注重直觀想象，提升數學素養

汪文飛

摘? 要：直觀想象是高中數學六大核心素養之一。培養直觀想象素養，能夠使學生養成運用圖形和空間想象思考問題的習慣，提升數形結合的能力，建立良好的數學直覺，挖掘問題本質，本文從實踐出發，在識圖、用圖、構圖等環節滲透直觀想象素養的培育，并通過例題具體論述了直觀想象在函數、不等式、平面向量、立體幾何、解析幾何等問題中的應用，說明培養直觀想象素養在數學學習中的重要性。

關鍵詞：高中數學;核心素養;直觀想象;數形結合

高中數學課程標準修訂組的專家提出了高中數學學科的六大核心素養，直觀想象是其中重要的組成部分之一。仔細分析近幾年的浙江省高考試題，不難發現對直觀想象素養的考查上升到前所未有的高度。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎。在數學學習中充分發揮直觀想象，可以讓學習過程具體、生動、形象，更具韻味;這可以激發學習數學的興趣，從而提升學生的學科素養。

直觀想象主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形描述、分析數學問題;建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。

對此，筆者的看法是：直觀想象就是要會看圖，會用圖，會畫圖，會想象圖形。下面，我就從這幾個方面來談談如何培育學生的直觀想象素養。

一、掌握圖形性質，提高識圖能力

圖形是數學的重要研究對象之一，因此，在數學教學過程中，首先要培養學生對圖形的直觀洞察力，根據圖形中的已知信息向著結論進行直觀化推理，探索出解題的思路。提高識圖能力，首先要養成正確的圖形觀察習慣;其次要善于獲取圖形的重要信息、挖掘圖形的隱含條件。當然，對圖形性質的理解是直覺產生的源泉，是直觀洞察力迸發的載體。直觀洞察力是在情境所展現的圖形信息被學生獲取后，能夠將獲取的信息與自己原有的知識體系建立相應的關系，從而解決問題的一種能力。

例1：設函數 ，則 的最小正周期（?? ）

A.與 有關，與 有關?? ???B. 與 有關，但與 無關

C. 與 無關，且與 無關??? D. 與 無關，但與 有關

分析：這是2016年浙江省高考題第5題的改編，考察學生對三角函數與絕對值函數圖象性質的理解。絕對值里面這個函數的周期是定值 ，當 時，里面這個函數的對稱中心在 軸上，加了絕對值之后，得到 的周期就變為 ;當 時，里面這個函數的對稱中心不在 軸上，加了絕對值之后，得到 的周期就依然為 。所以，與 有關，正確答案為D。

例2：函數 （ ）的導函數 的圖象如圖1所示，則關于 的敘述正確的是（?? ）

A.一定無最小值???? B.存在 使得

C.一定有最大值???? D.存在 使得

分析：這是2017年浙江省高考題第7題的改編，考察導函數與原函數圖像之間的關系。導函數函數值的正負反映原函數的單調性，導函數的零點和原函數的極值以及最值密切相關。

由此可見，基本圖形性質理解與掌握是直觀洞察力的必要基礎，比如一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數、絕對值函數等基本函數的圖像特征與性質，就要要求學生熟練掌握。有了扎實的基礎，就可以利用圖形的對稱、平移、翻折等解決更復雜的問題。

二、理解問題本質，強化用圖意識

數與形并不是對立的，而是在一定條件下可以實現相互轉化。數量關系獲得幾何解釋，可以使問題變得直觀易懂，幾何問題得到代數表示，可以使幾何直覺、合情推理等轉化為程序化操作的代數運算，實現化難為易的目的，并使人獲得對問題的精確化、理性化的理解。

在數學解題過程中，導致解題過程繁瑣的很大一部分原因是對題意的理解不夠透徹，沒有深入到問題的本質。教師在解題教學中應當盡可能直觀地分析解題思路，強化學生的用圖意識，有意識地將試題中代數形式的表象與直觀想象產生聯系，培養學生靈活使用直觀想象進行解題的習慣。當很難從題目字面上直接獲得解題的線索時，借助圖形很可能就容易找到問題的突破口。

例3：等腰直角 斜邊 上一點 滿足 ，將 沿 翻折至 ，使兩面角 為 ，記直線 ， ， 與平面 所成角分別為 ， ， ，則（??? ）

A.???????? B.

