初中數(shù)學最值問題解決“三維”譜系

李佳琦

【摘要】初中數(shù)學最值問題因為題量足、分值大、形式廣、綜合性強，能夠考查學生的思維力、空間把控力、想象力、學習力等，成為初中數(shù)學學習與考試中的重點、難點和熱點.數(shù)學教師應該以自主自悟為理念、以方法滲透為過程、以技術支撐為平臺促進最值問題的解決.教師應該是一個細微的發(fā)現(xiàn)者、一個高效的啟發(fā)者、一個積極的建設者，為最值問題解決、數(shù)學高效學習和學生能力提高奠定堅實的基礎.

【關鍵詞】初中數(shù)學;最值問題;自主自悟;方法滲透;技術支撐

最值問題是初中數(shù)學學習與考試中的重點、難點和熱點，具體分析如下：最值問題成為初中數(shù)學學習與考試的“重點”，是因為它幾乎囊括了代數(shù)、平面幾何、立體幾何等多個知識體系和細微的知識點;最值問題成為初中數(shù)學學習與考試的“難點”，是因為學生常常在解決最值問題的過程中“栽跟頭”“吃大虧”，常常因為辨不清真相、理不清頭緒、選不對方法而失分，進而留下深深的遺憾;最值問題成為初中數(shù)學學習與考試的“熱點”，是因為一般考試或中考中，最值問題題量足、分值大、形式廣、綜合性強，全面考查學生的思維力、空間把控力、想象力、學習力等.鑒于此，教師以自主自悟的理念為突破點，引導學生深刻分析初中數(shù)學最值問題的特點、規(guī)律及解題方法，讓現(xiàn)代化技術保駕護航，構建一個解決最值問題的“三維”譜系，這是初中數(shù)學教師解決初中數(shù)學最值問題的基本脈絡和重要視點.

一、以自主自悟為理念促進最值問題的解決

毋庸置疑，最值問題的解決經(jīng)常耗費師生大量的時間，筆者認為，解決最值問題的理念的導向性應該成為重中之重.過去，數(shù)學教師苦口婆心，大講特講解決最值問題的方法、竅門、策略與路徑，唯恐落下任何一個知識點.這樣的負責精神難能可貴，但是，教師過分包攬，過分“精細化”講解，恰恰剝奪了學生自主自悟的權利與機會.這樣的“只扶不放”對于培養(yǎng)學生自主解決最值問題的能力是不利的，難以保證學生在考場上順暢、輕松、正確地解題，更不利于學生創(chuàng)新意識的萌發(fā)和創(chuàng)新能力的提高.所以，解決最值問題，教師應該從自主自悟的理念轉變開始.

首先，自主自悟表現(xiàn)在學生對最值問題的審題上.審題不細，“后患無窮”;審題粗糙，“張冠李戴”;審題偏差，“驢唇馬嘴”.比如，某三角形動點問題原本是“周長最大問題”，但學生卻粗心大意地將其理解為“面積問題”，那么，計算錯誤在所難免.所以教師應該引導學生睜大“火眼金睛”，辨清題目的指向性，弄清題目的針對性，搞懂問題的落腳點，養(yǎng)成一絲不茍的審題習慣.教師不應該自己指出來“這是什么”，而應該引導學生發(fā)現(xiàn)一些易混點，讓學生自己厘清相似點和不同點，自己糾正易錯點.如果教師長期讓學生甩開膀子自己解決問題，那么最值問題也就不再難如天塹，不再是學生數(shù)學學習中的“攔路虎”.

其次，自主自悟表現(xiàn)在學生對解決最值問題的方法選擇上.比如，對于某三角形動點問題，學生是選擇“先求出確定線段的長度，再陸續(xù)破解”的方法，還是選擇通過“分割法”將問題轉化為“開口向下的函數(shù)”來解決問題.顯然，這樣的方法選擇不是教師“指到哪里打哪里”，而是教師充分尊重學生，給予學生自我選擇、自我推進、自我反饋的自由.學生善于使用哪種方法，教師就應該給予鼓勵和自由.當然，教師如果能夠鼓勵學生以多種算法解題，更是難得的、可貴的教學境界.

最后，自主自悟表現(xiàn)在教師對最值問題的拓展上.比如，在“圓”的問題解決中，教師就可以由一般問題拓展到“隱形圓”，讓學生經(jīng)歷一個由“一般化”到“模糊化”再到“清晰化”的過程.該問題具有探究性，因為“隱形圓”或隱藏于“定點定長”中，或隱藏于“對角互補”中，或隱藏于“定角定弦”中，或混淆在“相等角”中.即使學生的拓展脫離了眼前的學習任務和本課的學習目標，教師也不必過分擔心.有時學生在問題拓展中遇到的數(shù)學內容并不是最重要的，但是在這期間，學生數(shù)學視域的多重洞開、數(shù)學經(jīng)驗的成功建構、數(shù)學精神的強力培養(yǎng)是很有價值的.

二、以方法滲透為過程促進最值問題的解決

學生從解決一道習題到解決一類問題，從偶然用對一個方法到大范圍舉一反三，從個別意義上的總結到普遍意義上的領會，其實就是由“點子”到“方法”的過渡，是由“知識”到“能力”乃至“數(shù)學思想”的過渡.方法滲透是解決最值問題中不可或缺的，也是學生素養(yǎng)提升中重要的過渡.

