例談高考函數與導數類壓軸題巧妙解法

侯思路

摘 要：函數與導數是歷年高考命題的必考內容，而且題目形式新穎，設計巧妙，對學生的數學思維能力有較高要求，考查了學生對數學解題思想方法的掌握.它也是高中數學教學的難點和重點，只要抓住該類題型的本質，掌握其解題規律，無論其命題思路和形式再怎么變化，都可以有效破解.

關鍵詞：函數與導數;高中數學;高考題型

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0024-02

函數與導數是高中數學的重點內容，在高考試卷中分值約占22～27分，函數與導數知識在高考試卷中多以壓軸題的形式出現，它也是高中數學中的難點內容，能否突破函數與導數題是高考得高分的關鍵.下面結合高中數學教學實踐，例談破解高考函數與導數壓軸題的小妙招.

一、利用導數研究函數的單調性、極值與最值

利用導數研究函數的性質是高考命題的常見形式，每年高考命題中都會有所涉及.常見的命題形式包括：

1.判斷函數f（x）的單調性或單調區間;

2.求函數f（x）的最值;

3.已知函數的單調區間、最值求參數的值.

典型例題 已經函數f（x）=ax，g（x）=lnx.

（1）若函數F（x）=f（x）-g（x）有極值-1，求實數a的值;

（2）若函數G（x）=f[sin（1-x）+g（x）]在區間（0，1）上為增函數，求實數a的取值范圍.

思路分析 （1）求函數F（x）的解析式，并求導，對實數a進行分類討論，判斷F′（x）的符號，利用函數F（x）有極植-1，求出關于參數a的方程，解方程，求出實數a的值;

（2）求函數G（x）的解析式，并求導，由函數G（x）在區間（0，1）上為增函數轉化為G’（x）≥0對x∈（0，1）恒成立，再將恒成立問題轉化為求參數的取值范圍問題，從而求出實數a的取值范圍.

解析 （1）因為f（x）=ax，g（x）=lnx且F（x）=f（x）-g（x），所以F（x）=ax-lnx（x>0），

所以F′（x）=a-1x（x>0），當a≤0時，F′（x）<0，函數F（x）在（0，+SymboleB@）上單調遞減，函數F′（x）無極值，不符合題意.

當a>0時，由F′（x）<0x>0，得0<x<1a;

由F′（x）>0x>0，得x>1a，所以，函數F（x）在（0，1a）上單調遞減，在（1a，+SymboleB@）上單調遞增，因為函數F（x）有極值-1，

所以F（1a）=1-ln1a=-1，故a=e-2.（2）因為f（x）=ax，g（x）=lnx，且G（x）=f[sin（1-x）]+g（x），

所以G（x）=asin（1-x）+lnx，

所以G′（x）=-acos（1-x）+1x.

由題意可得，G′（x）=-acos（1-x）+1x≥0對x∈（0，1）恒成立，

記h（x）=1xcos（1-x）（0<x<1），則h′（x）=-cos（1-x）+xsin（1-x）[xcos（1-x）]2<0，

所以h（x）在（0，1）上單調遞減，所以h（x）>h（1）=1，所以a≤1，所以實數a的取值范圍是（-SymboleB@，1].

破題策略 本題設計意在考查分類討論和方程思想，檢驗學生的化歸與轉化能力和運算求解能力.破題關鍵：（1）方程思想，即對于含有參數的可導函數有極值的關鍵是對參數進行分類討論，并尋找其導數為零的根，以及在根的左、右兩側導數的符號;

（2）轉化思想，即可導函數f（x）在某個區間D內單調遞增（或遞減），則有f ′（x）≥0或f ′（x）≤0在區間D內恒成立，由此，將求函數的單調性轉化為恒成立問題.

二、函數、導數與零點相交匯

函數、導數與函數的零點（方程的根）相交匯的考題在近年的高考中經常出現，命題考查形式：

1.判斷函數的零點的個數問題;

2.已知函數在給定區間的零點（方程在給定區間的解）的情況，求參數的取值范圍或證明不等式成立.

典型例題 已知函數f（x）=ex-x-m（m∈R）.

（1）判斷函數f（x）的零點個數，并說明理由;（2）若函數f（x）有兩個零點x1，x2，證明：x1+x2<0.

思路分析 （1） 求f ′（x），判斷函數f（x）的單調性，得最小值，并對函數f（x）的最小值進行分類討論，

即可判斷函數f（x）的零點個數;

（2）不妨設x1<x2，欲證x1+x2<0，只需證x1<-x2，判斷f（x1）-f（x2）的符號，并判斷函數f（x）的單調性，即可得證.

解析 （1）f ′（x）=ex-1，令f ′（x）<0，得x<0;

令f ′（x）>0，得x>0，所以，函數f（x）的單調遞減區間為（-SymboleB@，0），單調遞增區間為（0，+SymboleB@），故當x=0時，函數f（x）取得最小值f（0）=1-m.

當1-m>0，即m<1時，函數f（x）沒有零點.當1-m=0時，即m=1時，函數f（x）有一個零點.

當1-m<0時，即m>1時，構造函數g（x）=ex-2x（x≥1），則g′（x）=ex-2，

當x∈[1，+SymboleB@）時，g′（x）>0，所以，函數g（x）在[1，+SymboleB@）

上單調遞增，所以g（x）≥g（1）=e-2>0，因為m>1，所以g（m）=em-2m>0，又f（m）=em-2m（m>1），故f（m）>0.

又f（-m）=e-m>0，所以必存在唯一的x1∈（-m，0），唯一的x2∈（0，m），

使得x1，x2為函數f（x）的兩個零點.故當m>1時，f（x）有兩個零點.

（2） 若x1，x2為f（x）的兩個零點，設x1<x2，則由（1）知x1<0，x2>0.

因為f（x1）-f（-x2）=f（x2）-f（-x2）=（ex2-x2-m）-（e-x2+x2-m）

=ex2-e-x2-2x2.

令φ（x）=ex-e-x-2x（x≥0），則φ′（x）=ex+1ex-2≥2ex·1ex-2=0，所以，φ（x）在[0，+SymboleB@）上單調遞增，因此φ（x）≥φ（0）=0.

又x1<0<x2，所以φ（x2）>0，即ex2-e-x2-2x2>0，故f（x1）>f（-x2），又x1<0，-x2<0，且由（1）知f（x）在（-SymboleB@，0）上單調遞減，所以x1<-x2，所以x1+x2<0.

破題策略 本題重在檢驗考生的推理能力、運算能力和創新思維.破解此類題型的關鍵是：

（1）牢固掌握函數、函數與導數相關知識，熟練運用導數法求函數單調性、最值.

（2）轉化思想是解決函數類題目的重要途徑，將判斷函數零點個數問題轉化為求函數求最值問題.

（3）通過構造函數，將比較大小問題轉化為函數的單調性問題.

總之，關于導數與函數的壓軸題類型很多，而且每年的命題角度都會有所不同，對學生的邏輯思維能力有較高的要求.但是，只要我們掌握了基本的數學解題思想，注重積累和反思，對“函數與導數類”壓軸題常見類型心中有數，把握其實質，掌握其規律，規范其步驟，做到“胸中有法”，那么不論高考“函數與導數類”壓軸題的構思多么新穎，我們都能做到以不變應萬變，此類壓軸題就能迎刃而解.

參考文獻：

[1]趙承東.高中數學教學中學生發散思維的培養 [J].基礎教育研究，2019（10）：20-22.

[2]駢吉軍.中學數學課程教學的有效策略 [J].中學教學參考，2018（11）：8-10.

[責任編輯：李 璟]