C.??????? D.

分析：這是浙江省2017年11月的學業水平考試第18題。考查的是立體幾何的翻折問題，這對學生來說是一個難點，也經常出現在選擇填空的壓軸題上。如圖2，要比較出這三個角的大小，就是要比較三條斜線在底面上的射影的長短。又因為點 在底面上的射影 必然落在折線 上，且由條件可得到 ，所以，我們可以很直觀得得到 ，從而 。

例4：已知向量 ， 滿足 ， ，則 的最小值是________，最大值是_______.

分析：這是浙江省2017年高考題的第15題。學生拿到這個問題，還是比較蒙的，甚至感覺無從下手，其實要解決這道題首先要掌握 和 這組向量的幾何意義。主要解法有：

解法1： 和 就是以 ， 為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線所對應的向量。

如圖3， ， ，

則 ， ，設 ， ，

則 ，

且由平行四邊形中對角形的長度和鄰邊的長的關系可得， ，

最后，利用線性規劃便可得到 。

解法2：如圖4， ， ， ，

則 ， ，由圖可得，

，

又 ，

所以 。

解法3： 如圖5，設 ， ， ，

則 ， ，則點 在單位圓上，由圖可知，當點 在 或 時， 取到最小值 ，當點 在 時， 取到最大值，為該橢圓的長軸長 。

除了這兩種解法，對于本道題，我們還可以用坐標法和三角換元解決，也可以用三角不等式和柯西不等式等方法求解，這里就不一一分析。

解題過程中，學生經常會遇到一些看似很新的題目，感覺很難找到解決問題的突破口，主要原因就是對一些數學結論的幾何意義理解的不夠透徹，或者對數學解題的思想方法總結的不到位。數學中的大部分概念、公式及定理等都有著數與形的雙重特征，通過建立數形之間的聯系來加強學生對數學本質的認識，從而在解題中起到化繁為簡的作用。

三、加強畫法交流，構造最佳圖形

直觀想象素養是一種圍繞幾何思維解決問題的能力素養。因此，圖形是直觀想象的基礎，數形結合思想是高中數學解決問題的重要思想之一。很多時候，往往是借助圖形，將代數問題幾何化，找到解決問題的方法。但如果我們所畫出的圖形不利于問題的直觀分析，或者在直觀化過程中存在問題，出現了科學性的錯誤，那么數形結合就難以發揮它真正的作用。因此，如何借助直觀想象，構造出有利于問題分析的最佳圖形，顯得尤為重要。

想要借助數形結合將復雜的問題簡化，我們必須在腦中想象、分析解決問題所需的直觀角度，采用恰當的圖形視角畫出圖形，才能提高解題的有效性。不同角度的圖形構造對問題的直觀分析產生直接的影響。所畫圖形不同，解題的效率就大相徑庭。例如，用向量法解決立體幾何問題時，常常遇到空間直角坐標系的建立問題，建立的位置不一樣，可能對處理問題的計算量影響很大。還有，部分立體幾何的相關試題沒有直接給出幾何圖形，需要學生自己繪制，比如題目要求繪制一個三棱柱，學生根據自己的思維習慣可能畫出圖6的兩種形式。究竟哪一種畫法更合適，可以讓學生在課堂上交流自己的作圖想法，然后教師根據作出最合點評，這樣有針對性地指導學生進行圖形的繪制，不僅可以提高學生分析問題和解決問題的能力，對培養學生嚴謹的學習態度也有很大的幫助。