（一）代數(shù)中最值問題數(shù)學方法的滲透

代數(shù)中最值問題的求解，可以滲透諸多數(shù)學思想.比如“配方法”，學生抓住“非負性”“恒等變形”和“完全平方”等關鍵點，即可破解難題，順利求解最值問題.再比如“分類討論法”主要是針對那些具有“不確定因素”的函數(shù)，面對這樣的“硬骨頭”，學生要抓住“單調性”和“絕對值零點”等關鍵詞進行分類討論，最終厘清函數(shù)內在的關系進行求解即可.還比如“數(shù)形結合法”，學生可以把數(shù)字轉化為數(shù)軸，也可以把圖形上的相關信息轉化為數(shù)字，還可以把一些變式轉化為“一動點兩定點”的坐標圖形等.至于“均值不等法”“函數(shù)模型”等，學生都可以將其靈活地、恰到好處地滲透到相關最值問題的解決中.

（二）平面幾何中最值問題數(shù)學方法的滲透

平面幾何最值問題涉及范圍較廣，三角形、四邊形、圓均有所涉及，其中周長或面積問題的解決均離不開“兩條線段差最大，和最小”這樣的基本模型.學生要想解決這類問題，“轉化法”是不可或缺的，學生將復雜的、多維的、晦澀的試題轉化為簡單的、基本的、已經(jīng)學過的模型求解即可.其他的一些方法，如“平移法”“反射法”，學生均可以成功運用，關鍵在于師生如何篩選、如何取舍、如何歸納.學生若能選擇正確的方法，融知識、思想與策略于一體，則可以打破“處處受限”的局面，進入多法并舉的順暢階段.

（三）立體幾何中最值問題數(shù)學方法的滲透

立體幾何中最常見的問題莫過于“曲面上兩點間的距離”問題.一般情況下，學生通過“化曲為直”就可大功告成，把側棱轉化為三角形，就可以從平面角度解決問題.對于立體幾何中的其他最值問題，學生可以用“變量的相對性”進行求解，或用“定量分析法”等.對于面積最值問題、體積最值問題、角度最值問題，學生均可以運用相關方法找到最佳切入點，正確、輕松地解決問題.

三、以技術支撐為平臺促進最值問題的解決

學生有了理念與方法的支持，如果再通過技術支撐解決問題，那么會實現(xiàn)學習上的高效與快捷，最值問題的學習也會進入一個新的階段.數(shù)字化工具、教育云平臺、智慧校園等技術支撐，可以化“模糊”為“清晰”，化“復雜”為“簡單”，使最值問題由“局部”到“整體”，或者由“整體”到“局部”，由“分”到“合”，由“宏觀”到“微觀”，構建一個立體、豐富、高效的數(shù)學學習新時空.

比如解決平面幾何中的最值問題時，學生常常需要教師以軸對稱變換的圖形為教具進行演示.此時，教師利用多媒體的“切割、變形、縮小、涂色”等多維畫筆功能，給學生快速畫出一個立體清晰、色彩豐富的圖形.這對于聚焦學生興趣、喚醒學生學習動力、開闊學生思維空間，具有極大的作用.再比如平面幾何中平移變換圖形的制作，過去，教師是用尺子等在黑板上比畫，而現(xiàn)在教師在多媒體設備上只需一個“復制”即可完成.最值問題解決中的變換、制圖、列式、驗證等學習環(huán)節(jié)，教師均可以利用多媒體課件形象生動地展示給學生，以此助力疑難問題的解決，助力課堂的高效推進，助力學生素養(yǎng)的有效提升.

當然，多媒體介入最值問題的解決的時機一定要恰到好處，正所謂“該出手時才出手”.比如上文提到的“曲面上兩點間的距離”問題，如果學生還未悟出“化曲為直”等方法，教師就用多媒體演示“側棱轉化為三角形”的動態(tài)過程，無疑有點操之過急.學生還未經(jīng)歷由“思考”到“總結”的歷程，還未體驗由“未知”到“已知”的探索，教師就直接讓技術過程代替人腦思考，這實際上是教師對學生思維過程的忽視，是教師對學生創(chuàng)新精神的遮蔽，是教師對學生不負責的表現(xiàn).

竊以為，教師在引導學生反復討論該用何種方法解決最值問題的過程中，當諸如“轉化法”“類比法”等念頭在學生腦海中快要產(chǎn)生時，當學生懸而未決或思維停滯不前時，教師用多媒體引導學生，能出奇制勝，達到洞開視域、產(chǎn)生靈感、尋到最佳方法、靈活解決問題的目的.教師需要高度警覺與敏感，善于抓住時機，捕捉學生欲言又止的表情，總結學生作業(yè)中的錯題，讓“數(shù)字信息化工具”恰當介入.而這時，疑難問題的解決、高效課堂的打造、數(shù)學素養(yǎng)的提升，則會變得自然而然，輕而易舉.四、結束語

初中數(shù)學最值問題的解決中“自主自悟”這個理念不能變，“以生為本”這個中心不能變，“素養(yǎng)提升”這個落腳點不能變.“變”與“不變”中，教師是關鍵.教師應該是一個細微的發(fā)現(xiàn)者，善于發(fā)現(xiàn)最值問題中重要的信息;教師應該是一個高效的啟發(fā)者，善于啟發(fā)學生找到解決最值問題的最佳途徑、方法、策略和數(shù)學思想，讓學生以最輕松、最高效的方式解決問題.當然，教師還應該是一個積極的建設者，建設數(shù)字化網(wǎng)絡環(huán)境，建設立體化學習平臺，建設遠程對話平臺，為最值問題解決、數(shù)學高效學習和學生能力提高奠定堅實的基礎.