通過動手操作來探尋植樹問題的規律

王柳萍

[摘 要]數學知識可謂是取之于生活，用之于生活，從生產生活中總結抽象出的，最終用來解決生產生活中的相關問題的。讓學生參與綜合實踐活動，在動手操作和體驗式探究中感悟數學知識的起源和生成過程，認真觀察、動腦思考，理論結合實際，手腦并用，實踐與理論循環印證，有利于學生透徹理解知識本質，融會貫通，形成扎實過硬的學習技能。

[關鍵詞]動手操作;植樹問題;間隔數

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0037-02

教學中，一部分教師舍不得放手讓學生去開展活動，深入體驗，觀察生活現象，并帶著疑問和目的去動手操作，再動腦反思其中的奧秘和道理，而是將現成的結論教給學生，強制學生機械記憶和模仿練習，然后打出練習“組合拳”，以期達到理解、鞏固知識的目的。這樣做，無法啟迪智慧，也嚴重阻遏了學生思維品質的提升，扼殺了學生創新精神的萌發。下面，筆者以人教版教材五年級上冊 “植樹問題”教學為例，引導學生動手操作，幫助學生探尋規律，讓學生從中感悟數學知識的起源和生成過程，從而透徹理解知識本質，融會貫通，形成扎實過硬的學習技能。

一、動手操作參與實踐活動，創設情境揭示規律

設計一：參與實踐活動

【例1】學校門口有一條6米長的鵝卵石小路，一邊要植上棕櫚樹，每隔2米植一棵（兩端都要植），需要幾棵棕櫚樹？（教師用課件展示）

師：請小組合作探究，并交流討論。

（學生積極思索，熱烈討論，小組發言人代表發言）

組1：我們小組列式6÷2=3，故需要3棵棕櫚樹。

師：組1的答案是否正確？（贊成者有之，反對者有之，各執一詞，相持不下）

組2：我們組的意見是需要4棵棕櫚樹，但不會列算式。

師：既然眾說紛紜，無法統一，那么我們就做一次場景還原，模擬實驗，親自動手勘驗測量，用事實說話，孰是孰非，到時自見分曉。

（讓學生裝扮成棕櫚樹，用列隊方式模擬植樹。教室的地板磚為正方形，每塊的邊長是1米，教室的寬正好是6米，每隔2米站一人，排頭排尾各站一人，分別代表兩個端點植樹，看一共站了幾名學生。）

（學生非常主動，排好隊后，認真觀察和清點人數：發現隊伍里站了4人。

師：組2的答案正確，是怎么回事呢？怎么列式？

課件播放還原植樹情境（如圖1）：

填空：6米長的鵝卵石小路的一邊，每隔2米植一棵棕櫚樹，有________段間隔，一共要植________棵樹，按這種算法，植樹的棵數比間隔的段數________。（學生迅速填完空，找到解題方法，并且從中總結出規律）

師：本題中，鵝卵石小路的一邊兩端要植樹，故植樹的棵數比間隔的段數多1，本題算式為6÷2+1=4（棵）。

我們總說，分析解決問題時要化繁為簡，化難為易，也就是運用轉化思想將復雜的問題簡單化，但是，即使是最簡單的基礎模型，也要通過操作活動才能深刻地揭露其中的規律，然后將這個規律作為特殊案例，通過合情推理推廣到一般情況，最后歸納出解決這類問題的一般法則。如先讓學生通過排隊的方式直觀感知在兩端都站人的情況下，站隊人數比間隔數多1，然后通過課件展示，得出類似的規律：兩端都植樹的情況下，3段間隔可以植樹4棵。

二、動手畫圖，融會貫通發展變式

設計二：動手畫線段圖

【例2】一根角鐵長10米，工人師傅要用手鋸把它平均鋸成5段，每鋸斷一次耗時8分鐘，工人師傅鋸完這根角鐵需要多久？（教師用課件展示）

師：大家在草稿本上畫線段圖來演示鋸角鐵的過程，小組合作探究。

組1：我們小組認為，10米長的角鐵，平均鋸成5段，除去兩頭，還有4個切口，因此需要鋸4次（如圖2），每鋸一次用8分鐘，因此，算式為（5-1）×8=32（分鐘），故鋸完這根角鐵一共要花32分鐘。

