探析高中數學解題中數形結合思想的應用

摘 要：近些年隨著課程改革的推行，高中階段對于數學思想方法的教學日益被重視，其中試題中對數形結合思想的考查比重凸顯。數形結合作為直觀想象這一數學素養培養的重要組成，在解決數學問題過程中發揮著重要的作用。“以形助數，以數釋形”，可以大大提高學生的數學知識理解能力，這是進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎，探析數形結合思想在高中數學解題中的應用，可以大大提高學生的解題能力。

關鍵詞：數形結合;高中數學;解題應用

一、研究背景

傳統的教學注重對學生“基礎知識”和“基本技能”的訓練，學生靠刷題短期地提高自身的解題能力，但是未能真正的理解知識的本質，過分依賴做題的經驗，導致解決試卷以外的數學問題能力薄弱，數學的素養并未真正的形成。新課程理念提出在原有“雙基”的基礎上增加“基本思想”、“基本活動經驗”的教學，旨在培養學生形成終生受用的數學思維方式，能夠自覺地用數學的思想方法指導生活，擁有堅定的數學視角。數學的基本思想是指對數學概念、知識結構、數學解題方法本質性的認識，它蘊含知識的形成發展以及知識間的本質關聯，是對“雙基”更高層次的抽象和概括，是學生更高階的數學素養，在解題中滲透數學思想的培養，可以讓學生形成有規律、有邏輯順序、有門類地解題習慣，讓學生不僅能適應新高考的試題類型，而且還可以提高學生在實際情境中運用數學解決問題的能力。

二、概念界定及應用策略

（一）概念界定

“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，說的就是數與形二者的關系。數形結合思想指的就是根據數與形之間的關聯，利用數的特征或者形的特征進行問題解決的基本數學思維。圖形具有直觀的特點，從圖形中可以快速地發現物體的位置關系和空間形式，一些變化規律和動態感官，也可以在圖形中得到最為直接的感知。數主要是指數量關系和代數運算，它是進行定量分析、邏輯推理、形式轉變的重要數學構成。數形結合一方面是指把代數結構圖形化，利用圖形描述分析問題，讓問題更直觀，從而找到解決問題的方法或是捷徑;另一方面是指用數表達或運算推理精細表達幾何要素，一些無法通過畫圖完成的抽象過程，可以通過數來進行規律觀察、推演探究，從而得到圖形的相關性質。

（二）應用策略

強基策略，不論是對數的使用還是對圖形的應用，都需要扎實的“雙基”作為前提，所以在談“基本思想”這一層目標之前對于學生的知識與技能訓練是必不可少的，比如強化學生的數式運算與結構變形，提高學生的識圖畫圖能力;簡化策略，數形結合思想使用的情境大部分是在當數式結構復雜，數據繁多，幾何特征明顯時，用幾何直觀來快速表征問題，當圖形難以描繪，不宜通過觀察圖形得到精細化的圖形性質和相關結論，那么就需要用數來進行推演和論證，數式結構中的符號使用，可以讓思維外顯，從復雜的圖形結構里簡化出主體特征，突出重點;互換策略，在講解習題時如遇到具有數形雙重表征的例題，數形兩方并無明顯優劣，那么應注重引導學生一題多解，啟發學生多個角度看待問題，不側重任何一種方法，注重數形的互換，讓學生在互換的過程中提高思維的發散性;準確性策略，用圖形直觀解題時，應該注意畫出圖形的準確性，圖形的精度決定了思考的準確度，影響思考的方向，同樣，用數就是為了精細準確地刻畫圖形，減少看圖帶來的誤差，所以運算和推理應要準確無誤。

三、數形結合思想的應用探析

（一）重視初高銜接，突顯圖形直觀

在初中數學教材中函數與曲線方程占比比較少，向量更是只字未提。主要是以數式運算為主，并且對于幾何圖形的研究占比較多，代數與幾何的銜接點為數較少，從八年級上的乘法公式（平方差、完全平方公式）開始才著重把二者進行有機關聯，到了八年下的《勾股定理》，以趙爽弦圖為主的圖形證明，才重點突出的體現數學結合的妙用。不過大部分時候幾何直觀和代數式子是割裂的。到了高中，數形結合思想的地位突出，不過主要的載體還是以函數圖象、向量、直線曲線方程為主，極少有幾何圖形，但是幾何圖形的直觀性作用到了高中也不容忽視，有的時候簡潔的圖形結構就可以傳達出定理公式的證明方法和思路，以均值不等式的證明為例：代數證明：（利用平方結構的非負性）

幾何證明：

說明：圖中四個大小相同的直角三角形，短直角邊為a，長直角邊為b，則斜邊（大正方形的邊長）為，大正方形的面積為S大=a2+b2，中間的小正形面積為S小=（b-a）2，四個直角三角形的面積和為S=2ab。

1.從圖形上可以直觀看出S大≥S，所以a2+b2≥2ab;

2.當S小=0時，即a=b時，S大=S

初中把趙爽弦圖用于勾股定理的證明，其實弦圖里也蘊含了基本不等式----均值不等式。如果從學生熟悉的趙爽弦圖作為課堂引入，不僅可以很好的完成知識的銜接和過渡，而且讓學生對中國古代的文化有了更深的認識，從而提高解題時的文化涵養。

（二）強化向量教學，注重雙重身份

向量具備數和形的雙重屬性，是數形結合的典范。向量是有向線段，它的幾何表示法是運用幾何性質解決向量問題的基礎。在向量的運算過程中，借助于圖形性質可以給抽象運算以直觀解釋，簡潔明了。例如課本用向量證明了點到直線的距離公式，直線的斜率公式，兩點間距離公式，比單純的用幾何圖形簡便通俗，用向量完成直線平行和垂直的證明，便捷性是幾何無法比擬的，用向量研究空間幾何，可以幫助我們減少由于空間想象力不足帶來的解題能力薄弱等等。具體舉兩個例子，用以說明向量的數形雙重身份給解題帶來的新思路。

1.用向量法證明余弦定理

三角形的三邊用向量a，b，c表示，則c=a+b.

