解題思路的效果 [3]。

案例3? A、B兩車同時從甲、乙兩地相對開出，A車行駛了全程的 ，B車行駛了全程的 ，此時A、B兩車相距220千米，請問甲、乙兩地路程是多少千米？

分析：拿到此題，不少學生都會覺得思維卡殼，只因這里條件中的“220千米”似乎無處安放，它究竟是全程的哪一個位置呢？此時倘若畫出圖3線段則可以輕松獲解。

據圖示，可以明晰：題中的“220千米”位于 和 的重疊處，進而得出以下多種解法：

解法1：（自左向右）“220千米”所對應的分率為 與1- 的差，則可列式220÷ -1- =400（千米）;

解法2：（自右向左）“220千米”所對應的分率為 與1- 的差，則可列式220÷ -1- =400（千米）;

解法3：（從兩端往中間）“220千米”夾在中間的一段，所對應的分率為1-1- -1- ，則可列式220÷1-1- -1- =400（千米）;

解法4：（整體著手） “220千米”為 和 的重疊部分，則可列式220÷ + -1=400（千米）。

借助幾何直觀來找尋解題途徑是解決數學問題的有效手段。運用圖示法解題的最大優勢在于使得抽象的應用問題形象化，進一步獲得了解決問題的思路。上例中，由于將題中的數量信息直接反映在線段圖上，直觀展現了復雜的數量關系，從而收獲了多種多樣的解題思路。

總之，幾何直觀作為一座溝通感性與理性的橋梁，其功用遠不止于此，諸如數的大小比較、運算定律的解釋等，都可以借助幾何直觀來引領學生思維，可以幫助學生習得新知的同時，促進學生的數學理解，最終提升學生的數學素養。

參考文獻：

[1]? 趙生初，許正川，盧秀敏. 圖形變換與中國初中幾何課程的自然融合[J]. 數學教育學報，2012，21（4）.

[2]? 周海東. 初中數學教學中幾何直觀能力培養探析[J]. 中學數學，2014（6）.

[3]? 蔡奕容. 培養幾何直觀能力鍛造數學有效課堂[J]. 課程教育研究：新教師教學，2016（17）.