數學建模：從經驗理解到核心素養培育

朱祖煌

[摘? 要] 從高中數學教學的角度來看，數學學科的基礎性作用應當體現在其促進學生的發展上. 如果仔細研究數學學科核心素養的各個要素，可以發現他們既是學生數學發展的目標，同時也是核心素養達成的基礎. 數學教師有一個重要的定位，就是站在學生的角度去看數學建模，只有這樣才能體會到學生在數學建模過程中遇到的困難. 在教學實踐的基礎之上，高中數學建模的策略可以歸納為：在數學知識運用的過程中培養學生的數學建模意識;在數學知識及其體系建構的過程中培養學生的數學建模能力;在數學問題解決的過程中培養學生運用數學模型的能力.

[關鍵詞] 高中數學;數學建模;核心素養

在數學學科教學中，有一個基本的認識，那就是“數學是一門基礎學科”. 很多時候，一線教師對這個“基礎學科”的理解可能都有一些狹隘，因為在很多人看來，在數學知識體系當中，“基礎”更多體現在為其他學科的學習提供知識與方法. 這樣的理解不能算錯，但可以肯定的是并不全面，尤其是從高中數學教學的角度來看，數學學科的基礎性作用應當體現在其促進學生的發展之上. 在今天的教育環境里，數學學科促進學生發展的目標是用數學學科核心素養來描述的. 如果仔細研究數學學科核心素養的各個要素，可以發現它們既是學生數學發展的目標，同時也是核心素養達成的基礎. 本文嘗試以數學建模為例，談談一些淺顯觀點.

[?]傳統教學中的數學建模理解與現狀

應當說，在核心素養提出之前，數學建模就一直受到數學教育專家與一線教師的高度重視. 數學建模是建模的下位概念，建模的通俗理解就是建立模型. 建立模型說起來簡單，但是過程卻異常復雜——從專家與新手的角度來看數學建模的過程，數學教師有一個重要的定位，就是站在學生的角度去看數學建模，只有這樣才能體會到學生在數學建模過程中遇到的困難（新手的困難往往是專家難以體會的）. 在高中數學知識體系當中，數學建模的過程以及建立起來的模型，實際上是無處不在的，比如說函數是一種模型，數列也是一種模型，概率更是一種模型……如果考慮得精細一點，其實任何一個數學概念或者規律的建立過程，都有著數學建模的成分.

或許正是因為數學建模無處不在，使得實際教學中對數學建模的重視反而有些不夠，正如有研究者所指出的那樣：實踐表明，高中數學建模教學效果并不令人滿意，其重要原因之一在于，缺乏基于學生認知規律的高中數學建模教學理論指導. 在筆者看來，這一數學建模教學理論的缺乏，首先體現在教師的教學當中，教師如何理解自己所教的學科？數學是不是只是數學概念或規律的堆砌？數學知識的價值是不是只在于解題？這些問題的答案原本是多元的，但在應試之下漸漸趨向一元，因此教師對數學建模的教學理解也就被局限在一個狹隘的范圍之內，這是當前教學中需要高度重視的.

對于當前高中數學建模教學的現狀，筆者認同這樣一個判斷，就是在數學建模教學的過程中要明確將數學建模的思想融入數學類主干課程，而不是用“數學模型”或“數學實驗”課的內容搶占各個數學類主干課程的陣地. 這里所說的主干課程，筆者理解為重要的數學概念或者規律，特別需要強調的是，基于知識邏輯的數學知識體系，有可能幫學生形成一個大的數學模型，因此有一些數學知識可能相對邊緣化，但是同樣可以對數學建模發揮促進作用.

[?]核心素養視角下的數學建模的實踐

對數學建模有了一定的理論理解之后，一個重要的任務就是在具體的教學實踐過程中，去培養學生的數學建模能力. 培養學生的數學建模能力，需要遵循一定的策略，根據趙建昕等人的研究成果來判斷，要提高學生數學建模能力，需遵循六點策略：一是系統滲透數學建模思想，培養初步的建模思維意識;二是精選和解剖優秀的賽題與參賽作品，培養雙向翻譯能力;三是講授建模的具體思維方法，培養解模能力;四是類比引導，培養觀察和猜想能力;五是立足教與學，培養邏輯思維能力;六是加強訓練，培養評價能力. 筆者在教學實踐的基礎之上，將上述六點策略歸納為：在數學知識運用的過程中培養學生的數學建模意識;在數學知識及其體系建構的過程中培養學生的數學建模能力;在數學問題解決的過程中培養學生運用數學模型的能力.

