邏輯推理：高中數學學科核心素養的意蘊細究

李華清

[摘? 要] 在傳統的高中數學教學研究的視野里，邏輯推理就有著重要的價值與地位，如果能夠有效地把握邏輯推理的內涵與意蘊，那就能在繼承高中數學教學優秀傳統的基礎上，瞄準核心素養培育的目標，更好地將高中數學課堂設計成符合數學學科核心素養培育需要的課堂. 既然是在核心素養的視角之下理解邏輯推理，那就一定要賦予其新的內涵，對此筆者的理解有二：一是邏輯推理建立在數學概念的邏輯關系之上，指向學生邏輯推理能力的養成;二是學生形成的邏輯推理素養，遷移到其他學科中表現為新的遷移的發生，遷移到生活中表現為用正確的邏輯去判斷生活事物. 培育學生的邏輯推理素養，就必須讓學生認識到“有邏輯地推理”的價值，讓學生真正經歷“有邏輯地推理”的過程，并且在一定的過程中認識“有邏輯地推理”的意義.

[關鍵詞] 高中數學;邏輯推理;核心素養

核心素養培育給高中數學教學帶來了新的思考，目前可以肯定的是，對于高中數學學科而言，是通過其學科核心素養要素來落實必備品格與關鍵能力的，而對于數學學科核心素養的這些組成要素，依然要做細致的分析. 一個基本被高中數學同行所認同的觀點是：在高中數學教學中對學生的核心素養進行培養，旨在使學生的數學判斷能力得到良好的養成，這既是新課標背景下的一個教學重點，也是當前高考評價的一個核心;而在數學核心素養中，主要分為數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模、數學運算和數據分析等. 雖然數學學科核心素養是由這些要素組成，但是并不意味著這些要素之間是互相獨立的，事實上在筆者看來，這些要素是有著密切聯系的，而且這些要素也不是完全并列的關系，像數學抽象與邏輯推理實際上就屬于基礎層次的，而數學建模則具有一定的綜合性，數學建模經常是在數學抽象與邏輯推理的基礎上形成的. 在這些要素中，筆者以為首先值得研究的應當是邏輯推理.

在傳統的高中數學教學研究的視野里，邏輯推理就有著重要的價值與地位，那么在核心素養的視野之下，邏輯推理又應當具有什么樣的意蘊與內涵呢？筆者以為這是值得研究的，如果能夠有效把握邏輯推理的內涵與意蘊，那就能夠在繼承高中數學教學優秀傳統的基礎上，瞄準核心素養培育的目標，更好地將高中數學課堂設計成符合數學學科核心素養培育需要的課堂. 在這一認識的基礎之上，筆者對此進行了探究，總結如下：

[?]核心素養視角下的邏輯推理應有新意蘊

邏輯推理其實對于大多數高中數學教師而言并不陌生. 人們普遍認為，數學的推理就是一種有邏輯的推理. 事實也證明，基于數學命題（包括命題中的數學定義）嘗試討論什么樣的推理過程、或者說什么樣的思維過程是有邏輯的. 因此在高中數學教學中重視邏輯推理是非常有必要的，這不僅僅是為了邏輯學發展的需要，更重要的是為了讓數學學習者、一線的數學教師在一般層面上理解和把握數學推理，進而理解和把握“邏輯推理”這個數學核心素養. 既然是在核心素養的視角之下理解邏輯推理，那就一定要賦予其新的內涵，對此筆者的理解有二：

一是邏輯推理建立在數學概念的邏輯關系之上，指向學生邏輯推理能力的養成. 高中數學知識體系中，有的數學概念相當于一塊磚或一根柱子，有的數學概念相當于一面墻，而這些磚或者柱子要想組成一座大廈，就必須讓磚與磚、磚與柱子之間形成密切的聯系，這種聯系就是靠邏輯產生的. 于是邏輯推理的過程就是一個建構數學知識體系大廈的過程，學生運用邏輯推理建構數學知識體系的過程，也就成了邏輯推理能力得到培養的過程. 從這個角度來看，邏輯推理這一數學學科核心素養要素的落地，很大程度上依賴于教師為學生創設的學習情境，又或者是問題解決的情境.

二是學生形成的邏輯推理素養，遷移到其他學科中表現為新的遷移的發生，遷移到生活中表現為用正確的邏輯去判斷生活事物. 核心素養是指向學生適應社會發展的，這就意味著遷移的價值. 事實上，邏輯推理不僅在數學中存在，在生活中也是普遍存在的，但是學生在數學學習過程中形成的邏輯推理能力又是最為純粹的，只要教師在學生數學學習的過程中能夠尋找教學契機進行遷移，就能夠讓邏輯推理真正成為學生的核心素養.