師：這一做法正確嗎？

生（齊）：對。

師：組1回答得非常正確，算理也解釋得非常清楚。這充分表明，大家動手畫線段圖時真正做到動腦思考，用心揣摩。

植樹問題只是一個通用模型，如果按照集合映射的理論來考慮，就會得到很多變式：如“鋸木頭問題”，鋸開的次數與鋸成的段數相差1;“上樓梯問題”，樓層號與爬升樓梯的層數相差1;“敲鐘問題”，鐘聲敲響的次數與停頓次數相差1;“結繩問題”，繩子打結個數與繩子分段數相差1……這些都是植樹問題的變式，雖然形式各異，但是反映的都是兩個相關變量（植樹棵數與間隔段數）的“非一一對應關系”，其中一個量隨著另一個量等差遞增時，始終保持恒定為1的級差。

三、積極思考，合理猜測促使問題順利解決

設計三：動腦思考，積極猜想

【例3】在一條長100米的鵝卵石小路一邊植樹（兩頭都植），原來每4米栽一棵女貞樹，現改為每隔5米栽一棵女貞樹，共有（?）棵女貞樹不必移栽。

A.4 B.5? C.6? D.7

師（用課件展示圖3）：請根據前面學過的方法和總結的規律，開動腦筋、細心推算，小組合作交流。

組1：鵝卵石小路兩頭的女貞樹不必移栽，因為每隔20米處原來的女貞樹和現在的女貞樹重合，因此從任意一頭算起（不算兩端），在20米處、40米處、60米處、80米處共4處女貞樹重合，再加上兩頭的2棵樹，共有6棵樹不必移栽（如圖4），故選C。

師：非常好，思路清晰，分析到位，其他同學的結論怎么樣？

組2：因為算重合的女貞樹時，要從一頭算起，所以原來栽種的女貞樹為（一頭除外）100÷4=25（棵），現在栽種的女貞樹為（一頭除外）100÷5=20（棵），重合的女貞樹數量為25-20+1=6（棵），故選C。

師：有理有據，分析精到。說明同學們做了獨立思考，有了自己的主見，通過動手操作、合作探究，將難題破解，值得褒獎。

【例4】圓形水池的周長是150米，如果沿著這水池內圈一周每隔15米安裝一個噴頭，一共需要安裝幾個噴頭？（教師用課件展示）

師：通過前期的研究學習，同學們對植樹問題有了深刻而清醒的認識，本題屬于植樹問題中的圓形路線植樹的變式，同學們仍然可以采取圖示法或者假想推演法完成。

生1：我采用的是圖示法，把150米的圓周平均分成10份，這樣一來就出現10個等分點，每個等分點處安裝一個噴頭，一共就要安裝10個噴頭，所列算式是150÷15=10（個），一共需要安裝10個噴頭。

師：非常正確。還有其他方法嗎？

生2：圓周上等距（優弧和劣弧等長）的兩點可以將圓周切成等長的兩段，等距的三點則能切成等長的三段，同理，等距的10點則能將圓周切成等長的10段，這樣把周長為150米的圓形水池切成等長的10段，正好每隔15米安裝一個噴頭。算式為150÷15=10（個），一共需要安裝10個噴頭。

師：說得真精彩！算理揭示得一清二楚。

師（總結）：通過動手操作、細心觀察、認真思考、合理猜想等，大家都熟練掌握了解決植樹問題的各種技巧。其實解決植樹問題是有規律可循的，這就需要我們一步步去揭曉其規律。

核心素養反映小學數學教學的魂，教師應在傳授數學知識和技能的同時，注重培養學生的數學核心素養。數學核心素養的培養離不開教學的引導者——教師，離不開具體的教學內容和教學過程，離不開教學活動的評價體系。因此只有在具體的數學教學中，重視核心素養、圍繞核心素養設計教學活動，帶領學生參與豐富多彩的數學實踐活動，使學生在實踐中長知識、長才干，學會解決生活中的數學問題。

（責編 黃春香）