例5：已知函數 在定義域內有兩個不同的零點，求實數 的取值范圍。

分析：函數的零點個數問題經常借助圖象來解決。但處理的方法可以不同，對這道題，有些同學會去研究 的圖象與 軸的交點，從而借助導數去討論 的單調性。也可以將 轉化成 ，從而去研究 與 這兩個函數圖象的交點。還可以進一步轉化成 ，再去研究 與常數函數 的圖象的交點。分析完之后，可以讓學生感受這三種做法的不同，從而體會畫出最佳圖形的重要性。

當然，想要畫出完美圖形的前提是要畫出正確圖形。學生在借助數形結合解決數學問題的過程中，容易對題目的要求或都推理過程分析不夠透徹，而導致代數與幾何之前不等價轉化，這是解題時錯誤產生的一重要原因。錯誤產生的原因不盡相同，可能是直觀思維的不完整，也可能是定式思維的作用或畫圖時的疏忽，或者是對某數學知識的本質理解得不夠透徹。比如，畫函數圖象時，有些漸近線就不能忽視。不同的問題對圖形精確性的要求也不盡相同，有些問題只需畫出大概草圖便能直觀分析，有些則對圖形的精確性要求有著較高的要求。所以在圖形繪制時，需根據問題的要求，明確圖形所需的大致精確性。在進行數形轉化的過程中，還需對畫圖的每一個環節進行合情推理，分析圖形的合理性，避免科學性錯誤的發生。

（一）善于歸納整理，牢記實用模型

解題并不是以獲得正確答案為最終目的，而是通過經歷一道道題目的解決過程，歸納整理，總結反思，揭示本質，從而獲得一類題目的解題思想與方法。因此，解題并不能停留在題目的表面，而是要深入其內部，找到問題的源頭，進而獲得直觀模型。

例6：如圖7，四棱錐 滿足： 平面 ， 平面 ， ， ，? ， ，則四棱錐 的體積最大值為

分析：此四棱錐的底面積已經是個定值，要求體積的最大值，就是求點P到底面ABCD距離的最大值。由條件可得，平面 平面ABCD，故點P在底面ABCD內的射影落在交線AB上，又因為 與 相似，故 ，所以點 的軌跡是阿波羅尼斯圓，從而很快可以得出此圓的半徑，這就是動點 到底面 距離的最大值。本題的本質就是考察動點的軌跡，此類問題就要求學生平時善于總結，尤其是一些常用的模型最好要牢記并靈活運用。還有，直線與圓錐曲線的綜合問題中，也有一些重要的結論，需要學生自己歸納總結，并熟練掌握。

例7：如圖8，已知直線與拋物線 交于A，B兩點，且 ， 交 于點D，點D的坐標為 ，求 的值。

分析：這是選修2-1教材中第81頁復習參考題B組第3題，學生解決起來也是很困難，其實本題考查的就是一個重要結論，即直線與拋物線 交于 兩點，若 ，則直線 過定點 ，再利用 便可得解。

直觀想象是對于數學對象的本質進行的直接把握，這種直接判斷建立在針對幾何圖形長期有效的觀察、思考和總結的基礎之上，既有相對豐富的經驗積累，也有經驗基礎之上的理性的概括和升華。因此，運用直觀想象開展數學學習活動需要平時不斷地潛移默化，積累經驗，最終實現運用自如的目的。這就要求我們教師長期不懈地探索、實踐和創新，教師要通過合適的學習任務、學習情景和學習活動的創設，把數學核心素養的養成和發展，滲透、呈現在日常教學中，使常態教學和核心素養培養有機結合。

當然，我們強調直觀想象在培養學生數學素養中的地位和作用，但也要防止走向另一個極端。圖形揭示很直觀、生動，但有時圖形也會欺騙我們的眼睛，“以理服人”是數學的精髓。即使是很直觀的結論，也還是需要老師們引導學生去進行推理證明，通過邏輯推理的嚴謹去驗證直觀想象的合理，讓學生體會直觀想象與邏輯推理相得益彰，這正是體現了數學學科六大核心素養既相對獨立，又相互交融，是一個有機的整體。

參考文獻：

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