[?]基于核心素養培育的邏輯推理意蘊探究

綜合以上兩個觀點可以得出的結論是：培養學生的邏輯推理能力不僅可以提升學生的學習效率，而且還可以增強學生的思維能力. 在新形勢下，若要培養學生的邏輯推理能力就要創新高中數學教學模式、突出學生的主體地位，只有這樣，才能真正提升學生的主觀能動性，促進學生邏輯思維能力的發展. 對于教師而言，基于核心素養培育的邏輯推理意蘊探究，主要應當依賴于具體的數學知識的具體建構或者問題解決的過程. 例如，“正切函數的性質與圖像”這一內容教學中，通過分析可以發現，學生在此前已經學過正弦函數和余弦函數的圖像與性質，當在教學中引導學生進行探究，并且明確提出：根據研究正弦函數和余弦函數的圖像與性質的經驗，以同樣的方法研究正切函數的圖像與性質，這實際上也就是暗示學生運用邏輯推理進行新的知識的學習（本質上就是一個問題解決的過程）. 從核心素養培訓的角度來看，這一內容的教學可以包括這樣幾個環節：

環節一：從性質與圖像角度回憶正弦函數和余弦函數的周期性、奇偶性、單調性、值域等. 這是邏輯推理的基礎.

環節二：引導學生研究正切函數的誘導公式tan（x+π）=tanx，x∈R，x≠+kπ，x∈Z. 研究這個誘導公式可以發現，正切函數是一個周期函數，而且周期就是π;在此基礎上，再由誘導公式去研究正切函數的奇偶性，這個過程也很簡單，就是去研究tan（-x）是否等于-tanx，這也是一個運用定義進行邏輯推理的過程，學生很容易得出正切函數是一個奇函數;在研究正切函數單調性的時候，是一個更重要的邏輯推理能力培養的機會，此時可以借助數形結合思想，讓學生基于如圖1所示的圖像進行推理，學生很容易基于圖像，根據正切函數的變化規律，推理得出正切函數在不同的區間內是增函數或者減函數;至于值域的判定，學生同樣可以基于圖像，判斷得出當正切函數中的x大于-且無限接近-時，正切線可以向著坐標軸的負方向無限延伸，有了這個結果之后，學生在判斷正切函數的值域時，就很容易得出是實數集.

環節三：學習后的反思過程. 筆者在教學中重點引導學生反思：自己是怎么得出正切函數的性質的？帶著對這個問題的思考，學生就會自然地去回顧學習過程，這個回顧過程與此前的學習過程并不相同. 如果說此前學習過程中，學生的推理運用得還比較隱晦的話，那反思過程中對邏輯推理的認識就更加明確了. 這樣的反思過程，可以讓學生更充分地認識到邏輯推理在數學知識建構中的作用，同樣這種認識可以遷移到問題解決的過程中，于是也就表現出了核心素養的主要特征，從而也就實現了數學學科核心素養的落地.

[?]邏輯推理教學的本義就是“有邏輯地推理”

眾所周知，數學的基本特征之一，是邏輯推理的嚴格性以及它的結論的確定性. 邏輯推理說得通俗一點就是“有邏輯地推理”，說起來雖然通俗，但這一判斷本身就有著邏輯關系：只有學生在數學學習的過程中掌握了邏輯，知道如何推理，才能真正經歷邏輯推理的過程. 如果暫時將研究的目光從數學轉向生活，可以發現一個值得深思的現象，那就是一些數學技術較好的學生，甚至是數學教師，對生活中好多事物的判斷往往并不重視邏輯，判斷的依據反而更多的是自己的猜想，甚至是臆測. 這些例子說明，在數學學習過程中盡情地邏輯推理，如果不經過內化，那并不能成為學生真正的核心素養. 反之如果要培育學生的邏輯推理素養，就必須讓學生認識到“有邏輯地推理”的價值，讓學生真正經歷“有邏輯地推理”的過程，并且在一定的過程中認識“有邏輯地推理”的意義.

一般來講，要讓學生“有邏輯地推理”，就必須在數學學習的過程中通過講授、示范、舉例等辦法，讓學生認識到邏輯的存在，知道數學概念與概念之間的邏輯關系，知道如何進行分析與綜合、歸納與演繹，而這樣一個過程本身也是邏輯推理的過程，可以成為培養學生邏輯推理能力的重要時機.

總而言之，高中數學教學中，教師在核心素養的背景下培養學生的邏輯推理能力，需要充分認識邏輯推理的內涵，進而在教學實踐過程中設計出科學合理的學習過程，只要讓學生認識到邏輯在哪里，知道如何運用邏輯，那在實際教學的過程中，就能夠真正從理解邏輯推理走向實施邏輯推理的教學過程，進而培養出學生的邏輯推理素養.