2.用向量解決幾何證明

例：正方形ABCD邊長為4，F為BC邊重點，E為CD上一點，若=，則=_________

教學中用向量進行一些已證定理的再次證明，通過證法對比凸顯數形結合思想的優越性，引導學生關注數學的思想方法給解題帶來的幫助。另外，在使用向量解題的過程中要注重數與形身份的適時切換，避免只注重形而不注重數。

（三）函數圖象為主導，曲線方程相配套

數形結合中的“形”指的是直觀的圖象，包括幾何圖形，函數圖象、統計圖表等，其中以函數圖象的結合為主。課程內容從初中開始就有意地滲透代數式與函數變量之間的關系，利用一次函數、反比例函數、二次函數來解決對應的二元一次方程、二次三項式、分式的相關問題，到了高中，函數更加抽象，有些函數特別是復合型的函數已經畫不出具體的圖象，但是我們仍然可以用局部的圖象或者構成復合函數的原函數圖象來研究問題，例如在冪函數的研究學習時，圖象扮演了很重要的角色，通過函數關系式和已學習過的基本函數來研究指數對函數圖象的影響;在三角函數研究的過程中，函數的周期性（循環往復）在函數圖象上體現的淋淋盡致，特別是正切函數自變量的范圍不等于90°，跟反比例函數類似在畫函數圖象時的體現就是逼近不相交;“形”的作用固然重要，但到了高中，越是抽象的函數，在研究它的單調性、奇偶性、周期性時，數的特征越是解題的關鍵。所以，以函數為載體的知識考查在滲透數形結合思想時要注意數形的自然切換，初中更注重引導學生關注函數的圖象，高中沒有偏重，數形比重旗鼓相當，特別是注意了函數多種表征形式之間的靈活轉變。下列三道題就可以作為很好的訓練范例：

例1：（2019高考理科數學第5題）函數在的圖象大致為（ ）

A. B.

C.D.

（思路：通過代數結構，判斷函數的奇偶性，推斷圖象的對稱類型，利用函數取值，判斷圖象經過的一些特殊點。）

例2：函數的最小值為___________

（思路：配方成，從形的角度解題可以理解為點p（x，0）分別與點（2，1）和點（-1，3）的距離之和的最小值，再利用最短路徑解題）

例3：已知橢圓，是橢圓上的一個點.O為坐標原點，A是橢圓的右頂點，若Q在橢圓上并滿足|AQ|=|AO|，求直線Q的斜率.

（思路：用圖形來解題，難度較大，如果設直線Q的解析式為y=kx，聯立直線與橢圓方程去求解，就可以順利得到結論）

（四）重視高考新題型，數列統計多挖掘

高考中對于數形結合思想的考查常規的題型都是以函數、向量等解析幾何為主，空間幾何的考查也不少見，但是對于數列和概率統計為載體的考查出現的較少，不過近些年有出現增加的趨勢，學生在應對這些類型新穎的問題時明顯應對不足，所以在平時教學中也要重視對這兩塊知識在數形結合思想滲透方面的挖掘，以下道題為例：（2019高考理科數學第6題）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（ ）

A. B. C. D.

這道題與中國的傳統文化有關，利用“卦象”的圖象信息閱讀，解決相關的概率問題，形式新穎，考查了學生的綜合素養，所以在這個方向標下我們要提高此類型題的教學訓練。比如二項展開式的代數結構和楊輝三角的圖形直觀之間的關聯教學，比如對于正態分布圖象的強化教學，用圖象來促進學生對于概率科學性的理解。特別是近幾年，為了讓試題更貼近學生的日常生活，試卷中對于數據的整理與分析考查越來越多，學會提取圖表信息，理解統計圖表呈現的數據分布規律，通過計算來得出結論，作為決策的參考，是這一類題型對學生提出的考察要求，如果在平時有進行針對性訓練，學生的圖形閱讀能力和相對應的數據運算能力都會得到及時有效地提高。另外，除了挖掘數列和統計中的數形結合點，教學中把數形結合思想運用到對極坐標、復數等領域的探究，可以大大的提高學習的深度，從而達到深度教學的目的。

結束語

數學是研究“數量關系”和“空間形式”的自然科學，所以數形的雙重屬性是數學學科區別于其他學科最顯著的特征。數形結合并不是把數和形進行簡單的堆砌，而是把二者進行有機的結合。教師在利用數形結合的思想進行教學和解題指導時，應該主要把握好二者的結合點，用數式進行定量分析，函數性質探索，圖形位置精細，用圖形進行思維直觀，尋求復雜數式結構的簡單外顯，避免復雜計算，優化解題思想，打通解題突破口，特別要注意在利用圖形直觀解題時，要主要圖形的準確性，可以借助現代信息技術，呈現精確圖形，演示動態過程，也可以指導學生畫草圖，突出要點，抓住要害，精準直觀。總而言之，數形結合的思想是提升學生直觀想象素養的重要思想，學生在運用該思想的過程中，思維得到多維度的鍛煉，運用數學知識的能力得到提升，對于數學知識的外化和內涵有了更深入的認識。

參考文獻

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作者簡介：王霞（1986.05-），女，山西忻州人，漢族，上海市工藝美術學校二級教師，研究生，研究方向：高中數學教學。