以“直線的方程”為例，從數學知識的角度來看，學生要學的是描述“直線”的“方程”;從方法的角度來看，學生要學習的是數形結合的思想;那么從數學建模的角度來看，學生要學的是什么呢？筆者以為應當包括這樣幾點內容：一是數學建模意識的培養;二是數學建模能力的培養;三是數學模型運用能力的培養. 那么怎樣的教學設計才能達到這樣的目標呢？筆者是這樣設計的：

首先，通過邏輯推理讓學生認識到“直線的確定”既可以由兩點來確定（兩點確定一條直線），同時也可以由一個點和一個方向來確定. 前者是學生比較熟悉的內容，復習這一內容可以讓學生認識到“直線固然只是一條線”，但是“確定一條直線”卻必須是一種模型化的認識（無論什么時候，學生所熟悉的“兩點確定一條直線”其實都是一種模型化的認識）;那么到了高中數學學習的環境里，面對“直線的確定”這一問題，還可以形成哪些模型化的認識呢？教師可以引導學生從集合的角度，來認識到直線在平面直角坐標系中可以理解為滿足某些條件的點的集合. 有了這樣的認識，數學建模也就有了一個認知基礎.

其次，在直線的“點斜式”方程教學中，培養學生的數學建模能力. 具體可以給出一個問題，如：若直線l經過點A（-1，3），且直線的斜率為-2. 若有一點P在直線l上運動，那么點P的坐標（x，y）滿足什么樣的條件？在這樣一個教學過程中，學生經歷的一個過程是比較綜合的：既有基于題目給出條件的邏輯推理，也有得出結論之后形成的一種模型認知.

這里分析后者. 從數學建模的角度來看，學生在推理過程中，根據點P與定點A所確定的直線的斜率是一個定值，推導得出直線的點斜式方程：y-y=k（x-x）. 實際上當這一方程得出之后，該方程在學生的大腦當中就不止以方程的形式存在，而是以描述直線的一種模型存在. 學生在看到點斜式方程之后，往往就能反映出這是可以體現在平面直角坐標系上的一條直線，正是這種進步與直覺的反應，印證學生經歷了一個數學建模的過程.

最后，通過問題解決鞏固學生的模型認知. 根據循序漸進的規律，此處可以給學生提供兩個層次的問題：一是點斜式方程的直接運用;二是給出一個點斜式方程，讓學生去判斷可能的圖像. 這個環節與傳統的數學教學中的設計重合度較高，此處不再贅述.

在上述教學過程中，無論是學生的數學建模意識，還是建模能力，都得到了充分的培養. 而且這樣的一個過程與知識建構并不是割裂的，而是高度重合的. 從學生的認知基礎（兩點確定一條直線）出發，到尋找確定直線的方法，到點斜式直線方程的成功探究，學生對直線以及確定直線方法的理解不斷豐富，形成的認識也越來越模型化，所以豐富這樣一個教學過程，實際上就是培養學生數學建模能力乃至于數學建模素養的過程.

[?]核心素養視角下的數學建模的反思

在數學教學的歷史時空中來看數學建模，可以發現其強大的生命力. 而且特別需要強調的是，數學建模本身就是一門十分注重理論聯系實際的課程，它有助于培養學生的想象力和洞察力;有助于培養學生的直覺思維和發散思維;有助于培養學生的動手能力和自我評價能力. 由此可見，雖然數學建模只是數學學科核心素養六個要素中的一個要素，但是數學建模本身就是一門重要的、能夠培養學生綜合能力的過程.

東北師范大學教授、課標修訂組組長史寧中教授在概括數學學科核心素養的時候，曾經將數學建模描述為“用數學的語言描述事物”，這一句看似簡單的判斷當中蘊含著豐富的道理：學生要能夠用數學語言，其首先必須掌握數學語言！掌握數學語言的能力從哪里來呢？筆者以為，綜合性最強的過程就是數學建模的過程，因此在教學設計以及具體的教學實踐中，讓學生經歷數學建模的過程，不僅僅可以提升數學建模素養，同時對整個數學學科核心素養的培育也有著重要的促進作用.

高中階段是學生素養形成的重要階段，數學學科要想發揮其基礎性作用，就可以以數學建模作為教學主線，讓學生在學習數學知識的同時，體驗數學建模的過程，以真正掌握描述事物的數學語言. 而在這樣一個過程中，既需要堅持高中數學教學傳統中的數學建模理解，也需要在核心素養的背景下更多地關注學生的成長需要，這樣就可以實現從傳統向現代的跨越，實現核心素養的真正落地.