“角的度量”前概念探析及其轉化

朱潔芬

[摘? 要] 小學生在學習“角的度量”時，在測量對象、工具、單位、方法和結果等方面都存在一些前擁理解。教學中充分探析這些前概念，從學生想法開始，借助比喻、操作、變式、反思等策略，引導學生看清自己的想法怎樣得到修正和轉換，能促進學生主動學習。

[關鍵詞] “角的度量”;前概念;轉化策略

心理學研究表明， 學生總是“帶著有關世界如何運作的前概念來到課堂”“如果他們的初期理解沒被卷入其中，那么他們也許不能掌握所教的新概念和信息”。對此，筆者以“角的度量”為例，嘗試探析前概念及其轉化，促進學生主動學習。

一、前概念探析

1. 關于測量對象

角的度量對象是兩條邊張開程度的大小。雖說在此之前學生已經認識了角，知道了角的兩條邊都是射線，但在初始探究中仍然發現，不少學生還是會像量線段一樣，把量角器直邊的一個端點對準角的頂點。之所以這樣量，原因可能是多方面的。不過，首要的還是對測量對象的理解有偏差。有的壓根兒沒想過測量對象問題，有的是根據長度測量類推，用量角器的直邊去量角的兩條邊的長度，這些都暴露出他們對測量對象的迷思。

2. 關于測量工具和單位

測量角的大小你會選擇什么工具？絕大部分學生都知道要選擇量角器。可能生活中買文具的時候，直尺、量角器都是成套出售，因而學生對量角器并不陌生。但對“量角器有什么用”的問題，有些學生的回答竟然是：量彎曲物體的長度！這樣頂端對齊的方法似乎也釋然了：也許，他們本來就認為，量角器的價值在于用帶刻度的半圓邊去量物體中曲邊的長度！但老師給的卻是一個沒有曲邊的角。于是，他們就根據已有的經驗“湊合”了一下，或許還會覺得很疑惑：老師，您給的圖形與這個工具不匹配啊！這樣的感覺也決定了他們對單位的認識只能是一維的。

3. 關于測量方法和結果

在很多教學現場可以發現，即使教師明確指出頂端對齊無法量出角的大小，學生還是無法自主找到正確的方法。可見，已有的長度測量經驗無法直接推動新方法的建構。教師常常不得不直接揭示“二重合”的方法。這樣的簡單告知雖大幅度縮短了學習時間，但也帶來了一些意料不到的后果：有的學生經常讀錯內外圈刻度，有的學生頻繁出現較大的誤差，特別是接近整10度或整5度時。對于后者，教師還常常認為是態度問題。如果仔細觀察就會發現，其實是因為零頭部分的測量非常隨意，甚至方法發生了走樣。

二、轉化策略探討

教學中如何針對這些前概念采取策略，促進前概念的有效轉化呢？這里可以借助比喻、操作、變式、反思等，促進學生初期理解的修正、完善與提升。

1. 借助比喻，讓測量對象由“形”升格到“量”

與線段相比，角的概念內涵特別豐富。角本質上不僅是一種“形”，更是一種“量”，是一種用來刻畫兩條射線張開程度的量。如何引導學生排除固有的與“形”緊密聯系的長度測量的困擾，建構新的量化對象呢？

面對一組大小不同的角，筆者曾嘗試借助比喻提出過下面兩個問題：你們看，這些角都非常像我們再熟悉不過的一張張張開的嘴巴吧？如果把這些角比作張開的嘴巴，你覺得它們有什么不同呢？學生很快發現，主要是張口大小有所不同，邊長一點的不一定張口就大。與角的量化本質特別契合的比喻，有效激活了學生的自身經驗，從而幫助他們輕松擺脫了固有的思維定式，關注新的量化對象。

這樣的策略甚至可以用于低年級初學者。比如，在角的初步認識時，就讓“形”與“量”實現同步建構，從而有利于日后度量對象的理解。

2. 借助操作，讓測量工具和單位由“特別”升格到“一般”

與直尺相比，量角器要復雜很多。半圓形邊緣布滿密密麻麻的刻度，難免使人想到這個工具非常“特別”，可能是一把彎曲了的尺，是用來測量曲線長度的。如何讓學生感悟到它的服務對象并非曲線長度，而是角的兩條邊張開的程度呢？

在學習角的度量前，學生不僅初步認識了角，還知道了直角、銳角和鈍角。考慮到學生對量角器的名稱并不陌生，量角前可以引導學生先基于名稱思考：既然叫作量角器，那么量角器應該是用來量什么的？大部分學生能根據名稱推想出它的服務對象是角。然后讓學生在量角器上進行如下操作：你能在量角器上找到已經學過的直角嗎？能找到一些銳角和鈍角嗎？這些角都有什么共同點？這些量角前先找角的操作，能讓學生輕松找到量角器的中心，理解半圓源于角的拼合，進而認識單位。有了這樣的基礎，學生大多能感悟到其與直尺的“一般”之處：都有起始刻度線、刻度數、單位等，從而自主解構有關曲線度量的錯誤認識。

不過，有老師一開始就讓學生找單位角，特別是1度的角，效果并不理想。這種操作最好還是從學生熟悉的角，比如直角、銳角、鈍角等找起。

3. 借助變式，讓測量方法由“程序”升格到“原理”

在角的度量練習中，經常會出現一些量角器的擺放，讓學生判斷。這些擺放中有一種經常被認為是錯誤的。仔細思考，這并非錯例，而是一種變式。這種變式，是引導學生深度理解測量方法的極好資源。

對此，首先引導學生思考，這種量法是否正確？對于認可這種方法的學生要適時追問：如果這樣量，結果是多少？學生可能又有不同的想法。有的認為是150度，有的認為是110度，不妨讓他們充分發表自己的意見。然后讓學生通過最“笨拙”的數的方法（包含了11個10度或110個1度），驗證結果。借此，讓學生感知度量程序的多樣性，進而感悟不同程序背后共通的測度原理：“有限可加性”“運動不變性”和“正則性”等。有了這樣的理解，讀數時內外圈不分的現象也會被徹底修正。

4. 借助反思，讓測量結果由“容誤”升格到“求準”

由于角的度量有時不可避免存在一定的誤差，教學中一般采取寬容的態度，特別是初學的時候。不過，這里要警惕有的“誤差”可能是一種度量方法的走樣。如接近整10度或整5度時出現的誤差，可能源于學生在處理這些接近“特別”刻度線的“零頭”部分時，讀數順序發生了錯誤的“逆轉”，從而產生較大的誤差，而非“馬虎”所致。

對此，教學中要充分利用學生度量中出現的“誤差”資源，關注“零頭”的度量：這些“零頭”的讀數順序為什么不能隨意“逆轉”？從而感悟這樣的“逆轉”違背了測度原理，從而激發自主“求準”的意識。

總之，充分了解學生前概念，從學生已有的想法開始，借助比喻、操作、變式、反思等策略，引導學生看清自己的想法怎樣得到修正和轉換，能有效推動學生主動學習。